有限差分格式的群分類

潘書勤， 冉 政

(上海大學上海市應用數學和力學研究所，上海200072)

傳統計算差分格式的穩定性分析的本質困難在于方程的非線性，并且解具有間斷特征.傳統分析方法一般采用局部凍結系數的線性化方法，該方法得到的穩定性和耗散性條件是必要的，但不充分.大量數值試驗和理論分析結果表明，采用該方法得到的格式在用于守恒型問題計算時，仍可能會發生如下異?，F象：激波振蕩、非線性不穩定、非物理解.這些異常現象是目前激波捕捉法計算中存在的3個主要問題.因此，有必要從理論上找出這些異常現象產生的原因和條件，找到更為精確的分析方法，才可能構造出更具有普遍意義的格式.

在非線性分析方法中，李群的研究方法具有獨特意義.受群論在代數和幾何學中所取得的巨大突破的啟發，挪威數學家Lie首先把群論的方法引入到微分方程的研究中，從此人們開始把群論的觀點和方法廣泛地應用到自然科學的各個領域.在群論的發展過程中，Yanenko等［1］首先提出了差分算子的群分類問題.按照差分算子是否滿足微分算子的對稱條件，可以將差分算子分為2類：一種是滿足對稱性的格式;另一種是不滿足對稱性的格式.群分類的主要思想是要求差分格式更多地反映原微分方程的內在性質［2-9］.在計算空氣動力學研究領域，冉政［10］首先利用 Lie變換群理論，對有關的 Lax-Wendroff格式進行了非線性行為分析，發現了Lax-Wendroff格式所得到的波后振蕩與對稱性的聯系.這種分析方法的最主要優點在于能直接對完全的非線性、非定常問題進行分析.文獻［11］進一步利用該方法對有關差分解的激波波動問題進行了討論，并對已有的線性化分析結果進行評估和拓展，初步顯示了該方法的合理性;另外，首次用該方法對TVD(total variation diminishing)格式的有關熵條件進行闡述，得到了新的理論.目前，該方法已經推廣到更一般的守恒型差分格式的對稱性問題［12］、孤立波計算［13］等領域.已有研究表明［10-16］，現有的計算空氣動力學研究領域中，計算激波的有關方法在一定程度上都與一定的對稱性問題有比較微妙的關聯.特別地是，有證據表明，差分計算的非物理波動機制與對稱性的保持與否有關，這些新的研究進展使得從對稱性角度實現有關算法的非線性性質刻畫成為可能.而進一步設計出能保持對稱性質的新算法將是計算空氣動力學中的一個重要的新的研究課題.

微分方程的對稱性質是一個非常重要的問題，因為物理問題的守恒性質必與一定的對稱性質相關聯.很自然地，差分格式也需要滿足這種對稱性質.然而，并非所有的差分格式都具有這種特性.對于傳統的差分方法，一般以修正方程加以討論，在線性范圍內，可以得到差分格式的耗散性、色散性等.但是，這些性質僅適用于線性問題.而一個需要研究的問題是差分方程的群性質.本工作的研究成果將對于從物理角度理解離散效應的群結構變化有所貢獻.

1 模型方程

本工作討論的模型方程為如下線性波動方程：

式中，a＞0，且a為常數，其中一階精度的差分方程修正方程為

二階精度的差分方程修正方程為

2 一階精度的差分方程的群分類

對于方程(1)，已知的無窮小生成元分別為

對于一階差分格式(2)，按照標準的計算方法可以得到6個無窮小生成元，分別為

表1 一階差分格式的李代數結構表Table 1 Lie algebra of the first order scheme

行波解及相似變量分別為

式中，c3，c4為積分常數，c＞0.圖1是2種不同解在t=1時刻數值計算結果的比較.

3 二階精度的差分方程的群分類

對于二階精度差分格式，其修正方程為式(3).為了研究方便，引入如下變換方程：

圖1 2種不同解在t=1時刻的比較，c=0.5Fig.1 Comparison of two different solutions at t=1，c=0.5

對方程(13)作無窮小變換，即

若成立強對稱條件τx=0，則可以簡化如下具有二階格式的對稱算子：

其中U4沒有對應結果.Dilatation對稱得到部分滿足.

對應的Lie代數計算如下：

最終可以得到如表2所示的乘法表.

表2 二階差分格式的群分類(強對稱)Table 2 Group classification of the second order scheme (strong symmetries)

對于對稱算子V3，相似變量ζ=t－1/3(x－t)，相似解的形式為

行波解為y=x－ct，相似解為

式中，ci(i=1，2，…，6)為積分常數，c＞0.圖2是3種不同解在c=2時的周期和振幅.

圖2 3種不同解在c=2時的周期和振幅Fig.2 Periods and amplitudes for three different solutions at c=2

為研究μ因子的作用，放寬對稱性條件，對uxxxxx項作近似處理，令其滿足τx≠0，但τxx=0.下面討論這一條件引入的變化.

在此對稱條件下，二階格式的對稱算子為

其對應的Lie代數計算如下：

得到的乘法表如表3所示.

表3 二階差分格式的群分類(弱對稱)Table 3 Group classification of the second order scheme (weak symmetries)

4 結束語

傳統的計算流體力學理論即使在求解的方程是線性方程的情況下，大多關注的只是差分格式的耗散性以及色散性問題，而目前有關差分格式的非線性穩定性理論仍然有待發展.本工作以通常情況下計算流體力學理論所研究的方程為背景，詳細地給出了有關的群分類計算，對比模型方程不難看出離散條件下的群的演變.另外，群分析的優勢在于非線性問題的處理，有關這方面的工作還在進行當中.

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