相位物可視化的研究

肖中粲，潘永華，高惠濱

（南京大學物理學院，江蘇南京210093）

1 引 言

光從物體中透射后會攜帶該物質性質的相關信息，所以分析出射光的各個參量對研究物質性質有很重要的意義.光所攜帶的信息主要是相位和振幅兩部分，現有的所有感光器件包括人眼都只對光強發生反應，也就是振幅的模平方.如果是相位物體，由于其各處振幅透射率相同，光透射過后就只有相位部分變化，因此直接測量相位物透射光是不可行的，必須將相位信息轉化為振幅信息，從而使相位物的像可視化[1－2].相位物樣品的結構信息主要體現在折射率或厚度的不均勻[3]，在生物科學、材料科學和凝聚態物理中廣泛存在，如活細胞、一些晶體微粒和流體中的湍流等，所以相位物可視化有很重要的研究價值.

幾種常見的相位物可視化方法包括暗場法、紋影法、相襯法和微分法.James Hooke首先演示過紋影法的作用，Toepler和Schardin推廣了這一方法[4]；荷蘭格羅寧根大學的Frits Zernike于1935年提出相襯法，并于1941年發明了第一臺相襯顯微鏡[1]，1953年還因此獲得Nobel物理學獎；1971年S.K.Yao和S.H.Lee則提出利用復合光柵在頻譜面空間濾波實現微分運算[5]，也實現了相位物可視化.

本文從理論、實驗和數值模擬3個方面對4種常見相位物可視化方法進行了分析比較，得出了各種方法的優劣點和適用范圍，提出了利用低頻正弦光柵替代復合光柵濾波，用三重干涉實現效果上類似微分運算的圖像處理方法，最終實現相位物可視化.

2 基本理論

在圖1所示的凸透鏡成像光路中，透鏡對物光有傅里葉變換的作用[3]：

其中，U1（x1，y1）是物面光場函數，x1和y1是物面坐標；U2（x2，y2）是頻譜面光場函數，x2和y2是頻譜面坐標.

頻譜面到像面是又一次傅里葉變換[3]：

其中，U3（x3，y3）是像面光場函數，x3和y3是像面坐標.

圖1 凸透鏡成像示意圖

現分別以f，g，h代表物光函數、頻譜面光函數、像函數，則凸透鏡成像光路中各平面的傅里葉變化關系可表示為為簡化推導過程，可設光路放大系數為1，并忽略透鏡的空間反射效果，即取

圖1所示光路中，若物面上放置的相位物的屏函數是eiφ（x，y），入射光場為A（x，y）（在不影響討論的情況下可視作常數A），則物光復振幅為f（x，y）＝Aeiφ（x，y）.對f做級數展開，可得，也就是[3]

可以看出，光場級數展開的第一項是零頻分量，對應背景光；第一項以后是相位頻譜，對應由于相位變化而產生的衍射光.對于相位物，背景光和衍射光之間有π／2的相位差，它們相干疊加后，干涉為零，這就是背景光上觀察不到衍射光，也即像面上看不到像的根本原因.那么，如果在頻譜面上放置合適的濾波器進行適當濾波，改變背景光和衍射光之間的相位正交關系，則可以在像面上得到相位物的像.設濾波器的復振幅透過率函數為l，則傅里葉變換關系變為?f，其中?表示卷積.

1）相襯法

相襯法[1，3]采用的濾波方式是給零頻分量附加上相位δ，使頻譜分量變為…），則復振幅變為A（eiφ（x，y）＋eiδ－1），光強變為I＝｜A｜2（eiφ＋eiδ－1）（eiφ＋eiδ－1）＊，即[3]

于是得到光強隨相位線性變化的像.

2）暗場法

通過類似的分析方法，可知如果擋住零頻分量，則復振幅變為A（eiφ（x，y）－1），由I＝｜A｜2·（eiφ－1）（eiφ－1）＊有：

當相位是小量時，

于是得到光強與相位平方呈線性關系的像.由于此時相位物的相位是小量，所以暗場法得到的像的亮度較小.

3）紋影法

紋影法的做法是擋住頻譜面上一半的分量，例如y≤0分量.從傅里葉變換的角度討論，h＝＾l?f，其中屏函數l（x，y）＝H0（y）為Heaviside階躍函數故[6]

其中H表示Hilbert變換.于是，

像屏上得到的最終結果是物光場的Hilbert變換的函數.Hilbert變換在信號處理中作用依信號特點有不同側重.不過在這個光學事例中可以從物理的角度理解，遮擋頻譜一半內容后沿著該方向的相位函數上升沿信息被過濾，從而使相位物可視化.下面的實驗和模擬都對這一觀點給予了證實.

4）微分法

此方法核心思想是將光場的波前分成完全相同，但有（Δx，Δy）相對位移的兩部分，并使之發生干涉，得到相位差分的函數f（x＋Δx，y＋Δy）＋f（x，y），則I＝2＋2cos[φ（x，y）－φ（x＋Δx，y＋Δy）].取Δφ＝φ（x，y）－φ（x＋Δx，y＋Δy），上式簡化為

微分法對產生的像有邊緣強化的作用，類似于浮雕的效果，能明顯地觀察到相位梯度大的邊緣，但相位物內部相位沒有梯度變化的部分仍不可見.

光路上微分法可由復合型正弦光柵濾波實現[3]，設條紋沿x方向排列，則其屏函數為

其中l1，l0分別代表透過率條紋周期的峰值和本底透過率.其頻譜為最終成像結果是：

像面上的結果為，分別以復合正弦光柵的零級衍射點和2對1級衍射點為中心，共5組與原始圖像完全相同像的疊加.如果使用高頻復合光柵，k1和k2都較大且取值接近，可以使2個＋1級衍射點和－1級衍射點與0級衍射點相隔較遠但相互靠近，靠近的2個1級衍射點的像發生干涉，就可以分別產生2組圖像微分的結果.

3 實驗內容與初步分析

實驗光路如圖2所示，選取合適的透明相位物體成像，利用傅里葉透鏡進行光學變換，在頻譜面上用適當濾波器進行濾波，在像平面承接變換結果.

圖2 實驗光路圖

3.1 濾波

實驗中實現幾種可視化方法所采用的濾波方案如下.

1）相襯法：以全息干版為底片，用留有小孔的黑紙遮蓋曝光，時間控制在5～10s，之后進行顯影20s，定影10min，水洗3h，將曝光處沉淀銀粒洗凈[7].最后以Mach－Zehnder干涉光路檢查曝光點與非曝光處乳膠膜厚度差，選取產生相移最接近所用激光器半波長的點為濾波器[7－8].

2）暗場法：小圓屏濾波.

3）紋影法：架設刀片濾波.

4）微分法：全息照相法制作正弦光柵[9－10].由于實驗條件所限，只制得了低頻正弦光柵[11－13].由于低頻正弦光柵屏函數為

其頻譜是很靠近的2個1級衍射點和1個零級衍射點，最終的成像結果是3組靠近的原始圖像的疊加.它們之間發生三重干涉，顯示出相位函數.

可以計算出此時像面上光強為

3.2 相位物

實驗中選用了以下幾種不同特點的物體，放置于物面上進行研究.

1）膠水涂敷的文字“FOX”.其特點是字型有所不同，且邊緣處相移量迅速變化，缺點是產生相移較大且不均勻，而且隨時間推移膠水干燥后透射率會下降.

2）超聲光柵.利用超聲波在水中傳播形成駐波，引發密度周期性變化，進而引發折射率變化產生相移.這種相移是周期函數，而且由于密度變化小，它的相移量也小；但是由于駐波波長短，導致相移函數的條紋間距小，難觀察.

3）液膜湍流.由于液膜邊緣湍流導致的厚度和密度變化所致相移.其優點是各處透射率一致，是理想的相位物，缺點是作為相位物體，相位函數無法控制.

4）混合中的冷熱水.是密度變化的相位物，相移小，缺點在于它是三維結構的物體，因此成像難以反映其完整內部信息.

3.3 實驗結果及分析

圖3～6是實驗中采用的4種相位物成像的比較圖.

圖3 膠水文字成像圖

圖4 超聲光柵成像圖

圖5 液膜湍流成像圖

圖6 冷熱水的混合成像圖

對實驗中涉及的幾種方法的初步分析如下：

1）相襯法

由式（4）可以看出，相襯法成像的亮度是相位的周期函數.在相位變化范圍很大時，亮度會發生周期變化，產生條紋[膠水涂敷的文字非常平滑，而圖3（a）中可以看到文字筆畫內部有周期條紋].但是當條件控制合適時，使相位是小量，且相移接近π／2，有式（5），亮度基本與相位線性相關.成像效果較好，這些可以從圖4（a）、圖6（a）與其他方法的結果比較中看出.

2）暗場法

從式（6）可以得出，暗場法成像的亮度同樣有周期性變化規律，這點在圖3（c）中有所反映.然而對小相位物體成像，從式（7）看出亮度相位關系不成線性，而是二次方關系，因此不能準確反映相位信息.而且相比相襯法，暗場法對微小相位比大相位成像亮度低得多，不能很好地顯示出微小的相位.從圖5（c）與圖5（a）及圖6（c）與圖6（a）的對比可以清楚地看出暗場法對一些細節顯示的效果不如相襯法.

3）紋影法

紋影法成像規律由式（8）給出，其推導適用于刀片將零級頻譜一起遮擋的情形.如果不遮擋零級頻譜，由傅里葉變換性質，最終像面光場則變為h′＝A＋h，I′＝｜A｜2＋2Re（Ah）＋I，可近似為

即不遮擋零級頻譜相當于增加背景光強[3]，會降低對比度.本次實驗出于提高對比度的考慮，采用了遮擋零級頻譜的方案，只有在超聲光柵成像時由于亮度過低采取了不遮擋零級頻譜的方法.從圖4（d）、圖5（d）與其他方法的對比可以看出，圖5（d）的亮度很低，而圖4的（d）對比度很低，所以在對微小相位的顯示方面，紋影法是很難做到對比度和亮度同時提高的.

而從圖3（d）、圖6（d）可以看出，紋影法成像結果有立體感，這一點可以從Hilbert變換的性質解釋.而從物理的角度解釋，可以理解為遮擋一半頻譜時將一個方向的相位上升沿信息排除了，只保留該方向下降沿，產生立體感.

4）微分法

實驗中采用低頻正弦光柵濾波的微分法成像，規律由式（14）確定.小相位時相位變化量也是小量，則

如果再考慮相位是緩變的，且l1＜l0，則一項可以省略，則

這樣最終成像是相位函數2個方向相反的差分的平方和，同樣可以起到邊緣強化的效果.但是有對比度不高的缺點.這一點可以從圖3～6的（b）中看出.

4 數值模擬

為了完善結果，彌補實驗中的相位物缺陷，對實驗中未能實現的方法進行研究，對幾種相位物可視化方法進行了數值模擬.

1）模擬方法

對于實驗中涉及到的相襯法、低頻正弦光柵濾波的微分法、暗場法、紋影法，先用離散的矩陣f表示物光場，以傅里葉變換處理物矩陣f得到頻譜g，再將g各元素與屏函數l元素一一相乘，最后再次用傅里葉變換處理得到矩陣h，求模后將其以位圖形式畫出.另外由于實驗中沒有制備出高頻復合正弦光柵，沒有完成微分法，所以模擬中添加了微分法，其實現方案是將矩陣f的元素平移數行數列后和原矩陣相加再直接取模得到.

由于相位函數已知，因此可以直接以相位為圖像矩陣作圖，稱之為原圖.

以上數值模擬借助了數學軟件Octave.

2）模擬中使用的相位物

模擬中用到的相位物是綜合以上實驗物體的特點設計的，突出了幾種代表性相位物的特點，回避了實驗中實際相位物的缺陷.包括：

a.文字.該物體具有銳利邊緣，不同區域相移保持定值不變，筆畫區相移為1，其他區域為0.對應實驗中膠水涂敷的文字，但排除了其文字筆畫區相移不均勻的缺點.

b.連續變化小相移物體.從左向右以正弦函數φ（x，y）＝（sin x＋1）／2變化，大小從左到右由0增加到1.與實驗中超聲光柵對應，但模擬中可以看出各種方法細節處的不同.

c.大相移的馬鞍面.相移按φ（x，y）＝xy變化，右上、左下兩處頂角處為最大值100，右下、左上兩處頂角處為最小值－100.這個物體主要是研究大相移，連續變化的相位物特點.實驗中沒有專門的物體對應.

3）模擬結果

模擬結果如圖7～9所示.

圖7 文字模擬圖

數值模擬的結果很好地驗證了前面對相襯法、暗場法和紋影法的分析：圖9（a）和（c）中的條紋再一次說明對大相位物體成像的相襯法和暗場法的缺陷，而圖9（a）和（c）在中心小相移區成像效果的不同說明相襯法對小相位細節信息的保留比暗場法更多；圖8中（a）和（c）的亮度變化規律與理論預期一致；圖7（d）和圖9（d）中的立體效果是紋影法的特點.圖7（b）和（d）中的多余陰影是由于離散化處理的誤差引起的.

下面重點比較2種微分法的特點.

微分法成像公式比較簡單，由式（9）確定，從圖9（e）可以看出，所得結果是很嚴格的相位函數的方向差分的函數（此處選擇了沿相位矩陣的主對角線做差分）.從圖7（e）看出具有邊緣強化的效果，而且從圖8（e）可以看出在小相移情況下成像結果比較好地反映了相位函數的微分.

而低頻正弦光柵濾波的微分法與之相比共同點是，同樣有邊緣強化的效果，缺點是不如前者明顯，這一點從式（14）與式（9）的比較以及圖7（b）和（e）的對比可以看出；而且在遇到相位函數的變化不劇烈的情況時，成像結果不如后者，這一點可以從圖8（b）和（e）的比較看出.

圖8 相位按正弦函數變化的一維小相位物體模擬圖

但是低頻正弦光柵濾波的微分法相比微分法有其不具備的優點，前者干涉圖像位于主光軸上，后者干涉圖像位于主光軸外，而剩余大量光強都分布在主光軸上，這樣的正弦光柵濾波器可以用于普通顯微鏡中，以實現對相位物的觀察.目前，通常使用DIC顯微鏡觀察相位物，它是靠Wollaston棱鏡來實現微分法的，其成本較高，且對光源要求比較嚴格.正弦光柵濾波器只需要低頻的光柵，對光柵分辨率要求低，可以使用普通膠卷制作，成本低廉，在普通實驗室很容易獲取，這是低頻正弦光柵濾波微分法的最大優勢.

圖9 相位大小按馬鞍面高度變化的相位物體模擬圖

5 結 論

1）在較大相位，有銳利邊緣時，相襯法和暗場法都會出現周期條紋，不適用.而紋影法和微分法是由相位變化率決定成像結果的，因此它們可以得到比較理想的成像結果.

2）相襯法是在微小相位情況下，各種方法中唯一對相位有線性響應的，因此最為適合觀察微小相位物體，具體例子就是生物樣品，適用于生物顯微鏡；對較大相位，相襯法會出現周期條紋，不適用，而且其濾波器制備和選擇都較繁瑣，這是其缺點.

3）暗場法亮度低，且與相位不成線性，但在定性觀察中也很有用.與相襯法類似，暗場法也不適合大相位物體的觀察.

4）紋影法是實現起來最方便的，而且像的亮度反映了此處相位變化快慢，但其缺點是難以同時得到較大的對比度和亮度.同時紋影法對大相位物體成像時不會產生條紋，是其優勢.

5）微分法則是反映相位函數的差分的方法，復合型正弦光柵的缺點是浪費了大部分的光能在零級衍射點上，微分像亮度低.而且由于有效成像在一級衍射點，偏離主光軸，難以直接應用在普通顯微鏡中，必須用其他高成本的方案實現.

6）低頻正弦光柵雖然最終成像由三重干涉決定，故與原始相位信息的對應關系較為復雜，但濾波器制作簡單，且最終效果上保留了微分法的一個重要特點，即邊緣強化的作用，因此它也不失為相位物可視化的一個好方法.

7）最后以上各種方法都有一個共同的缺點，不能嚴格定量測量[14]，只適合定性觀察.

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