超臨界平面耦合軸向運(yùn)動(dòng)梁的靜平衡分岔

黃慧春， 丁 虎， 陳立群，3

(1.上海第二工業(yè)大學(xué)機(jī)電工程學(xué)院，上海201209;2.上海大學(xué)上海市應(yīng)用數(shù)學(xué)和力學(xué)研究所，上海200072; 3.上海大學(xué)理學(xué)院，上海200444)

動(dòng)力傳送帶、空中纜車索道、高樓升降機(jī)纜繩等工程元件，均可模型化為軸向運(yùn)動(dòng)梁，其物理模型如圖1所示.作為典型的陀螺連續(xù)系統(tǒng)，由于陀螺項(xiàng)的存在，使得針對軸向運(yùn)動(dòng)梁振動(dòng)的分析廣受關(guān)注［1-5］.考慮幾何非線性，軸向運(yùn)動(dòng)梁的振動(dòng)通常遵循橫向與徑向(軸向)相耦合的平面運(yùn)動(dòng)規(guī)律.Thurman等［6］首先提出了軸向運(yùn)動(dòng)梁平面耦合運(yùn)動(dòng)的控制方程.Tabarrok等［7］推導(dǎo)出了另外一種耦合平面的控制方程，而且基于靜態(tài)梁的特征函數(shù)對控制方程進(jìn)行了離散.Riedel等［8］在Galerkin截?cái)嗟幕A(chǔ)上，運(yùn)用多尺度方法研究了軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向與徑向耦合的非線性受迫振動(dòng).沈建和等［4］通過增量諧波平衡法研究了橫向與徑向耦合的平面受迫振動(dòng)響應(yīng).這些針對平面耦合控制方程的研究工作都具有一個(gè)共同特點(diǎn)，即通過某種途徑將耦合方程簡化，僅保留少量低階非線性項(xiàng).而文獻(xiàn)［2，9］則直接利用數(shù)值方法研究了未加簡化的亞臨界軸向運(yùn)動(dòng)梁的平面耦合運(yùn)動(dòng).

圖1 軸向運(yùn)動(dòng)梁模型Fig.1 Model of axially moving beam

Wickert［10］基于“準(zhǔn)靜態(tài)假設(shè)”的彈性梁的自由振動(dòng)模型，建立了超臨界軸向運(yùn)動(dòng)的靜平衡位形，以及對應(yīng)于每個(gè)分岔解的連續(xù)陀螺系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)控制方程.Wickert的研究證明，對于超臨界軸向運(yùn)動(dòng)梁，因非線性引起的非平凡靜平衡位形是一切研究工作的前提.但是，對于軸向運(yùn)動(dòng)梁兩端固定邊界條件下，有關(guān)超臨界軸向運(yùn)動(dòng)梁的靜平衡分岔研究，以及對應(yīng)于分岔解的連續(xù)陀螺系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)控制方程的建模工作還未見有報(bào)道.

針對以上問題，本研究通過發(fā)展有限差分方法，直接數(shù)值研究兩端固定邊界條件下，超臨界軸向運(yùn)動(dòng)彈性梁的平面耦合運(yùn)動(dòng)的靜平衡分岔問題.

1 平面耦合模型

假設(shè)截面積為A、密度為ρ、初始張力為P的梁以一致的速度γ(常數(shù))沿軸向運(yùn)動(dòng)，梁彈性模量為E，這里只考慮梁橫向和徑向變形.在徑向空間坐標(biāo)x處，t時(shí)刻橫向位移為v(x，t)，軸向位移為u(x，t).對于細(xì)長的梁(例如，滿足I/(Al2)＜0.001)，耦合動(dòng)力學(xué)方程的無量綱形式為［1-2］

式中，“，x”和“，t”分別表示對x和t的偏微分.相應(yīng)的無量綱化變量和參數(shù)分別為

式中，“'”表示對x取導(dǎo)數(shù)，“^”表示靜平衡位移.

2 計(jì)算方法

這里僅考慮梁的兩端由帶有扭轉(zhuǎn)彈簧的光滑套筒固定的邊界條件［2］：

靜平衡位形可以通過下述兩種方法計(jì)算得到.

2.1 靜態(tài)方程迭代

以u(píng)j和vj表示函數(shù)u(x)和v(x)在網(wǎng)格xj處的值.應(yīng)用中心差分法離散空間導(dǎo)數(shù)［4］，得

此時(shí)，相應(yīng)的兩端固定的邊界轉(zhuǎn)變?yōu)?/p>

將方程(6)和(7)代入方程(3)，可以得到關(guān)于uj和vj的一系列代數(shù)方程.通過迭代方法求解，可得

給定初始條件及參數(shù)的數(shù)值，可解得離散點(diǎn)uj和vj的值作為方程(3)中連續(xù)解u(x)和v(x)的近似解.

2.2 黏彈性模型的非平凡分岔解

考慮Kelvin模型的黏彈性材料梁，則耦合黏彈性軸向運(yùn)動(dòng)梁的動(dòng)力學(xué)方程的無量綱形式為［1-2］

式中，無量綱參數(shù)

其中η為黏性系數(shù).引入步長為τ的均勻節(jié)點(diǎn)，

應(yīng)用有限差分法數(shù)值求解方程(11)需要式(4)和(5)以及相應(yīng)的初始條件，因此，引入如下初始條件：

3 數(shù)值計(jì)算結(jié)果

在數(shù)值仿真中，取 τ=10－5，h=10－2(即L= 100)，D=0.01.以銅材料為例［2］，其彈性模量E= 1.08×1011Pa，密度ρ=8 450 kg/m3.取初始張力P=4 225 N，軸向速度 γ=150 m/s，寬度 W= 0.04 m，高度H=0.02 m的矩形橫截面積梁，無量綱黏性系數(shù)α=0.000 1.

在空間離散式(5)和時(shí)間離散式(13)的基礎(chǔ)上，結(jié)合初始條件以及梁兩端固定的邊界條件，通過差分法計(jì)算方程(11)的橫向和徑向的時(shí)間響應(yīng)歷程，結(jié)果如圖2所示，圖中橫縱坐標(biāo)均為無量綱量.圖2表明非平凡分岔解能夠通過黏性方程計(jì)算得到，而且梁橫向運(yùn)動(dòng)的幅度要遠(yuǎn)大于徑向運(yùn)動(dòng)幅度.數(shù)值計(jì)算結(jié)果顯示，梁的振動(dòng)幅度隨時(shí)間衰減，而且在經(jīng)歷足夠長的時(shí)間之后，梁的形狀趨向于靜態(tài)非平凡平衡位形.因此，超臨界軸向運(yùn)動(dòng)梁的非平凡靜平衡位形可以通過這種途徑得到.

圖2 耦合運(yùn)動(dòng)的時(shí)間響應(yīng)歷程Fig.2 Time history for coupled motion

通過式(9)和方程(11)計(jì)算得到的超臨界軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向與徑向耦合的平面非平凡分岔解的定性比較如圖3所示，其中的點(diǎn)表示通過迭代格式(9)計(jì)算得到的結(jié)果，實(shí)線表示通過黏彈性自由振動(dòng)方程(11)衰減得到的結(jié)果.各參數(shù)取值分別為初始張力P=4 225 N，軸向速度γ=150 m/s，寬度W=0.04 m，高度H=0.02 m，無量綱黏性系數(shù)α=0.000 1.觀察發(fā)現(xiàn)，通過2種途徑得到的計(jì)算結(jié)果完全吻合.

圖4比較了初始張力和橫截面積對超臨界軸向運(yùn)動(dòng)梁中點(diǎn)靜平衡位移的影響.由圖可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)軸向運(yùn)動(dòng)梁的軸向速度達(dá)到一定值時(shí)，軸向運(yùn)動(dòng)梁會(huì)發(fā)生靜平衡分岔.圖4(a)表明了初始張力的影響，其中梁的寬度W=0.04 m，高度H=0.02 m，點(diǎn)、實(shí)線和虛線分別表示初始張力P=2 112.5，4 225.0和8 450.0 N時(shí)的情形.由圖可以發(fā)現(xiàn)，隨著初始張力的增大，臨界分岔速度逐漸減小.圖4(b)表明了梁的橫截面積的影響，其中初始張力P=4 225 N，梁寬度W=0.04 m，點(diǎn)、實(shí)線和虛線分別表示高度H= 0.010，0.015和0.020 m時(shí)的情形.由圖可以發(fā)現(xiàn)，梁的橫截面積變大將導(dǎo)致臨界分岔速度變大.

圖3 2種方法計(jì)算非平凡非靜平衡解的比較Fig.3 Comparison of the non-trivial equilibrium solutions between two methods

圖4 系統(tǒng)參數(shù)對隨速度變化的橫向靜平衡分岔的影響Fig.4 Effectsofparameterson thebifurcation diagram with the axial speed

4 結(jié)束語

本研究討論了超臨界軸向運(yùn)動(dòng)梁橫向與徑向耦合平面非平凡靜平衡位形分岔問題.在梁兩端固定邊界條件下，以銅材料梁為例，結(jié)合有限差分法，分別通過2種方法(迭代格式(9)和黏彈性自由振動(dòng)方程(11))研究耦合平面的非平凡分岔解.數(shù)值計(jì)算結(jié)果表明，在超臨界范圍內(nèi)，橫向與徑向相耦合的平面內(nèi)出現(xiàn)了非平凡的平衡解，而且2種方法得到的超臨界速度下非平凡分岔解是完全吻合的.進(jìn)一步對梁中點(diǎn)位置的靜平衡分岔進(jìn)行比較發(fā)現(xiàn)，非平凡平衡位形的最大位移隨軸向速度的增大而增大，隨初始張力及梁的橫截面積的增大而減小;另一方面，隨著初始張力的增大，臨界分岔速度隨之減小，而梁的橫截面積的變大將導(dǎo)致臨界分岔速度變大.

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