動(dòng)中找定 巧妙解題

●馮菊英 (金壇市第一中學(xué) 江蘇常州 213200)

動(dòng)中找定 巧妙解題

●馮菊英 (金壇市第一中學(xué) 江蘇常州 213200)

動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、任意性問(wèn)題能較好地考查學(xué)生的閱讀、轉(zhuǎn)化、化歸、探索等能力，因此備受命題者的青睞．動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、任意性問(wèn)題又與定點(diǎn)、定值、臨界位置等相對(duì)不變量有關(guān)，因此在數(shù)學(xué)解題中應(yīng)適時(shí)實(shí)現(xiàn)動(dòng)與定的相互轉(zhuǎn)化，充分挖掘題目中的隱含條件，巧妙解題．利用動(dòng)定關(guān)系進(jìn)行解題大體可分3類(lèi):(1)動(dòng)中找定;(2)以靜制動(dòng);(3)動(dòng)靜互化．本文對(duì)動(dòng)中找定問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型進(jìn)行歸納總結(jié)．

探索動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題、任意性問(wèn)題，常需研究曲線上的動(dòng)點(diǎn)、函數(shù)中的變量等，解決的策略一般是:把握點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的全過(guò)程，用運(yùn)動(dòng)與變化的眼光去觀察研究，抓住其中的等量關(guān)系和變量關(guān)系．另外還應(yīng)特別關(guān)注一些不變量、不變關(guān)系和特殊關(guān)系，抓住動(dòng)態(tài)變化中暫時(shí)靜止的某一瞬間，將其鎖定在某一位置，化動(dòng)為靜，由特殊情形(特殊值、特殊點(diǎn)、特殊位置、特殊圖形等)過(guò)渡到一般情形，問(wèn)題的實(shí)質(zhì)就容易顯現(xiàn)出來(lái)，從而解決問(wèn)題．

1 直接找到特殊位置

(3)極限法．將直線運(yùn)動(dòng)到與y軸重合的位置，此時(shí)弦的2個(gè)端點(diǎn)，一個(gè)在原點(diǎn)，一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處，與的值一個(gè)是4a，一個(gè)是0，很快得出要求的結(jié)果．

注極端化策略在進(jìn)行某些數(shù)學(xué)過(guò)程的分析時(shí)，具有獨(dú)特作用，恰當(dāng)應(yīng)用極端原則能提高解題效率，使問(wèn)題化難為易、化繁為簡(jiǎn)．極端化方法是特殊值法的延伸，著眼極端，把握過(guò)程，以靜制動(dòng)，用來(lái)解選擇題、填空題往往思維深刻，過(guò)程簡(jiǎn)單明快，頗有舉重若輕之感．

例2如圖1所示，在正方體ABCD-A1B1C1D1中，點(diǎn)M是DD1的中點(diǎn)，點(diǎn)O是底面ABCD的中心，點(diǎn)P是棱A1B1上任一點(diǎn)，則直線OP與直線AM 所成角為 ＿＿．

分析因?yàn)辄c(diǎn)P是A1B1上任一點(diǎn)，所以O(shè)P是一條動(dòng)直線，而要求的直線OP與直線AM所成角為定值，這實(shí)際上也是研究運(yùn)動(dòng)中不變量的問(wèn)題．讓直線OP運(yùn)動(dòng)起來(lái)，找到極端位置A1O，易知A1N是OP在面ADD1A1的射影，由正

方形的性質(zhì)知A1N與AM垂直，再由三垂線定理得OP與直線AM所成角為90°．進(jìn)一步，OP掃過(guò)的面A1B1O與AM垂直，從而得到更一般的結(jié)論．

對(duì)于此類(lèi)在運(yùn)動(dòng)中探討定值的問(wèn)題，通常從運(yùn)動(dòng)中推測(cè)出事物將會(huì)達(dá)到的相對(duì)靜止的局面，用靜的方法來(lái)處理動(dòng)的數(shù)量和形態(tài)，即直接找到特殊位置，再采用特殊法、極限法巧妙解決．由一般到特殊到極限是思維層次的提高，既省時(shí)又省力．

2 假定特殊位置、特殊值

圖1

例3如圖2所示，已知2條直線 l1:2x－3y+2=0，l2:3x－2y+3=0，有一動(dòng)圓(圓心和半徑都在變動(dòng))與 l1，l2相交，且l1，l2被截在圓內(nèi)的2條線段的長(zhǎng)度分別是26和24，求圓心M的軌跡方程．

圖2

分析該題中的圓是一個(gè)動(dòng)圓，故可設(shè)定某個(gè)特殊位置，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，再利用半徑、半弦長(zhǎng)、弦心距構(gòu)成直角三角形，輕松解決問(wèn)題!

注 求軌跡問(wèn)題難在動(dòng)點(diǎn)之“動(dòng)”，如果能先讓軌跡上的動(dòng)點(diǎn)先“靜止”(假定特殊位置)，繼而尋找該點(diǎn)所滿(mǎn)足的相關(guān)條件，用坐標(biāo)列出其關(guān)系，再激活“靜點(diǎn)”使其動(dòng)起來(lái)，即得到所求的軌跡方程．注意學(xué)會(huì)從本質(zhì)上認(rèn)識(shí)問(wèn)題，強(qiáng)化轉(zhuǎn)化意識(shí)．

注假定變量為定值，是放縮法常采取的技巧．在用放縮法解題時(shí)，常因放縮過(guò)度而苦惱，采用極值放縮能達(dá)到放縮有度、順應(yīng)目標(biāo)之效．

3 整合條件找定量

例5已知實(shí)數(shù)a，b，c成等差數(shù)列，點(diǎn)P(－1，0)在動(dòng)直線ax+by+c=0上的射影為點(diǎn)M，點(diǎn)N的坐標(biāo)為(2，1)，則線段 MN 長(zhǎng)度的取值范圍是＿．

分析由a，b，c成等差數(shù)列及ax+by+c=0為動(dòng)直線可知，直線ax+by+c=0恒過(guò)定點(diǎn)，這樣就將直線限制在繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的區(qū)域內(nèi)．在直線繞定點(diǎn)旋轉(zhuǎn)的過(guò)程中結(jié)合射影這一條件再次尋找運(yùn)動(dòng)中的定量，從而解決問(wèn)題．

解由a，b，c成等差數(shù)列知2b=a+c，代入直線方程得

在運(yùn)動(dòng)變化中探索問(wèn)題，要善于在運(yùn)動(dòng)中抓住不變量，可以先取定特殊值或假定特殊位置，再考慮變量或點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)，也可在點(diǎn)的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中找到特殊位置或極限位置，還可整合條件找到條件中蘊(yùn)藏的定量．由一般到特殊再到一般，是思維層次不斷提升的過(guò)程，對(duì)培養(yǎng)學(xué)生數(shù)學(xué)思維能力、優(yōu)化學(xué)生思維品質(zhì)大有裨益．