測試數(shù)據(jù)處理的IGRM模型及其誤差分析

李曉峰 王建君

(湖南文理學院電氣與信息工程學院1，湖南 常德 415000;廣東紡織職業(yè)技術學院科技處2，廣東 佛山 528041)

測試數(shù)據(jù)處理的IGRM模型及其誤差分析

李曉峰1王建君2

(湖南文理學院電氣與信息工程學院1，湖南 常德 415000;廣東紡織職業(yè)技術學院科技處2，廣東 佛山 528041)

針對工程測試試驗中試驗樣本量經(jīng)常不能達到數(shù)理統(tǒng)計方法中所規(guī)定的最低樣本容量的情況，提出以回歸分析模型為試驗結果的主規(guī)律模型。以主規(guī)律模型的擬合結果與系統(tǒng)真值的偏差為對象建立系統(tǒng)殘差模型，并將主規(guī)律模型與殘差模型迭加組成試驗結果的集成灰色回歸模型(IGRM);同時，給出IGRM模型的建模步驟。經(jīng)試驗與建模驗證，IGRM模型對于小樣本、貧信息系統(tǒng)具有優(yōu)異的擬合效果，擬合誤差可從原模型的10%左右降到1%以下。

集成灰色回歸模塊(IGRM) 工程測試 數(shù)據(jù)處理 誤差分析 殘差

0 引言

目前，國內(nèi)外對于工業(yè)生產(chǎn)和工程測試中的質量檢測數(shù)據(jù)處理分析方法主要有兩大類:一類是采用數(shù)理統(tǒng)計方法建立試驗對象的回歸分析模型;另一類是利用灰色系統(tǒng)理論建立的灰色分析模型。在采用數(shù)理統(tǒng)計方法進行分析時，由于存在試驗樣本的代表性問題，因此要求有較大的樣本容量。但在實際工程領域往往存在由于試驗方法為破壞性試驗的情況，使試驗樣本量不能滿足數(shù)理統(tǒng)計方法的“大樣本”要求。而灰色模型能夠針對小樣本、貧信息系統(tǒng)進行分析建模。因此，在日常生產(chǎn)檢測與控制中，企業(yè)常采用數(shù)理統(tǒng)計方法的回歸模型進行擬合分析。在樣本容量不能滿足要求的試驗條件下，科技工作者通常采用灰色建模的分析方法［1］。通過試驗分析發(fā)現(xiàn)，無論是采用回歸分析模型還是采用灰色分析模型，分析結果都存在誤差，該誤差往往不能忽略［2-4］。

對此，本文提出將數(shù)理統(tǒng)計方法中的回歸分析和灰色系統(tǒng)理論中的系統(tǒng)建模相結合，以建立試驗數(shù)據(jù)處理的集成灰色回歸模型(integration grey regression model，IGRM)。試驗及建模計算結果證實，IGRM集成模型可大幅度減小模型的擬合誤差，從而提高產(chǎn)品質量的在線預測控制精度。

1 回歸方程模型

數(shù)理統(tǒng)計方法是通過對大量觀測(試驗)數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析尋找系統(tǒng)內(nèi)在規(guī)律的數(shù)學工具。在需要確定觀測值與系統(tǒng)規(guī)律所表現(xiàn)的真值之間的關系時，通常采用數(shù)理統(tǒng)計中的回歸分析(相關分析)法建立觀測值與系統(tǒng)真值之間的回歸分析模型。在回歸模型的建立過程中，通常根據(jù)觀測(試驗)所獲得的建模數(shù)據(jù)作出散點圖，然后根據(jù)散點圖的變化趨勢確定回歸方程模型的基本形式，利用最小二乘原理導出模型參數(shù)，求出相關系數(shù)并進行統(tǒng)計假設檢驗，得出統(tǒng)計結論，從而完成系統(tǒng)回歸分析的建模。

設系統(tǒng)有若干組變量觀測值(xi，yi)，在一定機理作用下它們之間存在某種未知關系。其中，xi為試驗觀測值，yi為反映系統(tǒng)內(nèi)在規(guī)律的真實值。為了找出系統(tǒng)規(guī)律，通常可用含(n+1)個待定系數(shù)的n階多項式來近似表達該未知關系［5-6］:

式中:b0～bn為回歸系數(shù)，由實測數(shù)據(jù)根據(jù)最小二乘法則確定;x為試驗觀測值;y^為系統(tǒng)真值的擬合值。式(1)即為回歸分析模型。

理論上，任何具有復雜非線性函數(shù)規(guī)律的試驗結果散點圖趨勢曲線都可以用多項式(1)逼近［3］。當多項式的二次以上項的回歸系數(shù)為0時，該回歸模型為線性回歸方程。此外，根據(jù)試驗數(shù)據(jù)的散點圖變化趨勢，也可以采用指數(shù)、對數(shù)等變化規(guī)律的函數(shù)去擬合系統(tǒng)規(guī)律［7-8］。

2 灰色殘差模型

理論上，觀測值越多，其所反映的規(guī)律就越接近系統(tǒng)的真實變化規(guī)律。當對系統(tǒng)進行完全觀測(全部試驗)時，在觀測儀器精度足夠高和允許誤差范圍內(nèi)，所獲得的觀測值(試驗數(shù)據(jù))就是系統(tǒng)的真實情況。實際上，對系統(tǒng)進行完全觀測是不現(xiàn)實的。在工程測試中，往往采用按照一定的樣本容量要求對系統(tǒng)進行觀測或試驗。這樣采用實際觀測值對系統(tǒng)真值進行回歸分析就不可避免地存在誤差。當樣本容量較小時，其回歸分析模型的誤差較大，甚至超過10%。這在工程擬合計算中是不能容忍的［9］。

灰色系統(tǒng)理論針對少數(shù)據(jù)、貧信息系統(tǒng)建模。因此，以回歸分析模型為系統(tǒng)主規(guī)律模型，再通過殘差辨識對其誤差序列建立灰色殘差模型，并利用殘差模型對回歸分析模型進行補償，可以最大限度地減小利用觀測值擬合系統(tǒng)真值的擬合誤差。

所謂殘差辨識就是將模型的擬合值與真值間的差建立GM灰色模型，稱之為殘差GM模型;然后將殘差GM模型所獲得的預測值加到原來的擬合值上，以提高模型精度。

基于上述思想，將式(1)的結果作為預測值、對應的實際值作為原始值，對其殘差建立GM(1，2)模型，把預測結果作為回歸預測擬合模型的補償。這就是基于殘差GM(1，2)和回歸分析模型集成的灰色回歸分析模型［10-11］。

取一原始時間序列:

其中，數(shù)據(jù)序列(2)為實際值時間數(shù)列，數(shù)據(jù)序列(3)為其通過工程檢測技術獲得的預測擬合值時間數(shù)列。其偏差可生成殘差初始數(shù)列(4):

由于殘差序列可能為負值，建模前應對序列作非負初始化處理，建模完成后再對建模估計值作非負處理的反運算。對 ε(0)(i)作 m次累加，可生成累加數(shù)列:

在灰色系統(tǒng)中，如果殘差一次累加后的生成序列{ε(1)(i)}不呈現(xiàn)遞增的情況，則不適合建立GM模型。為此必須增加累加次數(shù)，使生成序列遞增，然后再建立GM模型。根據(jù)大量歷史生產(chǎn)數(shù)據(jù)驗證，殘差的二次累加生成序列開始呈現(xiàn)遞增態(tài)勢。所以，通常取式(6)中的m≤2，即建立二階的殘差GM(1，2)模型。

式(6)中的a(m)、b(m)由最小二乘法求解。記系數(shù)向量 A^=［a(m)，b(m)］T，則有:

求解出A^(m)后，代入式(6)，可解得序列的估計值計算公式的離散模型為:

由式(8)所得的輸出值為遞增值，即對應于m次累加生成的補償值。要得到真實輸出值，還應該還原這些數(shù)據(jù)，即進行累減生成和非負的反運算處理。

3 IGRM及其建模過程

3.1 IGRM的形式

集成模型以建立回歸模型為主規(guī)律模型，對其殘差序列建立GM(1，2)灰色模型，將殘差模型的結果加于回歸模型的擬合值之上，對其進行補償，從而提高模型對系統(tǒng)內(nèi)在規(guī)律的擬合精度。

設ε(0)(i)為擬合值(i)對系統(tǒng)真值y(i)的擬合誤差，(0)(i)為采用 GM(1，2)建立的殘差模型計算值，則集成模型IGRM可表達為:

式中:y^

1(i)為IGRM的擬合結果。

3.2 IGRM的建模過程

集成模型IGRM的建模過程如下。

①用試驗數(shù)據(jù)作散點圖;

②估計散點圖趨勢并繪制趨勢曲線;

③根據(jù)趨勢曲線選定相近的函數(shù)形式或多項式;

④利用試驗數(shù)據(jù)計算回歸系數(shù);

⑤將回歸系數(shù)代入選定的函數(shù)式中，完成回歸方程;

⑥進行相關分析、方差分析和雙總體假設檢驗;

⑦下統(tǒng)計結論，完成回歸分析;

⑧根據(jù)回歸方程計算回歸擬合值;

⑨根據(jù)回歸擬合值計算殘差;

⑩利用殘差建立灰色殘差模型;

（11）將回歸方程和殘差模型集成IGRM;

（12）誤差校驗并完成建模過程。

4 建模實例與誤差分析

為驗證IGRM模型的擬合精度，以對紡織企業(yè)大量使用的傳統(tǒng)烘箱進行檢測控制系統(tǒng)改造為例，取一組烘箱內(nèi)相對濕度與被測材料烘干狀況數(shù)據(jù)進行對比觀測。試驗中，烘箱采用國產(chǎn)Y802型恒溫烘箱，對烘箱內(nèi)小環(huán)境相對濕度的測量采用HS1100濕度傳感器和NE556芯片組成的濕度測量系統(tǒng)，其測量結果表現(xiàn)為頻率Δf;對于烘箱內(nèi)被測材料的烘干狀況，采用隨烘燥時間的推移而變化的材料的質量差C表示。顯然，材料的質量差越小，表明材料中水分含量越少，即材料越干燥。最后，利用試驗數(shù)據(jù)建立材料質量差和反映烘箱內(nèi)相對濕度的頻率差之間的數(shù)學關系模型。這一試驗為改進烘箱的檢測控制系統(tǒng)提供了依據(jù)，并已經(jīng)申請了國家專利［12］。

試驗及建模擬合結果如表1所示。其中，試驗材料為羊毛(新疆新毛、澳大利亞國毛)。

表1 測試數(shù)據(jù)、建模擬合值及其誤差Tab.1 Test data，modeling fitting values and their errors

通過對表1的分析，可以得到如下結論。

①由于系統(tǒng)樣本量小于10，屬于貧信息系統(tǒng)，不能滿足數(shù)理統(tǒng)計方法規(guī)定的大樣本要求，其回歸分析模型對結果的擬合平均絕對誤差為19.08%，這是工程測試所不能接受的。事實上，在建立回歸分析模型時采用了非線性回歸分析方法，其模型為4次多項式，復相關系數(shù)R也達到了0.9以上，但仍然不能滿足儀器改進設計的擬合要求。

②采用IGRM集成模型對結果的擬合平均絕對誤差為0.701 4%，擬合精度大幅度提高，且IGRM集成模型的擬合預測誤差呈遞減的態(tài)勢，具有明顯的規(guī)律性，符合灰色系統(tǒng)理論“新息優(yōu)先”原理。

③將IGRM植入Y802型恒溫烘箱的單片機控制系統(tǒng)程序，就可完成烘箱烘燥過程的全自動監(jiān)控，從而提高測試精度，實現(xiàn)節(jié)能改造。

5 結束語

針對工程測試中試驗樣本為小容量、貧信息的一類工程項目，指出采用回歸分析方法存在較大誤差，提出了建立基于回歸模型和灰色殘差模型集成的預測擬合模型IGRM的解決方案，并給出了IGRM模型的基本形式和建模步驟。

為了驗證集成模型的效果，以國產(chǎn)Y802型恒溫烘箱的監(jiān)控系統(tǒng)改造為對象進行測試試驗和建模。在建模預估過程中，通過實時更新GM模型參數(shù)，可使擬合結果更接近真值。試驗和誤差分析證明，由于殘差模型的補償可以明顯減少單一回歸模型的擬合誤差，使集成模型在試驗數(shù)據(jù)處理中的精度大幅度提高，具有良好的擬合效果。

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Integration Grey Regression Model(IGRM)for Test Data Processing and Its Error Analysis

In engineering test experiments，the quantity of experimental samples can barely reach the minimum sample capacity required by mathematical statistic method.Aiming at this phenomenon，the main-law model with the regression analysis model as the experimental results is proposed.The system residual error model is established on the basis of the deviation between the fitting results of the main-law model and the real values of the system，and by superimposing main-law model and residual error model to compose the experimental results of integration grey regression model(IGRM).In addition，the procedures to establish IGRM are given.Through experiments and modeling，it is verified that IGRM possesses superior fitting effects for small sample and poor information system，and its fitting error reduces from 10%of original model to 1%or less.

Integration grey regression model(IGRM)Engineering test Data processing Error analysis Residual error

TP202+.2

A

廣東省自然科學基金資助項目(編號:9152841101000001);

廣東省高等學校人才引進專項基金資助項目(編號:200886)。

修改稿收到日期:2011-10-24。

李曉峰(1957-)，男，2002年畢業(yè)于湖南大學控制工程專業(yè)，獲碩士學位，教授;主要從事計算機在紡織設備與檢測技術中的應用方面的研究。

行業(yè)信息