對“運動的合成與分解”的理解與教學建議

王運淼

(北京市西城區教育研修學院 北京 100035)

多年來，高中《物理》教科書中在講“平拋運動”之前，總是先介紹“運動的合成與分解”，然后再用這種方法研究平拋運動的規律．可是2007年以后的人教社課標教科書《物理·必修2》中卻干干凈凈地刪掉了“運動的合成與分解”這部分內容，這是為什么呢？另外，在研究“波的疊加”時，字里行間透露出來的是“波的獨立傳播原理”和“波的疊加原理”的內容．那么，“波的疊加原理”和“運動的合成與分解”之間又有什么關系呢？

1 “運動的合成與分解”和“波的疊加原理”

在高中《物理》教科書中介紹“運動的合成與分解”時，常常以船渡河或類似的實例、實驗引入.

船渡河的運動可以看作是由兩個分運動組成的．如圖1所示，假如河水不流動，而船在靜水中沿AB方向行駛，那么經過一段時間輪船將從A點運動到B點；假如船沒有開動，而河水流動，那么船被河水沖向下游，經過相同一段時間，船將從A點運動到A′點；現在船在流動的河水中行駛，同時參與上述兩個運動，經過這段時間將從A點運動到B′點．船從A點到B′點的運動，就是上述兩個分運動的合運動．

圖1

已知分運動求合運動，叫做運動的合成；反過來，已知合運動求分運動叫做運動的分解．

而后進一步指出，一些常見的曲線運動往往可以分解為兩個方向上的直線運動，分別研究這兩個方向上的受力情況和運動情況，弄清楚作為分運動的直線運動的規律，就可以知道作為合運動的曲線運動的規律，這是研究曲線運動的基本方法．

在講到“波的疊加”時，通過觀察實驗總結出：幾列波相遇時能夠保持各自的運動特征(頻率、波長、振幅和振動方向)不變，繼續傳播，就像沒有跟其他波相遇一樣(這被稱為波的獨立傳播原理)．在幾列波相遇的區域里，介質中的質點同時參與這幾列波引起的振動，質點的位移等于這幾列波單獨傳播時引起的位移的矢量和(這個結論稱為波的疊加原理).

質點運動問題中的“運動的合成與分解”和波動問題中的“波的疊加原理”都是描述運動的物理量，如位移、速度等在運動疊加時所服從的原理，具有理論上的一致性，不妨統稱為“運動疊加原理”．

2 “運動疊加原理”的條件

在所有高中《物理》教科書中，對“波的疊加原理”成立的條件比較明確，這就是幾列波相遇時保持各自的特征獨立傳播(波的獨立傳播原理)．多數高中《物理》教科書在介紹“運動的合成與分解”時指出，當物體同時參與多個分運動時，各個分運動的位移、速度、加速度遵守各自的力學規律，相互獨立．

由此看來，“運動疊加原理”的條件是各個分運動相互獨立進行．

不過，把一個比較復雜的運動分解為兩個(或多個)分運動時，分運動是不是一定相互獨立呢？下面，結合一些具體的實例看一看．

2.1 不計空氣阻力的拋體運動

以“平拋運動”為例．在研究平拋運動規律時，可以把平拋運動分解為水平方向和豎直方向上的兩個分運動．這兩個分運動是不是相互獨立的呢？

如圖2(a)所示，用小錘打擊彈性金屬片，A球水平飛出做平拋運動，B球被松開做自由落體運動．無論A球的初速度大小如何，也無論兩球開始距地面的高度如何，A球總是與B球同時落地．圖2(b)是一幅平拋物體與自由落體對比的頻閃照片．

(a) (b)

圖2所示的實驗可以表明，水平方向的分運動與豎直方向的分運動互不影響，是相互獨立的．平拋運動的動力學方程為

2.2 空氣阻力與速度成線性關系的拋體運動

設質量為m的質點以速度v0水平拋出，運動過程中受到重力mg和空氣阻力f=-kv作用，那么該質點運動的動力學方程為

(1)

如果將該運動分解為水平方向和豎直方向上的兩個分運動，那么

(2)

(3)

可見，方程(2)中沒有vy，方程(3)中沒有vx，也就是說，每個方向的方程都不包含另一個方向上的運動分量．那么，可以分別獨立地解這兩個微分方程，得到vx(t)和vy(t)，再通過積分就可以求得x(t)和y(t)．這說明水平方向的分運動與豎直方向的分運動互不影響，是相互獨立的．

2.3 空氣阻力大小與速度二次方成正比的拋體運動

如果將該運動分解為水平方向和豎直方向上的兩個分運動，那么

即

即

可見，每個方向的微分方程中都包含另一方向上的速度分量．這說明水平方向的分運動與豎直方向的分運動之間彼此關聯，并不是獨立的．

類似的運動還有質點在引力場中的運動，帶電粒子在點電荷電場中的運動等．它們雖然可以分解為兩個分運動，但是這兩個分運動不是相互獨立的，因而不能運用“運動疊加原理”求解．它們的共同點是動力學方程不是線性微分方程．

因此可以用歸納的方法得出一個結論：如果質點運動的動力學方程是線性微分方程，該運動就可以分解為兩個(或多個)相互獨立進行的分運動，從而可以運用“運動的疊加原理”求解．

可以證明，動力學方程為線性微分方程的振動系統，也可以運用“運動疊加原理”求解(振動的合成與分解)．波動是振動的傳播，波函數u(x,t)滿足偏微分方程，如果波動方程是線性偏微分方程，那么這樣的幾列波相遇是互不干擾的，可以運用“波的疊加原理”求解．

3 “運動的疊加原理”的速度合成與“相對運動”的速度合成

“相對運動”的速度合成解決的是質點相對于兩個不同參考系(它們之間有相對運動)的速度之間的變換關系．

設參考系Ⅰ靜止，參考系Ⅱ相對Ⅰ運動．質點相對靜止參考系Ⅰ的運動叫做絕對運動，速度表示為v絕；質點相對運動參考系Ⅱ的運動叫做相對運動，速度表示為v相；運動參考系Ⅱ相對靜止參考系Ⅰ的運動叫做牽連運動，速度表示為v牽．那么，“相對運動”的速度合成公式為v絕=v相+v牽．

“相對運動”的速度合成與“運動疊加原理”的速度合成是有區別的，前者是不同參考系間的速度變換關系，而后者是同一參考系(在中學階段，凡沒有說明參考系的，都默認為是以地面為參考系)中的速度合成關系．它們的含義不同，適用范圍也不同．“運動疊加原理”的速度合成公式是在同一個參考系中由矢量合成的平行四邊形定則推出，從速度很小到速度v→c的廣大范圍內都成立．“相對運動”的速度合成是由伽利略變換導出的，因而只在v?c時才成立．

其實，船渡河的問題是一個相對運動問題，即v船對岸=v船對水+v水對岸．在這個問題中，涉及三個物體，分別為船、河水、河岸，解決的是船相對于兩個不同參考系(河岸、河水)的速度之間的變換關系．

不過，現行高中《物理》教科書對“相對運動”的速度合成與“運動疊加原理”的速度合成并沒有作區分，但是，物理教師還是應該知道它們有什么不同．

4 關于“運動疊加原理”的教學建議

“運動的合成與分解”放在“平拋運動”之前介紹，稱之為研究曲線運動的基本方法，長期以來引起頗多爭議．爭議的原因，并不代表“運動的合成和分解”這個問題不存在或不重要，恰恰相反，它仍然是中學物理教學中很重要的問題，只是不可能在高一階段,面向全體高中學生，一步到位，講全講透．

不過，將復雜的問題分解為幾個比較簡單的問題，并找出它們之間的聯系，是一種研究問題的方法，也是一種解決問題的能力，是高素質人才必須具備的能力，特別是面向理工方向發展的學生，應該在學習高中物理的過程中，通過學習“運動的合成與分解”、“波的疊加原理”等知識，掌握把復雜運動分解為簡單運動的方法，培養這種解決復雜問題的能力．因此，在高中階段，有關“運動疊加原理”的教學，要注意避虛就實、循序漸進．

4.1 在進行“平拋運動”教學時初步認識“運動疊加原理”

在研究平拋運動之前，還是可以通過船渡河或類似的實例、實驗介紹“運動的合成與分解”的．在研究平拋運動的過程中，更不要刻意回避“運動的合成與分解”，而應作為一種研究復雜運動的方法滲透在整個教學過程之中．

(1)提出問題

平拋運動是一種比較復雜的曲線運動，其速度大小、方向都時刻發生改變，能不能對這個復雜的運動進行分解，將它轉化為熟悉的、比較簡單的運動呢？

(2)理論分析

在水平方向上，物體不受力，由于慣性而做保持初速度不變的勻速直線運動；在豎直方向上，初速度為零，物體受到重力作用，做自由落體運動．

(3)實驗研究

通過圖2所示的實驗證實水平方向的運動和豎直方向的運動是相互獨立的．

(4)方法引導

適時介紹“運動的合成與分解”，指出水平方向和豎直方向上這兩個相互獨立的運動是平拋運動的兩個分運動，平拋運動則是這兩個分運動的合運動．說明合運動與分運動在位移、速度、加速度等方面的關系，指出分運動、合運動的等時性．從而得出平拋運動的規律．

(5)了解“運動合成與分解”的適用范圍

在解決動力學問題時，由牛頓第二定律建立的方程是矢量方程．對于比較復雜的運動，常常選取適當的坐標系分解為幾個標量方程求解，分量方程之間可能是獨立的、不相關的，也可能是不獨立的、相關的．因此，分運動的獨立性不宜推廣，更不能總結出所謂的“運動的獨立性原理”去無條件地應用“運動的合成與分解”解決一切問題．

4.2 在解決帶電粒子運動問題時深入理解“運動疊加原理”

通過解決帶電粒子在電場、磁場中的運動問題，不斷加深學生對“運動合成與分解”的理解，進一步提高學生運用這種研究方法解決復雜運動問題的能力．

【例1】如圖3所示，空間中存在著方向水平向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B，由靜止釋放一個重力不能忽略的帶電微粒，其質量為m，帶電荷量為+q．試定性分析該微粒的運動情況．

圖3

分析：帶電微粒在運動過程中受到兩個力的作用，重力mg是恒力，其方向沿豎直向下；洛倫茲力是變力，其大小和方向都在變化．

圖4

4.3 在研究“波的疊加”時熟練運用“運動疊加原理”

在進行“波的疊加”、“波的干涉”教學時，要做好繩波、彈簧波、聲波、水波的疊加實驗．通過觀察分析實驗現象，引導學生自主總結出“波的獨立傳播原理”和“波的疊加原理”．熟練運用“波的疊加原理”定性分析兩列相干水波引起的“波的干涉”現象，用波的圖像定量解決兩列簡諧波疊加的簡單問題．

【例2】兩列簡諧波沿x軸相向而行，波速均為v=0.4 m/s，兩波源分別位于A，B處，t=0時的波形如圖5所示．當t=2.5 s時，M點的位移為______cm，N點的位移為______cm．

圖5

在2.5 s的時間內Δt=5TA=2.5TB，兩列波各自獨立傳播的距離分別為5λA和2.5λB.根據“波的獨立傳播原理”，在圖6中畫出t=2.5 s時的兩個波形圖，再由“波的疊加原理不難求出，當t=2.5 s時，M點的位移為2.0 cm，N點的位移為零．

圖6

從高一到高三不同的學習階段，從認識、理解到熟練運用的不同層次，結合各階段的具體問題，循序漸進地進行“運動疊加原理”的教學，是符合學生認知規律的．通過實例，既要讓學生認識到這是一種常用的把復雜運動分解為簡單運動的方法，又要讓學生明白“運動疊加原理”是有條件的，不能盲目推廣．在教學過程中，最重要的是培養學生科學運用“運動疊加原理”解決實際問題的能力，至于“運動疊加原理”的深層條件(動力學方程是線性微分方程)不必要向全體學生做具體的推導，不妨把這個問題留給有興趣的學生在課外或以后的學習中繼續研究．

參考文獻

1 張維善.關于“運動疊加原理”的表述及其理解的再思考

2 洪安生.談把復雜的運動分解為簡單的運動

3 周譽藹.高中物理專題分析：運動學.北京：人民教育出版社

4 繆鐘英，羅啟蕙.力學問題討論.北京：人民教育出版社