正態云隸屬度函數確定的FSM方法

劉 琪 劉曉青

(周口師范學院物理與電子工程系，河南 周口 466001)

正態云隸屬度函數確定的FSM方法

劉 琪 劉曉青

(周口師范學院物理與電子工程系，河南 周口 466001)

隸屬度函數及其確定方法的研究具有重要意義。采用正態云模型表示的隸屬度函數綜合了模糊性和隨機性，具有普適性;提出了確定隸屬度函數的模糊減法均值聚類(FSM)方法，得到了最優聚類中心和數據的隸屬度。實例仿真表明，采用該方法確定了石油鉆井中總體積的正態云隸屬度函數，解決了隸屬度函數難以客觀描述和難以確定的問題。

正態云模型 隸屬度函數 不確定性 模糊減法均值聚類 石油鉆井

0 引言

在客觀世界的不確定性中，特別是在人類思維和認知載體的語言中，隨機性和模糊性存在極大的關聯性［1-3］。李德毅在隨機數學和模糊數學的基礎上，提出用正態云模型來描述不確定性現象與事物的隨機性、模糊性及其關聯性［4］。然而隸屬度函數的確定方法一直沒有得到根本解決。在不確定性推理過程中，隸屬度函數往往是被主觀取值“硬化”成區間［0，1］中的精確數值表達，不考慮隨機性，且不具有模糊性和可靠性。

本文采用正態云模型表示隸屬度函數，提出了模糊減法均值聚類(fuzzy subtractive means clustering，FSM)方法，確定了石油鉆井中總體積變化量的正態云隸屬度函數［5］，解決了隸屬度函數難以客觀描述和難以確定的問題。

1 正態云隸屬度函數

正態云模型是定性概念與定量表示之間的不確定性轉換模型，它表征了知識表示中的模糊性(邊界亦此亦彼)和隨機性(發生的概率)。

定義1［1］設U為一個用精確數值表示的定量論域，C為U上的定性概念，若定量值x∈U，且x是定性概念C的一次隨機實現，x對 C的隸屬度 μ(x)∈［0，1］是有穩定傾向的隨機數，則稱μ(x)在U上的分布為云模型。設N(A，B)表示服從正態分布的隨機函數，其中A為期望值，B為標準差，則有:

式中:Ex為期望值;En為熵;He為超熵。式(1)～式(3)表示變量μi與xi之間的函數關系。滿足式(1)～式(3)的數據對 drop(xi，μi)(i=1，2，…)構成的云模型稱為正態云模型，記為(Ex，En，He)，正態云模型的數學特征和貢獻如圖1所示。

圖1 數學特征和貢獻Fig.1 Mathematical characteristics and contribution

正態云模型分為期望值Ex、熵En、超熵He這幾個數學特征值。

期望值Ex是指概念在論域中的中心值，其在論域空間中最能夠代表定性概念。期望值Ex隸屬于定性概念。

熵En是指定性概念模糊度的度量，代表一個定性概念的可度量粒度，即在論域中可被概念所接受的數值范圍，通常熵越大，概念所接受的數值范圍也越大，概念越模糊。熵En體現了定性概念亦此亦彼的裕度。

超熵He是指熵En的熵，反映了云滴的離散程度，是熵的不確定性的度量。超熵越大，隸屬度的隨機性越大，云的厚度越大。超熵He反映了定性概念值的樣本出現的隨機性，揭示了模糊性和隨機性的關聯。當He=0時，正態云模型退化為其期望曲線:

定義2［6］云中的任一區間 x∈［a，b］上元素對定性概念~A的貢獻C為:

由此可知:①對于整個論域x∈(-∞，+∞)，C=1，全部元素對定性概念~A的貢獻為100%;②對于x∈［Ex-0.67En，Ex+0.67En］，C=0.5，這部分元素對定性概念的貢獻~A為總貢獻的一半，稱為“骨干元素”;③對于x∈［Ex-En，Ex+En］，C=0.683，這部分元素對定性概念的貢獻~A為總貢獻的68.3%，稱為“基本元素”。

隨機變量y的概率密度函數為:

隨機變量y的概率密度同云的三個數學特征無關。這說明對于定性概念，云滴有確定的統計分布，其不確定性中仍然包含確定的規律性，反映了人們對知識表示定性概念的共同性。

正態云模型綜合表征了不確定性的模糊性和隨機性，是定性概念與定量表示之間的不確定性轉換模型，具有普適性。采用正態云模型的隸屬度函數具有以下特點。

①云由大量的云滴組成，一個云滴是定性概念在數量上的一次實現，云的整體形狀反映了隸屬度函數的基本特征，云滴數目表示了云對定性概念的貢獻。

②云的厚度是不均勻的，其在腰部最分散、厚度最大，而頂部和底部的匯聚性好、厚度小。云的厚度反映了隸屬度隨機性的大小，越靠近概念中心或遠離概念中心的隸屬度，其隨機性越小，與人的主觀感受一致。

③所有x∈U到區間［0，1］的映射均為一對多，隸屬度是正態概率分布，隸屬度的細微變化產生了云。

2 模糊減法均值聚類方法

模糊聚類分析是許多分類和系統建模的基礎［7］。聚類的目的是從大量的數據中抽取固有的特征，以獲得系統行為的簡潔表示。Bezdek提出的用隸屬度確定數據點屬于某個聚類程度的模糊C均值聚類(fuzzy c-means clustering，FCM)方法［8-9］，其適應性強，是目前比較成熟的模糊聚類方法;但FCM方法要求首先提供聚類中心個數，且嚴重依賴隨機生成的初始聚類中心。

對于 X={x1，x2，…，xn}?RS的樣本點集合，模糊減法均值聚類(FSM)方法如下。

① 設定聚類參數，包括鄰域半徑ra、比例參數δ、模糊指數m和容許誤差Emax，計算每一個點xi的密度指標 Di。

②對每個數據點的密度指標進行修正。

式中:rb為密度指標函數顯著減小的鄰域半徑，一般為rb=1.2ra，取最高的q個密度指標點xck+1作為新的聚類中心 wk(l)，其中，l=1;k=1，2，…，q。

③判斷。

判斷式(9)是否成立，若不成立，返回步驟②。

④ 計算xi對wk(l)的隸屬度uik。

⑤調整聚類中心。

⑥ 計算價值函數J(l)和誤差δ:

如果δ＜Emax，結束迭代，并輸出聚類結果;否則l=l+1，返回步驟④。

3 實例仿真

通過模糊減法均值聚類(FSM)方法，可以得到聚類中心和每個數據點對聚類中心的隸屬度，這些參數可以確定正態云隸屬度函數。本文的實例選用鄂北石油鉆井現場總體積數據EB_Da51中的200個數據［10］，其分布如圖2所示。

圖2 石油鉆井中的總體積Fig.2 Total volume of petroleum drilling

采用FSM方法確定總體積變化量的正態云隸屬度函數，其具體步驟如下。

①數據統一論域，求解總體積的變化量并將其映射到統一論域空間。

②模糊減法均值聚類(FSM)，求解聚類中心wk、聚類中心個數q和數據對聚類中心的隸屬度uik。

③確定語言值和每個語言值的期望值Exk(1≤k≤q)。本實例中q=4，取無、小、中、大四個語言值，通過FSM方法得到的聚類中心即為每個語言值對應的正態云模型的期望值Exk。

④確定每個語言值的熵Enk(1≤k≤q)，用正態云模型的期望曲線逼近200個樣本點的隸屬度uik構成的曲線，即求解滿足式(14)的目標函數最小的Enk。

⑤確定每個語言值的超熵Hek。超熵Hek的確定比較困難，一般由專家根據具體情況而定，本文給出一種近似求法。

采用上述方法得到的總體積變化量的q個語言值的Ex、En和He如表1所示。

表1 總體積變化量的數學特征Tab.1 Membership function of the variable quantity of the total volume

根據表1中的語言值參數，可得到總體積變化量的正態云隸屬度函數，如圖3所示。

4 結束語

實例研究表明，模糊減法均值聚類方法迭代次數少、收斂速度快、運算穩定，避免了模糊C均值聚類方法需要首先確定聚類中心個數的盲目性和陷入局部極小點的可能性。采用FSM方法確定的正態云隸屬度函數綜合表征了數據的模糊性和隨機性，解決了隸屬度函數難以客觀描述和難以確定的難題。

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Membership Function of the Normal Cloud Determined by FSM Method

The research on membership function and its determination method has great significance.The membership function presented by adopting normal cloud integrates fuzzy and random performances，and possesses common adaptability.The method of fuzzy subtractive means clustering(FSM)is proposed for determining the membership function for obtaining optimal clustering center and membership degree of data.In practical simulation，the membership function of normal cloud for the total volume in petroleum drilling is determined and the difficulty of describing and determining the membership function has been solved.

Normal cloud modelMembership function Uncertainty Fuzzy subtractive means clustering(FSM)Petroleum drilling

TP181

A

河南省教育廳自然科學研究計劃基金資助項目(編號:2011B510021);

周口師范學院教學改革研究基金資助項目(編號:J2010072)。

修改稿收到日期:2011-01-17。

劉琪(1983-)，男，2010年畢業于鄭州大學控制理論與控制工程專業，獲碩士學位，講師;主要從事控制理論與應用、智能控制與模式識別方面的研究。