二維軸對稱壓差方程組活塞問題的激波解

豆艷萍， 湯忠飛， 徐玉蘭

(上海大學理學院，上海200444)

考慮二維壓差方程組

式中，(u，v)為速度，p≥0為壓強.當流體內部影響與壓強梯度相比較小，并且可以忽略時，方程組(1)是有意義的［1］.在研究二維壓差方程組(1)的活塞問題(一維活塞問題可參見文獻［2］)時，一維問題中的活塞事實上為一個邊界可移動的物體，管子則變成了整個空間.陳恕行［3］首先研究了高維活塞問題，并證明了當活塞勻速運動時高維位勢流方程組激波解的存在性.在此基礎上，陳恕行、王澤軍等［4-6］研究了二維軸對稱等熵Euler方程組激波解的整體存在性.對于非等熵的情形，王澤軍［7］證明了激波解的局部存在性.作為從Euler方程組分離出來的壓差方程組(1)，研究其活塞以不依賴于徑向的速度擴張時激波解的局部存在性很有必要.

1 數學模型及主要結果

假設在初始時刻活塞位于原點，氣體狀態為u=0，p=p*.從t=0時刻開始，活塞的運動是柱對稱的(只與t，r有關)，則激波的位置及氣體的速度也是柱對稱的.為此作變換x=r cos θ，y=r sin θ，u=cos θ，v=sin θ，則方程組(1)變為(仍用u表示)

其中式(6)和(7)是Rankine-Hugoniot(R-H)條件.另外，在激波上有如下熵條件成立：

問題(9)～(13)激波解的存在唯一性可參見文獻［3］，可將其解稱為未擾動解.本研究得出的主要結論如下.

定理1 假設b(t)∈C∞，b(0)=0，b'(0)=b0，且對2≤k≤K，b(k)(0)=0成立，其中K是一個適當大的正整數，則存在正常數T，使得當t≤T時，問題(2)，(4)～(7)存在激波解.

2 近似解的構造

下面將構造問題(2)，(4)～(7)的一個N階近似解.仍記為(u，p，s)，這里的N階近似解指(u，p，s)在x=0附近滿足問題(2)，(4)～(7)的誤差為O(xN)，在第3節中，將以其作為迭代的首項.下面利用Taylor展開來構造近似解(u，p，s)：

其中b(x)取的是定理1中b的Taylor展開的前N項.為確定上述(u，p，s)前N項的系數，將式(19)代入方程(14)及(15)，并令所有xn(0≤n≤N)的系數為0，則有

其中式(20)和(22)分別與式(9)和(10)具有相同的形式.對1≤n≤N，式(21)右端項(ul，pl)|l≤n－1表示所有僅包含ul和pl(l≤n－1)項的和，后面將不加解釋地采用類似的符號.

其中式(25)正是式(11).類似地，對于激波上的R-H條件，將式(19)代入方程(17)和(18)中，可得

利用式(31)和(32)，激波上的邊界條件變為

式中，

由式(20)，(22)，(25)，(27)，(28)可知，(u0(α)，p0(α)，s0)是問題(9)～(13)的解，則(un(α)，pn(α))(1≤n≤N)滿足方程(21)，(23)，(26)，(33).由此，要構造問題(14)～(18)的N階近似解(u(α，x)，p(α，x)，s(x))，只需對0≤n≤N求解一系列一階線性常微分方程組的兩點邊值問題.當n= 0時，方程組由式(20)，(22)，(25)，(27)，(28)組成，它們等價于方程組(9)～(13);當1≤n≤N時，方程組由邊值問題(21)，(23)，(26)，(33)組成.當n=0時問題解的存在唯一性可由文獻［3］得到，我們只需證明當n≥1時，問題(21)，(23)，(26)，(33)存在唯一的經典解.

記φn(α)=(un(α)，pn(α))T，則問題(21)，(23)，(26)，(33)可寫成如下形式：

式中，

關于上述邊值問題解的存在唯一性，有下面的命題.

命題1 當n充分大時，問題(34)存在唯一解.

證明 由常微分方程理論，問題(34)解的存在唯一性等價于相應的齊次問題

的0解的唯一性.用對角陣diag(p0(α)，1)左乘式(35)中的第一式，可得

式中，

即得所要結論.由un(b0)=0，易得式(37)中第一個式子成立.

下證第二個式子，由式(33)，只需證明－s0p0－.注意到，當n充分大時，該不等式等價于

命題1保證了對于充分大的正整數K，當n≥K時，兩點邊值問題(34)存在唯一解.而當1≤n≤K時，由定理1的假設b(k)=0(2≤k≤K)，未擾動解(u0(α)，p0(α))已經滿足式(14)～(18)，這樣就完成了近似解的構造，歸為如下定理.

定理2 在定理1的假設下，對任意的正整數N，問題(2)，(4)～(7)存在N階近似解.

3 線性化及能量估計

顯然，問題(39)～(43)與問題(2)，(4)～(7)等價，由第2節構造的近似解可知，問題(39)～(43)在τ=－∞附近的誤差為O(eNτ)，記為(u(0)，p(0)，σ(0)).

下面對問題(39)～(43)在近似解附近線性化，并選取適當的Hilbert空間來建立能量估計.

其中

hij(1≤i≤2，1≤j≤3)是只依賴于u(0)，p(0)，σ(0)的系數，E，F是只依賴于(u(0)，p(0)，σ(0))的矩陣，，和是階數為O(eNτ)的高階小量.

類似于文獻［5］中的證明，可得下面的能量估計.

定理3 設k是任意的正整數，T＜∞，則存在η0＞0，使得對任意的η＞η0，問題(44)～(47)的解(，)滿足如下的能量估計：

4 迭代過程與主要定理的證明

下面利用Newton迭代法的過程來證明定理1，從而得到問題(39)～(43)在近似解(φ(0)，σ(0)) (φ=(u，p))附近解(φ，σ)的存在性.令

將式(49)代入到問題(39)～(43)中，可得

時，式(48)對k＞2仍成立，并且式(48)中的系數Ck只依賴于?0.

［1］ LIJ Q，ZHANGT，YANGS L.The two-dimensional Riemann problem in gas dynamics［M］.Boca Raton，FL：Crc Press，1998.

［2］ WHITHAMG B.Linear and nonlinear waves［M］.New York：Wiley，1974.

［3］ CHENS X.A singular multi-dimensional piston problem in compressible flow［J］.J Diff Eqns，2003，189(1)：292-317.

［4］ CHENG Q，CHENS X，WANGD H，et al.A multidimensional piston problem for the Euler equations for compressible flow［J］.Dis Cont Dyn Sys，2005，13 (2)：361-383.

［5］ CHENS X，WANGZ J，ZHANGY Q.Global existence of shock front solutions for the axially symmetric piston problem for compressible fluids［J］.Jour Hyper Diff Eqns，2004(1)：51-84.

［6］ CHENS X，WANGZ J，ZHANGY Q.Global existence of shock front solution to axially symmetric piston problem in compressible flow［J］.Z Angew Math Phys，2008，59(3)：434-456.

［7］ WANGZ J.Local existence of the shock front solution to the axi-symmetrical piston problem in compressible flow［J］.Acta Math Sinica，2004，20(4)：589-604.