時變采樣周期網絡控制系統混合H2／H∞動態輸出反饋控制

樊金榮

（華中科技大學控制科學與工程學院，湖北武漢，430074）

在網絡化系統（NCS）的研究中，大多數假定傳感器采樣間隔為已知定常數。實際上，網絡帶寬資源有限，負載變化、器件故障及外部干擾等因素會導致采樣周期在一定范圍內波動［1－2］。時變采樣周期NCS的建模有三種方式：①連續系統方法：當采樣周期比較小時，把系統建模成一個帶有時變輸入時延的連續系統模型［3－4］；②混合系統方法：將系統建模成有限脈沖系統［5－6］。文獻［7］認為，這兩種方法對時延大于采樣周期不能普遍適用；③離散系統方法：它可分為離散切換系統［8－10］和帶范數有界不確定性系統［11－12］。前者假定采樣周期在已知集合內按某種規律（或隨機）取值，顯然有限個隨機值不能完全表示采樣周期的連續波動；后者選取采樣周期的標稱值，將采樣周期的不確定性部分轉化為范數有界不確定性系統結構參數。然而在該處理過程中，通常假定時延為常數或忽略時延。目前，在時變采樣周期控制器設計方面基本上是狀態反饋控制器，有關滿足混合H2／H∞性能指標動態輸出控制方面的研究少見報道。為此，本文采用矩陣Jordan分解變換方法，將具有時變采樣周期和時延的NCS建模為離散時間凸多面體不確定系統，以線性矩陣不等式的形式，給出滿足混合魯棒H2／H∞性能的動態輸出反饋控制器存在的充分條件和具體參數表達式，從而獲得系統動態性能和穩定性兩方面的平衡，數值仿真結果表明所設計的控制器能夠保持系統漸近穩定。

1 NCS數學模型

考慮如下連續線性系統：

在繼續討論之前，先作如下合理假設：①網絡控制系統中傳感器時鐘驅動，兩個連續采樣時刻的間隔定義為采樣周期，即采樣周期和時延時變、未知但有界，即這里僅考慮短時延的情形，其中數據沒有丟包發生，所有的數據都能到達執行器。

基于上述假設，對系統（1）進行離散化，得到：

其中：Ji，i＝1，2，…，p稱為Jordan塊，對于互異實特征值互異共軛復根0），相應的Jordan塊的指數函數可分別寫為

參數k描述Jordan小塊的維數（大小），Ti為模式矩陣，

使用Jordan分解和式（4）描述的Jordan塊，對實數和復數特征根，相應的矩陣指數函數eAct可分別寫為

Si，m為一個與相對應的矩陣，在元素出現的地方置1，其他元素全部為0；的定義與此類似。由于指數函數的定積分仍是指數形式，可以把式（2）中包含變量可得到：

其中：v為系統矩陣Ac的最小多項式次數。對應的時變函數ai（t）（i＝1，2，…，v）在特征根為非零實數λi∈?時，可寫為tmeλit的形式。若特征根為0，則寫為αi（t）可用Kronecker符號函數δ1，l描述，l＝1，取為1，其他為0。若特征根為共軛復數λi＝σi＋jωi，αi（t）可寫為tmeσitcos（ωit）和tmeσitsin（ωit）。這里有兩個變量hk和τk，t分別被取代為tahk和tahk－τk。則時變函數αi（t）的數量為ζ＝2v。Mi和Ni可通過式（5）和式（6）計算得到，是確定的矩陣。

若采樣周期和時延有界，則ai（hk，τk），i＝1，2，…，ζ，也是有界的，其最小值和最大值可通過下式計算得到：

至此，將網絡控制系統中的時變采樣周期和時延建模成凸多面體描述的離散時間不確定系統，這是本文分析與設計的基礎。

2 問題描述和預備知識

所設計的全階動態輸出反饋控制器為

其中：z＾（k）為控制器的狀態，AK、BK、CK為待確定參數。在其作用下，相應的閉環系統為

混合魯棒H2／H∞控制問題的任務是，對于離散凸多面體不確定系統（11），要求設計的動態輸出反饋控制器（13），使得對于所有允許的采樣周期和時延的不確定性，閉環系統（14）漸近穩定，同時滿足如下性能指標：

（1）魯棒H2性能：最小化η，使得ω（k）到y2（k）的閉環傳遞函數其H2范數最小，

（2）魯棒H∞性能：給定γ＞0，即ω（k）到y1（k）的閉環傳遞函數其H∞范數滿足

為了解決混合魯棒H2／H∞控制器設計問題，需要如下引理。

引理1［13］以下結論是等價的：

（1）存在對稱正定矩陣P＞0，使得：

（2）存在對稱正定矩陣P＞0和一般矩陣G，使得：

引理2［14］對于給定的η＞0，閉環系統（14）漸近穩定，且其充要條件為存在實對稱正定矩陣對所有的時變參數，且滿足：

3 主要結果

由于參數α∈L的不確定性，對稱正定矩陣Q（α）未知。式（18）和式（19）中，存在著未知矩陣變量Q（α）和系統矩陣Acl（α），Ccl（α）的耦合非線性性項和Acl（α）Q（α）需要引入一個自由變量，從而將其解耦，使之變成線性矩陣不等式的形式。

下面的定理給出與引理2等價且具有參數依賴Lyapunov函數的H2性能準則。

定理1 對于給定的η＞0，閉環系統（14）漸近穩定，且其充要條件為存在實對稱正定矩陣和一般矩陣G，對所有的時變參數α∈L，且滿足H2：

證明：式（20）左邊乘αi后求和，可以直接得到式（17），式（21）和式（22）左右同乘αi后求和，運用矩陣Schur補定理和引理1，可以直接得到式（18）和式（19）。證畢。

由離散時間系統的有界實定理［15］，可得到Lyapunov函數矩陣Pi與閉環系統矩陣Acl，i解耦的H∞性能準則。

定理2 給定常數γ＞0，若存在實對稱正定矩陣Pi，i＝1，2，…，μ，對所有的時變參數有和一般矩陣G，滿足：

則閉環系統（14）漸近穩定且滿足H∞性能指標。

證明：過程同定理1，同樣要用到引理1和Schur補定理，其過程略。

需要說明的是，在式（20）～式（22）中，若令W＝Wi，Q＝Qi，Γ＝Γi，得到參數不依賴的Lypaunov函數，對應的H2性能稱為參數不依賴H2性能準則。與之相對應，在式（23）中，若令P＝Pi，則得到的H∞性能也相應地稱為參數不依賴H∞性能準則，其結果具有保守性。

定理1和定理2分別給出了時變采樣間隔和時變時延網絡控制系統H2、H∞性能的條件。如果上面兩個定理同時成立，那么閉環系統（14）就同時具有混合H2／H∞性能。若令Qi＝Pi，式（23）包含式（22）的條件，因此就有如下定理。

定理3 給定常數γ＞0，若存在實對稱正定矩陣一般矩陣Z、H和適ii當維數矩陣2，…，μ，若以下凸優化問題

約束于：

證明：由式（22）和式（23）可知G非奇異，G－1存在，取不失一般性，假定X＞0、Y＞0、U和V分別行滿秩、列滿秩。定義變化矩陣這樣有：在式（23）兩邊左右乘diag及其轉置，進行合同變換。并令得到：

對H2性能指標，運用相同的證明過程，對式（21）兩邊同乘及其轉置，進行合同變換，很容易得到式（26）。在式（25）和式（26）中，有暗含著：

的，即V和U是非奇異的。優化問題式（24）是一個具有線性矩陣不等式（LMI）約束和線性目標函數的凸優化問題，因此可以應用LMI工具箱中的mincx求解器來求解，得出X、Y、S、M、L、F和R值。若U和V可調用Matlab函數［V1，U1］＝則有將上述參數代入式（27），得到動態輸出反饋控制器的參數。證畢。

值得注意的是，在式（24）～式（26）中，令W＝Wi，Γ＝Γi，得到參數不依賴的Lypaunov函數，對應的H2／H∞性能稱為參數不依賴H2／H∞性能準則（二次穩定準則）。約束條件更強（變量參數少），得到的性能具有保守性。

4 仿真實例

這里引用文獻［8］中的例子，連續時間系統如下：

在文獻［8］中，系統采樣周期hk在集合中切換，對應的時延上限為顯然時延也隨采樣周期切換而變化。在這里，我們設定采樣周期和時延連續變化，未知有界，即0，0.1［］s，這樣更具有普遍性。連續系統矩陣Ac的特征根為λ1＝0.2，λ2＝－7.6，連續時間系統是不穩定的。

（1）首先考慮魯棒H2、H∞性能，由定理1和定理2分別得到ηmin＝4.717 1，γmin＝12.136 74。

（2）考慮混合H2／H∞性能指標，即尋找優化問題式（24）約束于式（25）和式（26），分別用參數依賴和參數不依賴的Lyapunov函數取不同的γ＞0值，得到不同H2性能指標ηmin。圖1給出在混合H2／H∞魯棒控制器作用下相應閉環系統的實際魯棒H2性能與魯棒H∞之間的關系。若取γ＝12.136 74，優化問題式（24）無解。由此可看出，H2性能指標ηmin隨抑制擾動γ增加而減小，說明系統魯棒性與其動態性能之間存在矛盾，提高系統魯棒性是以降低其動態性能為條件，反之依然。同時也說明，采用二次Lyapunov函數得到的控制器具有很強的保守性。

圖1 H2性能指標與抑制擾動γ之間的關系Fig.1 Relationship between H2 andγ

設外部干擾信號ω（k）取值，其中n（k）表示零均值，協方差為0.1的正態分布噪聲。即：

假設在第一個控制信號到達被控對象之前，控制信號u（k）＝0（k＜0），對應的離散時間系統中，初始狀態z（0）＝［1－1 0］T，取γ＝17時，求解優化問題式（24）。選用參數依賴的Lypaunov函數方法，即在式（24）中，取不同的Wi，在約束式（25）和式（26）中，取不同的Γi，i＝1，2，…，μ，得到參數依賴混合棒H2／H∞動態反應器如下：

圖2為時變采樣周期和時變時延NCS系統在有外界干擾情形下的閉環系統狀態響應。由圖2可看出，對不穩定的連續系統，所設計的動態輸出反饋控制器能使系統保持漸近穩定，同時對外界干擾具有很好的抑制性。

圖2 閉環系統狀態響應Fig.2 Response of the closed－loop systeM State

5 結語

本文將時變采樣周期和時延的NCS建模為離散時間凸多面體不確定模型。以線性矩陣不等式的方式給出滿足混合H2／H∞性能的動態輸出反饋控制器可解條件及求解算法。數值仿真驗證了所提出設計方法的有效性。本文在離散時間系統框架下進行動態輸出反饋控制設計，為時變采樣周期的NCS研究開辟了新的途徑。

［1］ W P M H Heemels，D W N Van，M C F Gielen.Comparison of overapproximation methods for stability analysis of networked control systems［C］∥Proc of the 13th International Conf on Hybrid Systems on Computation ＆Control，Stockholm，Sweden，2010：181－190.

［2］ E Fridman.Arefined input delay approach to sampled－data control［J］.Automatica，2010，46（2）：421－427.

［3］ H Fujioka.Stability analysis of systems with aperiodic sample－and－hold devices［J］.Automatica，2009，45（3）：771－775.

［4］ E Fridman，A Seuret，J P Richard.Robust sampled－data stabilization of linear systems：an input delay approach［J］.Automatica，2 0 0 4，4 0（8）：1 441－1 446.

［5］ P Naghshtabrizi，J P Hespanha，A R Teel.Exponential stability of impulsive systems with application to uncertain sampled－data systems［J］.Systems＆Control Letters，2008，57：378－385.

［6］ P Naghshtabrizi，J P Hespanha，A R Teel.Stability of networked control systems with variable sampling and delay［J］.Transactions of the Institute of Measurement and Control，2010，32（5）：511－528.

［7］ Y S Suh.Stability and stabilization of nonuniforMSampling systems［J］.Automatica，2008，44（12）：3 222－3 226.

［8］ 王玉龍，楊光紅.具有時變采樣周期的網絡控制系統的H∞控制［J］.信息與控制，2007，36（3）：278－284.

［9］ R A Borges，R C L F Oliverira，C T Abdallah，et al.RobustH∞networked control for systems with uncertain sampling rates［J］.IET Control Theory Appl，2010，4（1）：50－60.

［10］L Montestruque，P Antsaklis.Stability of modelbased networked control systems with time－varying transmission times［J］.IEEE Transactions on Automatic Control，2004，49（9）：1 562－1 572.

［11］薛燕，劉克.變采樣網絡控制系統的魯棒控制［J］.計算機工程與應用，2008，44（27）：240－244.

［12］I Michal，G Daniel，L Steven.Stabilization of systems with variable and uncertain sampling period and time delay［J］.Nonlinear Analysis：Hybrid Systems，2010，4（2）：291－305.

［13］M C Oliverira，J Bernussou，J C Geromel.A new discrete－time robust stability condition［J］.Systems and Control Letters，1999，37（4）：261－265.

［14］俞立.魯棒控制－線性矩陣不等式處理方法［M］.北京：清華大學出版社，2002：34－40.

［15］Xu Shengyuan，Lam James，Zou Yun.New versions of bounded real Lemmas for continuous and discrete uncertain systems［J］.Circuits Syst Signal Process，2007，26（6）：829－838.