多目標(biāo)微分進(jìn)化改進(jìn)算法及應(yīng)用

劉長良 于 明

(華北電力大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，河北 保定 071003)

多目標(biāo)微分進(jìn)化改進(jìn)算法及應(yīng)用

劉長良 于 明

(華北電力大學(xué)控制科學(xué)與工程學(xué)院，河北 保定 071003)

微分進(jìn)化算法作為一種新型、簡單、高效的并行隨機(jī)優(yōu)化算法，近年來在許多領(lǐng)域得到了應(yīng)用，多目標(biāo)微分進(jìn)化便是其中的一種。針對(duì)傳統(tǒng)多目標(biāo)微分進(jìn)化算法中微分進(jìn)化控制參數(shù)不能自適應(yīng)調(diào)整、算法容易出現(xiàn)早熟和退化的現(xiàn)象，采用慣性權(quán)重參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整的控制策略以及改進(jìn)的擁擠距離算法對(duì)多目標(biāo)微分進(jìn)化進(jìn)行改進(jìn)，并將改進(jìn)后的算法用于控制系統(tǒng)PID參數(shù)優(yōu)化仿真試驗(yàn)。結(jié)果表明，改進(jìn)后的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法具有較好的收斂性和分布性以及較高的搜索效率。

多目標(biāo) 優(yōu)化算法 微分進(jìn)化 自適應(yīng) 參數(shù)優(yōu)化 PID

0 引言

控制系統(tǒng)PID參數(shù)優(yōu)化屬于多目標(biāo)優(yōu)化的問題，因其各個(gè)目標(biāo)函數(shù)之間存在相互競爭的關(guān)系，采用單目標(biāo)優(yōu)化往往不能統(tǒng)籌兼顧，從而造成控制質(zhì)量的下降［1］。雖然目前國內(nèi)外廣泛采用傳統(tǒng)工業(yè)過程調(diào)節(jié)PID控制方法，但對(duì)控制器參數(shù)進(jìn)行人工整定不僅需要熟練的整定技巧和經(jīng)驗(yàn)，而且當(dāng)被控對(duì)象特性發(fā)生變化時(shí)，控制器參數(shù)沒有相應(yīng)的自適應(yīng)調(diào)節(jié)能力。

多目標(biāo)進(jìn)化算法(multi-objective evolutionary algorithms，MOEAs)的研究始于 20 世紀(jì) 80 年代［2］。在其研究過程中，由Deb等人提出的NSGA-Ⅱ算法以及由Zitzler等人提出的SPEA-Ⅱ算法應(yīng)用較多［3］。自Rainer Storn和Kenneth Price于1995年提出了一種更有效、更簡便的微分進(jìn)化算法(differential evolution，DE)以來，許多學(xué)者致力于將其擴(kuò)展應(yīng)用到多目標(biāo)進(jìn)化領(lǐng)域的研究中，先后出現(xiàn)了PDE、PDEA、MODE和DEMO 等算法［4-7］。

以上這些多目標(biāo)進(jìn)化算法均旨在追求收斂性和多樣性這兩個(gè)優(yōu)化指標(biāo)，并且這些算法基本上都用到了以下兩種策略:①通過構(gòu)造Pareto候選解集保留所獲得的非劣解，并通過適當(dāng)?shù)拇胧?空間分布密度信息)來維持解的多樣性;②依據(jù)解集中個(gè)體間的Pareto支配關(guān)系和空間密度信息來確定個(gè)體的優(yōu)劣［8］。但由于基本微分進(jìn)化算法存在控制參數(shù)不能自適應(yīng)調(diào)整的問題，參數(shù)的人為設(shè)定難以使尋優(yōu)效果達(dá)到最佳;算法中的貪婪選擇策略導(dǎo)致選擇壓力過大，并且當(dāng)種群中決策變量中的某一維趨于相同時(shí)，微分向量為零［9］。這些因素都使得種群產(chǎn)生“早熟”問題。

1 基本微分進(jìn)化算法

基本微分進(jìn)化算法(DE)是一種基于種群優(yōu)化的進(jìn)化算法，它在求優(yōu)過程中具有高效性、收斂性和魯棒性等優(yōu)點(diǎn)［10］，適用于無約束連續(xù)變量的全局優(yōu)化。

基本微分進(jìn)化算法的進(jìn)化過程包括變異、交叉和選擇三個(gè)基本操作。以一個(gè)規(guī)模為NP的種群為例，其中的個(gè)體均為N維向量，第i個(gè)個(gè)體定義如下:

1.1 變異操作

在第G代中，目標(biāo)個(gè)體向量為Xi，G，而變異后的個(gè)體向量為Vi，G。變異操作過程有多種方法，本文采用如下變異策略。

式中:DE為算法名稱;rand為隨機(jī)函數(shù);r1、r2、r3為介于1和NP之間互不相同的隨機(jī)整數(shù);F∈(0，1)，為變異算子，用于控制變異的幅度，即差值的放大倍數(shù)。

1.2 交叉操作

為了維持種群個(gè)體的多樣性，在此引入交叉操作的方法，即由目標(biāo)向量和變異向量不同基因位的數(shù)值，重新組合產(chǎn)生試驗(yàn)向量 Ui=(u0，i，…，uN-1，i)T。交叉操作的產(chǎn)生方法具體如下。

式中:G代表“第 G 代”;rand為隨機(jī)函數(shù)，randj［0，1］為在0和1之間產(chǎn)生的一個(gè)隨機(jī)數(shù)，j=0，1，…，N-1;jrand∈［0，N-1］;CR為交叉算子且為介于0和1之間的連續(xù)實(shí)數(shù)，如果CR的值較大，DE的收斂速度會(huì)加快;如果CR的值較小，DE的魯棒性會(huì)更好，但會(huì)增加問題的執(zhí)行時(shí)間。式(3)是二項(xiàng)式交叉算子，許多文獻(xiàn)經(jīng)常采用這種形式。

1.3 選擇操作

新一代個(gè)體的產(chǎn)生方式為:

式中:f()為待優(yōu)化的目標(biāo)函數(shù)。在此過程中如果新產(chǎn)生的子代個(gè)體的適應(yīng)度比父代強(qiáng)，即子代個(gè)體更優(yōu)良，那么Ui，G將取代其相應(yīng)的父代個(gè)體進(jìn)入種群，參與下一代的進(jìn)化。

2 改進(jìn)的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法

2.1 多目標(biāo)優(yōu)化問題

在多目標(biāo)優(yōu)化問題(multi-objective problem，MOP)中，某個(gè)目標(biāo)性能的提高常常是以損害其他目標(biāo)為代價(jià)，因而只能在多個(gè)目標(biāo)之間進(jìn)行折衷處理，以達(dá)到整體最優(yōu)。在MOP中，常用定義如下。

① Pareto占優(yōu)

A＜B(A占優(yōu)B)，當(dāng)且僅當(dāng):

式中:A和B為決策空間中兩個(gè)不同的個(gè)體。

② Pareto最優(yōu)或Pareto非劣

A是Pareto最優(yōu)解(非劣解)，當(dāng)且僅當(dāng):

式中:d為向量維數(shù)。

所有Pareto最優(yōu)解的集合稱為Pareto最優(yōu)解集;Pareto最優(yōu)解對(duì)應(yīng)的目標(biāo)函數(shù)值稱為非劣目標(biāo)向量;所有非劣目標(biāo)向量形成的區(qū)域稱為Pareto前沿。多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解實(shí)際上是找到盡可能多的Pareto最優(yōu)解，且使其相應(yīng)的目標(biāo)向量在Pareto前沿中均勻分布［11］。

2.2 改進(jìn)的多目標(biāo)進(jìn)化算法

2.2.1 控制參數(shù)調(diào)整策略

在微分進(jìn)化算法中，控制參數(shù)的設(shè)置與調(diào)整是一個(gè)重要且困難的問題，目前還沒有一種慣行的控制參數(shù)設(shè)置與調(diào)整機(jī)制。針對(duì)上述問題，許多文獻(xiàn)提出了控制參數(shù)自適應(yīng)調(diào)整的策略，如采用模糊自適應(yīng)的參數(shù)調(diào)整方法和依據(jù)群體適應(yīng)度方差對(duì)控制參數(shù)進(jìn)行調(diào)整的方法等［12-13］。

本設(shè)計(jì)采用粒子群算法中慣性權(quán)重動(dòng)態(tài)調(diào)整思想來動(dòng)態(tài)調(diào)整DE中的變異因子F和交叉因子CR［14］。在搜索的初始階段，由于個(gè)體隨機(jī)分布在解空間中，因此，向量差值較大，這就要求算法的控制參數(shù)F相對(duì)小一些。但隨著種群的不斷進(jìn)化，個(gè)體逐漸靠近最優(yōu)個(gè)體，算法中變異操作產(chǎn)生的差值擾動(dòng)會(huì)逐漸變小，這就要求此時(shí)的F相對(duì)大一些，使得變異操作后的向量能夠開拓新的搜索空間。同樣，對(duì)于交叉因子CR也是如此。基于以上分析，本文采取的控制參數(shù)調(diào)整策略為:

式中:Fmax和Fmin分別為變異因數(shù)F的最大值和最小值;lmax和l分別為設(shè)定的最大進(jìn)化代數(shù)和當(dāng)前的進(jìn)化代數(shù);CRmax和CRmin分別為交叉因數(shù)CR的最大值和最小值。

2.2.2 擁擠距離算法改進(jìn)

NSGA-II算法依據(jù)同一個(gè)Pareto非劣排序等級(jí)中擁擠距離大的個(gè)體被保留的原則進(jìn)行選擇操作。設(shè)個(gè)體B的前后相鄰兩個(gè)個(gè)體分別為A和C，擁擠距離(稀疏度)DC(B)定義如下:

式中:fi(A)與fi(C)分別為個(gè)體A和個(gè)體C在第i個(gè)目標(biāo)函數(shù)上的值。邊界個(gè)體的擁擠距離定義為無窮大，保證無條件進(jìn)入下一代。擁擠距離計(jì)算示意圖如圖1所示。

圖1(a)～圖1(c)為兩目標(biāo)優(yōu)化問題，A、B、C處于同一個(gè)Pareto非劣排序等級(jí)。很明顯，個(gè)體B在圖1(a)中的稀疏度均優(yōu)于圖1(b)與圖1(c)，但按原始的擁擠距離算法不能判別出個(gè)體B在圖1(a)和圖1(c)中的優(yōu)劣。這樣，隨著進(jìn)化代數(shù)的增加，會(huì)導(dǎo)致解的分布性和多樣性劣化［11］。由此可見，這種算法存在較大的局限性。

改進(jìn)后的擁擠距離算法示意圖如圖1(d)所示，設(shè)O為A和C的中心點(diǎn)。改進(jìn)的擁擠距離DC(B)計(jì)算方法如下:

式(10)反映了個(gè)體稀疏度既與其在目標(biāo)函數(shù)上鄰域的大小［fi(A)-fi(C)］有關(guān)，又與分布均勻程度［fi(B)-fi(O)］有關(guān)，由此判斷出個(gè)體B在圖1(a)中的稀疏度要優(yōu)于圖1(c)。

圖1 擁擠距離計(jì)算示意圖Fig.1 Calculation of the crowded distance

改進(jìn)的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法流程圖如圖2所示。

圖2 改進(jìn)算法流程圖Fig.2 Flowchart of the improved algorithm

3 仿真研究

3.1 過熱蒸汽溫度優(yōu)化模型

火電廠過熱蒸汽溫度對(duì)象具有大慣性、大延遲、非線性和時(shí)變的特性。影響過熱蒸汽溫度的因素有很多，如機(jī)組負(fù)荷、火焰中心位置、給水溫度、煙溫和流速、減溫水流量等［15］。目前，通常采用的串級(jí)汽溫閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)如圖3所示。

圖3 串級(jí)汽溫閉環(huán)控制系統(tǒng)結(jié)構(gòu)Fig.3 Structure of the cascade closed-loop steam temperature control system

圖3中，內(nèi)回路為PI控制器，外回路為PID控制器，W1(s)為惰性區(qū)傳遞函數(shù)，W2(s)為導(dǎo)前區(qū)傳遞函數(shù)，d1和d2分別為輸出測量干擾和控制量干擾，yr為給定值，y為輸出測量值。

某一超臨界600 MW直流鍋爐高溫過熱器在75%負(fù)荷下，主汽溫對(duì)噴水?dāng)_動(dòng)的動(dòng)態(tài)特性為［16］:

優(yōu)化工作的任務(wù)就是應(yīng)用改進(jìn)的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法對(duì)PID控制器的比例Kp、積分Ki和微分Kd在其可行域空間內(nèi)進(jìn)行尋優(yōu)，使系統(tǒng)能穩(wěn)定運(yùn)行，且上升時(shí)間tr、超調(diào)量σ(%)和調(diào)節(jié)時(shí)間ts的組合達(dá)到最優(yōu)。顯然，這三種性能指標(biāo)是相互競爭的關(guān)系。只有采用多目標(biāo)優(yōu)化，才能克服傳統(tǒng)單目標(biāo)方法中的性能退化問題，以達(dá)到綜合最優(yōu)的控制效果。

3.2 改進(jìn)算法仿真研究

在本算例中，Kp、Ki和Kd的取值范圍分別為［0.001，4］、［0.001，2］和［0.001，50］。內(nèi)環(huán)為 PI調(diào)節(jié)，控制器參數(shù)固定為比例增益Kp2=10、積分增益Ki2=0.1［16］。設(shè)定汽溫最大允許超調(diào)量為5%，系統(tǒng)穩(wěn)定時(shí)間不大于600 s，上升時(shí)間不超過300 s，仿真時(shí)間為2 500 s。

改進(jìn)的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法的參數(shù)設(shè)置為種群規(guī)模100、進(jìn)化代數(shù)500、交叉因子下限CRmin=0.1、上限CRmax=0.9、變異因子下限Fmin=0.1、上限Fmax=0.9。

經(jīng)過500代的進(jìn)化后，產(chǎn)生多組Pareto最優(yōu)解，決策者在實(shí)際運(yùn)行中只能從諸多Pareto最優(yōu)解中選取一個(gè)作為最終方案。本文依據(jù)文獻(xiàn)［11］中的模糊集理論方法來確定最優(yōu)的折衷解。最終尋優(yōu)結(jié)果為:

對(duì)于輸出主蒸汽溫度單位階躍響應(yīng)，應(yīng)用改進(jìn)的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法對(duì)PID控制器進(jìn)行參數(shù)整定后，得到的幅值響應(yīng)與文獻(xiàn)［16］粒子群算法和單目標(biāo)優(yōu)化得到的結(jié)果相對(duì)比，得到的主汽溫階躍響應(yīng)曲線如圖4所示，PID及階躍響應(yīng)性能參數(shù)如表1所示。

圖4 主汽溫階躍響應(yīng)曲線Fig.4 Step response curves of main steam temperature

表1 PID及階躍響應(yīng)性能參數(shù)Tab.1 Parameters of PID and step response performance

從表1可以看出，應(yīng)用改進(jìn)的多目標(biāo)微分進(jìn)化方法得到的曲線超調(diào)量明顯小于應(yīng)用單目標(biāo)優(yōu)化和粒子群算法得到的超調(diào)量，三者的峰值時(shí)間相差不多，但多目標(biāo)微分進(jìn)化方法仍優(yōu)于后兩者;然而對(duì)于調(diào)節(jié)時(shí)間來說，應(yīng)用改進(jìn)的多目標(biāo)微分進(jìn)化方法得到的結(jié)果卻不及單目標(biāo)優(yōu)化方法。究其原因，正是多目標(biāo)優(yōu)化的特性所致，即一個(gè)優(yōu)化目標(biāo)性能的提高必然以其他性能劣化為代價(jià)。

總體來看，應(yīng)用本文提出的改進(jìn)的多目標(biāo)微分進(jìn)化方法得到的系統(tǒng)具有良好的魯棒性，且能夠仿真出超調(diào)量很小的響應(yīng)曲線，調(diào)節(jié)時(shí)間和峰值時(shí)間也相對(duì)令人滿意。

4 結(jié)束語

本文將微分進(jìn)化算法與多目標(biāo)優(yōu)化相結(jié)合，并對(duì)傳統(tǒng)算法的不足進(jìn)行了改進(jìn)。將改進(jìn)后的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法應(yīng)用于主汽溫PID控制器參數(shù)優(yōu)化設(shè)計(jì)，實(shí)現(xiàn)了主汽溫的多目標(biāo)優(yōu)化控制。從仿真結(jié)果可以看出，使用改進(jìn)后的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法優(yōu)化得到的最優(yōu)參數(shù)對(duì)主汽溫進(jìn)行控制，其階躍響應(yīng)過程表現(xiàn)出較好的動(dòng)態(tài)特性和穩(wěn)態(tài)特性，超調(diào)量、上升時(shí)間和調(diào)節(jié)時(shí)間三個(gè)目標(biāo)函數(shù)均得到了較好的優(yōu)化，獲得了最優(yōu)的綜合控制效果。

由此可見，即使對(duì)于火電廠過熱蒸汽溫度對(duì)象這種具有大慣性、大延遲、非線性和時(shí)變特性的復(fù)雜系統(tǒng)，改進(jìn)的多目標(biāo)微分進(jìn)化算法也能獲得良好的優(yōu)化效果。因此，進(jìn)一步探索和研究多目標(biāo)微分進(jìn)化算法對(duì)于這種需進(jìn)行多目標(biāo)優(yōu)化的復(fù)雜控制系統(tǒng)具有極其重要的意義。

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Improved Multi-objective Differential Evolution Algorithm and Its Application

As a new type of simple and efficient parallel stochastic optimization method，the differential evolution algorithm has been applied in many fields in recent years and multi-objective differential evolution is just one of them.In traditional multi-objective differential evolution algorithm，the differential evolution control parameters cannot be adaptively adjusted，thus the algorithm is easy to be precocious and degraded.By adopting the control strategy of inertia weight parameter adaptive adjustment and the improved crowding distance algorithm，the multiobjective differential evolution is improved.The improved algorithm is used in simulation experiment for parameter optimization of PID control system.The result indicates that the improved algorithm features better convergence，distribution and high search efficiency.

Multi-objective Optimization algorithm Differential evolution Self-adaptive Parameter optimization PID

TP18

A

國家863計(jì)劃基金資助項(xiàng)目(編號(hào):2007AA041106)。

修改稿收到日期:2011-03-30。

劉長良(1966-)，男，2002畢業(yè)于華北電力大學(xué)自動(dòng)化專業(yè)，獲博士學(xué)位，教授，博士生導(dǎo)師;主要從事火電機(jī)組熱工系統(tǒng)建模與控制方面的研究。