基于兩質點孤立系統的功能關系及其應用
—— 兼談另類恢復系數的定義

許冬保

(九江市第一中學 江西 九江 332000)

兩質點孤立系統由于相互作用而運動的問題，是一類非常重要的問題．在研究其運動時，簡化的處理方法是分解為質心的運動和質點相對質心的運動．可以從動力學的視角進行分析，本文試從能量的視角進行分析．

1 兩質點孤立系統的能量分析

1.1 質心系中的能量

假設兩質點的質量分別為m1，m2，在質心系中，相對質心C的位置矢量為r1，r2，則對兩質點孤立系統，其能量的一般形式為 (用黑體字母表示矢量，下同)

(1)

式中U(|r1-r2|)為勢能，僅依賴于它們之間的距離，即徑矢差(r1-r2)的大小．

引入兩質點的相對位矢

r=r1-r2

如圖1所示，將坐標原點O置于質心C處，有

m1r1+m2r2=0

圖1 坐標原點位于質心

解得

(2)

于是式(1)可表述為

(3)

其中

(4)

1.2 柯尼希定理

質點系動能等于質心動能和質點系相對質心系的動能之和，此結論稱為柯尼希定理．比較式(1)、(3)可知：兩質點相對質心的總動能等于兩質點相對動能．因此，對于由兩質點構成的質點系，在非質心系中的總動能，等于質心動能與兩質點相對動能之和．

2 兩質點孤立系統的功能關系

2.1 內力的功

內力的功是指一對作用力與反作用力做功的代數和．

如圖2所示，假設質點m2施于質點m1的作用力記為F12，質點m1施于質點m2的作用力記為F21，這兩個力大小相等而方向相反．對質點m1，內力的功為

對質點m2，內力的功為

圖2 兩質點位置及受力分析

這一對內力的總功為

由牛頓第三定律，F21=-F12，而dr1-dr2=dr，其中r是從質點m2指向質點m1的位置矢量，即相對位置矢量，于是內力功為

(5)

式中dr為m1相對于m2的位移，與參考系無關．因此，不論是慣性系還是非慣性系，計算結果均相同．即使是轉動參考系，可以證明結論也同樣成立[2].

2.2 功能關系

對圖2中的質點m1、質點m2，分別列出其動力學方程

(6)

結合(6)式，有

由式(4)，上述方程寫成

上式兩邊點乘相對位移dr，則有

即

以v1，v2表示做功前后的相對速度，對上式積分，得內力功

(7)

由于一對內力所做的功，與參考系無關．因此，從任何一個參考系去計算一對內力做的功，不論內力是保守力或是非保守力，其結果都可表示成相對動能的增量．

式(7)反映了內力功與相對動能變化的關系．當然也可以從相對動能變化的視角來審視內力功．根據柯尼希定理，質點系動能等于質心動能和質點系相對質心的動能之和，由于在慣性系中，孤立系統質心動能不變．因此，對兩質點孤立系統，質點系動能的增量等于質點系相對質心的動能增量，也等于相對動能的增量．由此也可以得到結論：一對內力所做的功與參考系無關．

3 另類恢復系數的定義

3.1 碰撞實驗定律

(8)

e稱為恢復系數，可以用實驗的方法測定，恢復系數可用來描述碰撞的性質[3]．

由式(8)可知：恢復系數的二次方等于碰撞后相對動能與碰撞前相對動能的比值．

3.2 非完全彈性碰撞中損失的機械能

3.2.1 常規分析方法

圖3 兩小球正碰

聯立式(8)解得

碰撞前后損失的機械能為

解得

(9)

3.2.2 另類分析方法

碰撞過程中機械能的損失ΔE，源于內力做功的結果，即ΔE=-W內．

由功能關系式(7)，有

聯立式(8)解得

3.3 另類恢復系數的定義

牛頓通過大量實驗事實，給出了恢復系數的定義．由式(9)可知，非完全彈性碰撞中損失的機械能與e2有關，而e2對應碰撞后、碰撞前相對動能的比值．

查閱史料，牛頓完成《自然哲學的數學原理》第三版的時間為1726年，而“動能”概念的提出是在1831年，由法國學者科里奧利在“活力”mv2的基礎上正式提出的[4]．也就是說，在牛頓那個年代還沒有動能的概念．如果有的話，也許牛頓對恢復系數的定義不是現在這個形式．因此，作者認為，恢復系數用相對動能的比值來定義，也許更符合碰撞的本質．可否這樣定義恢復系數

4 應用舉例

【例1】在實驗室內觀察到相距很遠的一個質子(質量為mp)和一個氦核(質量M=4mp)相向運動，速率都是v0．已知靜電力常量為k，元電荷的電荷量為e．求二者能達到的最近距離(忽略質子和氦核間的引力勢能)[5].

解析：設質子和氮核之間的最近距離為rmin，靜電力是保守力，其所做的功等于系統電勢能的減少．

以氦核為參考系，由功能關系式(7)，有

約化質量

解得

點評：本題亦可在實驗室參考系或質心參考系中求解．

【例2】(2006年清華大學自主招生試題)如圖4所示，質量分別為m1和m2的木塊用勁度系數為κ的輕彈簧連接起來，用兩根繩子拉緊兩木塊，使彈簧壓縮，某時刻將繩子燒斷，試求兩木塊的振動周期．(不計摩擦)

圖4 兩木塊與彈簧系統

解析：系統在豎直方向所受合外力為零，系統可視為孤立系統．無論取m1或m2為參考系，另一木塊均作簡諧運動，且周期相等．用A表示相對振幅，v表示相對速度，x表示相對位移．振動系統中彈簧彈性力做功用彈性勢能表示，能量守恒方程為

與水平彈簧振子相比較，不難得到該振動系統的周期為

【例3】(2011年“華約”自主招生試題)如圖5所示，質量分別為m和3m的物塊A，B用一根輕彈簧相連，置于光滑水平面上，物塊A剛好與墻接觸．現用外力緩慢向左推物塊B使彈簧壓縮，然后撤去外力，此過程中外力做功為W．求：

(1)從撤去外力到物塊A離開墻壁的過程中，墻壁對物塊A的沖量；

(2)在物塊A離開墻壁后的運動過程中，物塊A,B速度的最小值．

圖5 兩物塊與彈簧系統

解析：(1)外力緩慢壓縮彈簧的過程中，外力做的功全部轉化為彈簧的彈性勢能．撤去外力后的一段時間內，物塊A被擠壓在墻角處而靜止不動，物塊B則在彈簧彈力的作用下向右做加速運動，當彈簧恢復原長時，設物塊B的速度為v．由動能定理，有

從撤去外力到物塊A離開墻壁的過程中，系統動量的改變源于墻壁對物塊A的沖量，由動量定理，有

(2)物塊A離開墻壁之后，物塊A，B通過彈簧相互作用．設某一時刻，物塊A，B的速度分別為vA,vB，取物塊B初始速度v的方向為矢量的正方向，由動量守恒定律，有

3mv=mvA+3mvB

物塊A,B通過彈簧相互作用的過程比較復雜，分析如下：

此后，彈簧又被壓縮，物塊A減速，物塊B加速，由于系統機械能守恒，一段時間后，當彈簧第三次恢復到原長時，物塊A的速度再次減至零，物塊B的速度又達到v，與物塊A剛離開墻壁時的運動狀態相同．由質心運動定律可知，系統水平方向無外力，質心勻速向右運動，即物塊A,B整體向右平動，離墻壁越來越遠．以后兩物塊的運動將不斷重復上述過程．

由上述分析可知，在物塊A離開墻壁后的整個運動過程中，每當彈簧恢復原長時，如果物塊A的速度為最小值，則物塊B的速度為最大值；如果物塊A的速度為最大值，則物塊B的速度為最小值．如此交替出現．

題中兩物塊系統雖不孤立，但在豎直方向合外力為零，對物塊運動沒有影響，與孤立情況無異．若以A為參考系，由功能關系(7)式，有

點評：物塊A剛離開墻壁時至物塊A，B的速度取最大值或最小值的過程中，彈簧均處于自然長度，彈簧的彈性勢能未發生變化，內力功為零，相對動能守恒．當然，也可以在質心系中或由相對動力學方程求解．如果從運動的視角分析，根據求解的速度可以在同一直角坐標系中大致畫出兩物塊運動的速度圖像(橫坐標t0為從物塊A離開墻壁開始至第一次兩物塊速度相等的時間)，如圖6所示．

圖6 物塊A,B的速度圖像

【例4】動能為E0的4He核轟擊靜止的7Li核，作完全非彈性碰撞后成為復合核11B，11B進一步分裂成為10B和中子1n，上述核反應過程需要消耗的能量Q=2.8 MeV，核反應方程為

4He+7Li→(11B)→10B+1n

試求上述核反應過程中所需要的動能E0的最小值．

解析:氦核的動能

得

或

解得

因此，核反應過程中所需要的動能E0的最小值為4.4 MeV．

點評：對于完全非彈性碰撞，質心動能不變，碰撞中損失的動能將由相對動能付出(該動能是真正有用的能量，也稱資用能)．因此，在近代高能物理學中，為了研究微觀粒子的結構、相互作用和反應機制，加速器多采用對撞機的形式．

綜合上述，兩質點孤立系統中內力做功引起質點相對動能的變化．在常見的問題中，內力往往是保守力，可以用系統勢能的變化取代內力功，而該勢能僅與兩質點之間的相對位置有關．因此，取某一質點為參考系從能量守恒的視角分析問題，能使復雜過程明朗，煩瑣運算變簡潔．

參考文獻

1 Л·Д·朗道，E·M·栗弗席茲著，李俊峰，鞠國興譯．理論物理學教程第一卷·力學(第五版)．北京：高等教育出版社，2007.29～30

2 鄭永令，賈起明，方小敏．力學(第二版)．北京：高等教育出版社，2002.143～144

3 蔡伯濂．力學．長沙：湖南教育出版社，1985.196～199

4 武際可．力學史雜談．北京：高等教育出版社，2009.132

5 張三慧．大學物理學(力學、熱學，第三版)．北京：清華大學出版社，2008.138～139