MATLAB在模擬煤層氣擴散中的應用

馬 勝，虞青松

MATLAB在模擬煤層氣擴散中的應用

馬 勝，虞青松

(中國礦業大學資源與地球科學學院，江蘇 徐州 221008)

根據質量守恒原理推導的煤層氣在煤儲層中擴散運移方程(菲克第二定律)，由于求解方法復雜，計算工作量大，在實際的運用中受到限制。而通過數學軟件Matlab中的偏微分方程求解器PDETOOL GUI(pedtool)，可以形象直觀的模擬煤層中的煤層氣在儲層中擴散與分布。現以寧武煤田太原組4號為例，模擬結果表明，煤層氣濃度擴散與實際具有較好的吻合特征。

質量守恒;菲克定律;數值模擬;MATLAB

根據分子運動理論，擴散過程是分子的自由運動使得物質由高濃度體系到低濃度體系的一種濃度平衡過程，氣體濃度梯度是推動力［1］，Smith和Williams認為煤層氣在煤粒孔隙擴散遵從菲克(Fick)第二定律既非穩態擴散［1］，非穩態擴散模式中，主要有兩點：一是認為煤基質塊內甲烷濃度從中心到邊緣是變化的，且中心點的濃度變化率為零;二是基質邊緣處濃度是煤儲層壓力控制的等溫吸附濃度，隨著煤層氣不斷開采，煤基質塊的濃度隨之變化。非穩態擴散模型能客觀地表示煤基質塊中的煤層氣濃度時間與空間變化，能反映煤層氣的擴散過程，但缺點是計算復雜，工作量大。而數學模擬軟件Matlab中偏微分方程求解器PDETOOL GUI(pedtool)可以方便的模擬解算。

1 煤基質微孔隙擴散方程

建立如圖1所示的微元體，其參與擴散的是吸附狀態煤層氣C;分別為質量擴散通量矢量m在三個坐標軸方向分量;對孔q是單位時間質量交換;t為時間，根據質量守恒原理，各軸向上單位時間擴散流入微元體質量減去流出質量，再加上質量源生成量等于單位時間質量變化量［2］。

圖1 孔隙系統中微元體的質量守恒

整理得擴散的連續運動方程為：

由Fick擴散定律進行擴散定律：

將Fick定律方程(3)代入擴散連續方程(2)中，得到孔隙系統中吸附狀態煤層氣擴散運動微分方程：

式中：

C—濃度，kg/m3;

t—時間，s;

q—單位時間交換質量，kg/(m3·s);

D—擴散系數，m2/s。

2 模擬實列

2.1 地質概況

寧武煤田地處山西地區北中部，煤田南北長，東西窄，呈北東向斜列，展布于鄂爾多斯地臺，呂梁地塊、五臺地塊及內蒙地軸之間為一繼承性上疊構造盆地，從總體看來，構造復雜程度尚屬簡單類型。本區含煤地層為二疊系下統山西組、石炭系上統太原組、中統本溪組，主要可采煤層為太原組4，6，9號煤層，現以4號煤層為例，該煤層厚度為1.55～10.55 m，平均為4.07 m，頂底板巖性為砂質泥巖、中粗砂巖，炭質泥巖、粉細砂巖，砂質泥巖。煤層結構簡單，穩定性較好，分叉區內除西—西北部邊界局部風化外，其余全區可采。煤層的參數為密度均為2.5 g/cm3，擴散系數為2.5×10－8，擴散通道厚度為20 m，初始含氣量30 cm3/t，擴散通道和儲層的初始甲烷濃度均為0;模擬100 Ma之后，儲層的甲烷含量。

2.2 求解過程

打開PDE TOOLBOOKSGUI窗口，在應用模型中選擇 generic scalar，由條件可知邊界滿足齊次Dirichlet邊界條件，在PDE Mode模式下，分別雙擊3個區域設置拋物型(paraboli)，因為要求的解隨時間變化的PDE，故需要定義初始值和時間間隔，打開Solve Parameters對話框，需輸入時間向量 logspace(1，8，10)，初始時間是 10，選擇 Mesh 網格劃分，在選擇Refine Mesh命令加密的三角網格的劃分，最后再選擇Jiggle Mesh優化網格的劃分。

2.3 數值模擬的結果

在Plot Selection命令中選擇Color(顏色)，Contour(等值線)，Arrows(方向)，Height(3 －D plot)(三維圖像)Show mesh(顯示網格)等選項，也可以選擇動態模擬的結果，可以在對話框中選擇animation(動態模擬)，最后再點擊Plot選項(圖2)。

圖2 數值模擬的結果圖

從圖2可以看出，模擬的結果和實際情況具有較好的吻合特征，且隨著時間的推移煤層氣在煤層中的擴散是逐漸向上運移，煤層的頂板的氣體濃度要比煤層的地板的高這符合實際的情況，非平衡擴散模型模擬(Fick第二定律)表明甲烷濃度的減小是不斷的向遠方傳遞的，從煤層的濃度等高線看出煤層的中部濃度梯度的變化比較大。

3 結論

1)由于大部分的煤層滲透率比較低，低流速低滲透率下流體的滲流規律，達西公式(dracy)可能就不再適用，但是煤層氣在煤粒孔隙中的擴散規律比較符合菲克(Fick)擴散定律。

2)Fick方程雖然是拋物線型方程具體的求解過程比較復雜，經常沒有具體的解析解，但是運用matlab中的PDETOOL求解器來解方便簡單，而且可視化的效果比較好，還可以生成解的動畫，這些操作通過命令行都很容易實現。

3)通過對所建的擬穩態非平衡吸附煤層甲烷運移數學模型進行模擬，模擬結果表明，煤層氣濃度擴散與實際情況具有較好的吻合特征，數值模擬的結果能用于科研并為生產實踐提供參考預測。

［1］ 吳世躍.煤層氣與煤層禍合運動理論及其應用的研究具有吸附作用的氣固耦合理論［M］.北京：科學出版社，2009：103－105.

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［3］ 駱祖江，張 珍.水氣二相滲流禍合模型及其應用［J］.水文地質工程地質，2004，3(1)：51－54.

［4］ 吳 鵬.偏微分方程的matlab的算解［M］.北京：高等教育出版社，2002：157－159.

［5］ 成綏民，成 珍，楊勤濤.氣一水兩相滲流穩定與不穩定試井分析［J］.油氣井測試，2006，15(3)：4－8.

Application of MATLAB in Simulation Coalbed Methane(CBM)Diffusion

Ma Sheng，Yu Qing－song

According to the principle of conservation of quality is CBM reservoir in coal of diffusion migration equations(fick＇s second law)，with the methods of solving are complex，computing workload are large，in actual use was limited.And through the mathematical software Matlab partial differential equations of the PDETOOL GUI(pedtool)，can be very intuitive simulation of coal seam image CBM reservoirs in the diffusion and distribution.Now Ningwu coalfield Taiyuan group No.4 as an example，simulation results show that the concentration of coalbed methane(CBM)diffusion and it actually has a better agreement characteristics.

Conservation of mass;Fick law;Numerical simulation;MATLAB

［TD12］

A

1672－0652(2012)01－0044－02

2011－12－05

馬 勝(1983—)，男，新疆巴州庫爾勒人，2010級中國礦業大學在讀碩士研究生，主要從事礦產普查與勘探的研究(E －mail)masheng1983@126.com