談談動態探究型問題

☉安徽省長豐縣城關中學 軒傳利

☉安徽省舒城縣闕店中學 任保平

談談動態探究型問題

☉安徽省長豐縣城關中學 軒傳利

☉安徽省舒城縣闕店中學 任保平

探究幾何圖形在運動變化過程中與圖形相關的某些量的變化規律或其中蘊含的結論，這類題目叫動態探究型問題.它主要有以下幾種類型：動點問題、動直線問題、圖形變換問題等.對于動態幾何探究型問題，要注意用運動和變化的眼光去觀察和研究幾何圖形，把握圖形運動與變化的全過程，抓住其中的等量關系，并特別關注一些不變量、不變關系和特殊關系，善于化“動”為“靜”，由特殊情形入手，逐步過渡到一般情形，綜合運用各種相關知識及各種數學思想方法加以解決.

題型一 動點問題

1.單動點問題

例1 如圖1，在直角坐標系中，點A是x軸正半軸上的一個定點，點B是雙曲線y＝（x＞0）上的一個動點，當點B的橫坐標逐漸增大時，△OAB的面積將會（ ）.

A.逐漸增大 B.不變

C.逐漸減小 D.先增大后減小

解析：本題中的不變量有兩個：△OAB中的底OA和反比例函數y＝中k＝3的值不變，其中的變量是點B的橫、縱坐標，當橫坐標不斷增大時，縱坐標不斷減小，所以相當于△OAB的高不斷減小，在底不變時，這個底邊上的高不斷減小，所以面積也就是不斷減小.

答案：C

點評：對于動態問題，關鍵是發現條件中的不變量與變量，抓住反比例函數中k的值不變這一條件是解決此問題的關鍵.

例2（2012年甘肅蘭州市）如圖2，AB是⊙O的直徑，弦BC＝2cm，F是弦BC的中點，∠ABC＝60°.若動點E以2cm/s的速度從A點出發沿著A→B→A的方向運動，設運動時間為t（s）（0≤t＜3），連接EF，當△BEF是直角三角形時，t的值為（ ）.

點評：根據直徑所對的圓周角是直角得到直角三角形ABC，再根據30°的直角三角形的性質，可求出AB的長.△BEF是直角三角形，則有兩種情況：①∠BFE＝90°，②∠BEF＝90°.在上述兩種情況所得到的直角三角形中，已知BC邊和∠B的度數，即可求得BE的長；由AE＝AB-BE即可求出AE的長，也就能得出E點運動的距離（有兩種情況），從而求出t的值.此題綜合考查了圓周角定理的推論、垂徑定理以及直角三角形的性質，是一道動態題，同時還考查了分類討論的數學思想，有一定的難度.

2.雙動點問題

（2）當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變（如圖5）.理由如下：

所以當點P、Q運動時，線段DE的長度不會改變.

點評：本題考查的是等邊三角形的性質及全等三角形的判定定理、平行四邊形的判定與性質，根據題意作出輔助線構造出全等三角形是解答此題的關鍵.

題型二 動線問題

例5（2012年廣東珠海市）如圖6①，在等腰梯形ABCD中，，對角線AC、BD交于H，平行于線段BD的兩條直線MN、RQ同時從點A出發沿AC方向向點C勻速平移，分別交等腰梯形ABCD的邊于M、N和R、Q，分別交對角線AC于F、G；當直線RQ到達點C時，兩直線同時停止移動.記等腰梯形ABCD被直線MN掃過的圖形面積為S1、被直線RQ掃過的圖形面積為S2，若直線MN平移的速度為1單位/秒，直線RQ平移的速度為2單位/秒，設兩直線移動的時間為x秒.

點評：本題綜合性很強，難度較大，注意數形結合、分類討論思想與函數思想的應用.解答問題時，要求對幾何元素的運動過程有一個完整、清晰的認識，不管點動、線動還是形動，要善于借助動態思維的觀點來分析，不被“動”所迷惑，從特殊情形入手，變中求不變，動中求靜，抓住靜的瞬間，以靜制動，把動態的問題轉化為靜態的問題來解決，從而找到“動”與“靜”的聯系，揭示問題的本質，發現運動中的各個變量之間互相依存的函數關系，從而找到解決問題的突破口，也就找到了解決這類問題的途徑.

題型三 動圖問題

例6 （2012年四川南充市）如圖7，在Rt△POQ中，OP＝OQ＝4，M是PQ中點，把一三角尺的直角頂點放在點M處，以M為旋轉中心，旋轉三角尺，三角尺的兩直角邊與△POQ的兩直角邊分別交于點A、B.

（1）求證：MA＝MB.

（2）連接AB，探究：在旋轉三角尺的過程中，△AOB的周長是否存在最小值.若存在，求出最小值；若不存在，請說明理由.

分析：（1）連接OM.證明△AMO S△AMO即可.（2）在Rt△AOB中，運用勾股定理求得AB的長，轉化成二次函數的問題，運用二次函數的最值求解.

解：（1）如圖8，連接OM.

點評：本題以直角三角形為基本圖形，綜合考查全等三角形的性質與判定、等腰直角三角形的性質、勾股定理和二次函數的性質等知識點.考查學生綜合運用數學知識以及轉化的數學思想解決問題的能力.對于幾何知識與二次函數的綜合，是學生解題的難點之一.

例7 如圖9，Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足為D，AF平分∠CAB，交CD于點E，交CB于點F.

（1）求證：CE=CF.

（2）將圖9中的△ADE沿AB向右平移到△A′D′E′的位置，使點E′落在BC邊上，其他條件不變，如圖10所示，試猜：BE′與CF有怎樣的數量關系？請證明你的結論.

點評：本題主要考查全等三角形的性質和判定，角平分線的性質等.證線段相等常用的方法：①全等三角形對應線段相等；②等量代換相等.

例8（2012年貴州省畢節市）如圖11①，有一張矩形紙片，將它沿對角線AC剪開，得到△ACD和△A′BC′.

（1）如圖11②，將△ACD沿A′C′邊向上平移，使點A與點C′重合，連接A′D和BC，四邊形A′BCD是______形.

（2）如圖11③，將△ACD的頂點A與A′點重合，然后繞點A沿逆時針方向旋轉，使點D、A、B在同一直線上，則旋轉角為______度；連接CC′，則四邊形CDBC′是______形.

（3）如圖11④，將AC邊與A′C′邊重合，并使頂點B和D在AC邊的同一側，設AB、CD相交于E，連接BD，四邊形ADBC是什么特殊四邊形？請說明你的理由.

分析：（1）利用平行四邊形的判定，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形得出即可.（2）利用旋轉變換的性質以及直角梯形判定得出即可.（3）利用等腰梯形的判定方法得出BD∥AC，AD=CB，即可得出答案.

點評：此題主要考查圖形的剪拼與平行四邊形的判定和等腰梯形的判定、直角梯形的判定方法等知識，熟練掌握判定定理是解題的關鍵.

*本文系2011年安徽省六安市教育科學規劃重點課題（LM11038）“與新課程相適應的學生作業設計研究”的部分研究成果.