嵌入式系統中數字濾波器的分析和設計

詹圣益

0 引言

隨著科技技術發展，許多高新技術產品都需要配備數字控制器。數字信號處理在通信、圖像、軍事、航空航天、醫療和家用電器等眾多領域，得到了廣泛的應用。在數字信號處理應用中，數字濾波器十分重要并已獲得廣泛應用，如圖1所示：

圖1.數字信號處理器模型

1 理想濾波器與實際濾波器

根據濾波器的選頻特性，一般將濾波器分為低通、高通、帶通、帶阻4種。理想濾波器在通帶內的幅頻特性應為常數，相頻特性的斜率為常值；在通帶外幅頻特性應為零。實際上，單位脈沖響應是非因果的且無限長的，在物理上是不能實現的。這說明，在截止頻率處呈現直角銳變的幅頻特性，或者說在頻域內用矩形窗函數描述的理想濾波器，是不可能存在的。實際濾波器，在通帶和阻帶之間存在一個過渡帶，在過渡帶的頻率成分不是完全被抑制，而只是受到一定比例的衰減。當衰減得越快，越接近理想的濾波器，同時其階數也越高。

2 數字濾波器的特點

數字濾波器可以滿足幅度和相位特性的嚴格要求，也可以避免模擬濾波器的電壓漂移、溫度漂移和噪聲等問題。數字濾波器甚至能夠實現模擬濾波器在理論上也無法達到的性能。例如一個數字低通濾波器，能做到＜Fco的信號完全通過并且完全阻止＞Fco的信號，此時模擬濾波器無法區分很小信號頻率的變化。但數字濾波器受限于采樣頻率和計算速度，根據奈奎斯特采樣定理，采用頻率必須大于被采樣信號最高頻率的2倍。否則，系統出現混疊而工作異常，就要通過其它方法來解決。

數字濾波器是個離散系統，它所處理的對象是用序列表示的離散信號或數字信號。根據數字濾波器的時域特性，可以分為FIR有限長沖激響應濾波器和IIR無限長沖激響應濾波器。

公式（1）

當分母為1（ai均為零）時，系統函數有N個零點，1個在原點的極點。將函數展開，如公式（2）

公式（3）

系統輸出的差分形式，如公式（4）

這種濾波器是非遞歸(No-Recursive)型，也就是說 FIR數字濾波器的輸出只和當前及以前的輸入信號有關。

當 ai不全為零，且分母存在至少一個根不與分子抵消時，如公式（5）

這種濾波器是遞歸(Recursive)型的，IIR數字濾波器的輸出，不僅和當前及以前的輸入信號有關，而且還和以前的輸出信號有關。

從性能上來說，IIR濾波器傳輸函數的極點，可位于單位圓內的任何地方，因此可用較低的階數獲得高的選擇性，所用的存儲單元少，所以經濟而效率高。但是這個高效率是以相位的非線性為代價的。選擇性越好，則相位非線性越明顯。相反，FIR濾波器卻可以得到嚴格的線性相位，然而由于FIR濾波器傳輸函數的極點固定在原點（輸出只與有限項輸入有關，所以傳遞函數分母為1,極點在零點），所以只能用較高的階數達到高的選擇性；對于同樣的濾波器設計指標，FIR濾波器所要求的階數可以比IIR濾波器高5～10倍，結果，成本較高，信號延時也較大；如果按相同的選擇性和相同的線性要求來說，則IIR濾波器就必須加全通網絡進行相位較正，同樣要大增加濾波器的節數和復雜性。FIR不易取得非常優秀的通帶與阻帶衰減特性，但保證了優越的穩定性，且具有線性相位特性，這些使得FIR濾波器廣泛地應用于線性要求較高的場合。

IIR濾波器必須采用遞歸結構，極點位置必須在單位圓內，否則系統將不穩定。另外，在這種結構中，由于運算過程中對序列的舍入處理，這種有限字長效應有時會引入寄生振蕩。相反，FIR濾波器主要采用非遞歸結構，不論在理論上還是在實際的有限精度運算中都不存在穩定性問題，運算誤差也較小。此外，FIR濾波器可以采用快速付里葉變換算法，在相同階數的條件下，運算速度可以快得多。

3 濾波器的設計

以往濾波器由外圍電路裝置或專門數字信號處理機來完成，隨著集成電路發展和處理器計算能力的提高，絕大部分濾波需求可以由處理器本身完成，不再需要額外的裝置。因此，需要在嵌入式系統上實現數字濾波。數字濾波器通常由緩沖器、延時器、加法器和乘法器等基本部件構成。數字信號處理過程中，濾波器分為兩類，一類需要通過數字濾波器對信號某一范圍內的頻率進行衰減或抑制，保留所需的信號頻率。被稱其為頻率選擇濾波器。另一類主要應用于信號銳化、平滑，被稱之為均衡器。

在設計任何一個濾波器之前，首先要明確的是濾波器指標，此時會得到關于通帶頻率、截至頻率、帶寬、幅度響應和相位響應。根據參數要求，就可以建立一個目標的模擬濾波器模型。然后通過映射（如脈沖響應不變法、雙線性映射等等）將模擬濾波器變換為數字濾波器，得到濾波器的參數。將以上的結果進行性能分析和仿真，分析其頻率特性和相位特性，驗證設計結果是否滿足指標需求。

近年來，高速、廉價的數字信號處理器應用于各個領域，大有完全取代模擬控制IC的趨勢。DSP是一種實時、快速、特別適合于實現各種數字信號處理運算的微處理器。由于它由具有豐富的硬件資源、改進的哈佛結構、高速數據處理能力和強大的指令系統，如表1所示：

表1 比較幾種常見濾波器特性

DSP本身支持定點運算和浮點運算。雖然可以用浮點來進行計算，但單精度浮點只有24位，容易在計算過程中引入誤差。而雙精度浮點型有48位尾數，能滿足計算精度要求，但其速度偏慢。

最廣泛使用的濾波器為均衡器，或滑動濾波器?；瑒悠骄鶠V波實現比較簡單，它將前 N次的輸入進行求和再取平均。為了滿足采樣定理，就需要對采樣頻率有較高要求，Fs＞N*f，f為原始信號中基波頻率。由于要完全消除雜訊，濾波階數較高，計算量大，且時間延遲會更明顯。實際應用中N取值通常小于10。此類濾波器具有FIR濾波器的特點，當前輸出只與輸入有直接的關系，所以其輸出穩定，計算處理比較少，使其速度比較快。這也正是其被工程師大量采用的原因。

公式（6）

IIR濾波器的實現結構分為直接型，級聯型和并聯型。直接型結構對系數ai和bi的精度要求比較嚴格。從極零點的角度來看，任何一個系數 ai的改變都將影響系統各零點的分布；同樣，任何一個系數 bi的改變都將影響系統各極點的分布。當階數 N較高時，這種影響將更大。將高階變成一系列不同組合的低階系統來實現。而對于級聯結構來說，各二階節點的極零點相對獨立，因此它有一定的獨立性，也便于調整。對于并聯型結構，可以獨立的調整其極點位置，但是不能控制零點。對于運算誤差，并聯的各基本節不互相影響，而級聯型前級的輸出誤差有座位后級的輸入誤差，因此，并聯型結構比級聯型結構的運算誤差要小一些?？傊?，當對傳輸零點的精度要求較高時，采用級聯型較為合適，其他情況，采用并聯型結構稍好一些。零點對于我們的系統來說對應著帶外的衰減，這是濾波器很重要的設計指標。因此我們采用級聯型結構。使用IIR濾波器需要注意的是數字運算可能溢出，需要在設計上加入限幅處理，避免正向或負向的溢出，來確保其輸出的穩定性。

巴特沃斯濾波器特別適用于低頻應用，其對于維護增益的平坦性來說非常重要。能夠最大化濾波器的通帶平坦度。該響應非常平坦，非常接近DC信號，然后慢慢衰減至截止頻率點為-3dB，最終逼近-20dB/decade的衰減率，切比雪夫濾波在通帶上增加了一些紋波，也使得其更快速的衰減。

根據實際電路的應用需求，通常會選用巴特沃斯濾波器或切比雪夫濾波器。前者帶通濾波器具有平坦的響應特性，而后者帶通濾波器卻具有更陡的衰減特性。具體選用何種特性，需要根據電路或系統的具體要求而定。當必須使用高階濾波器時，會根據傳遞函數特點，將其分解為多個 1階和2階濾波器相乘。因為濾波器級聯等效于兩個傳遞函數的相乘。整個濾波器可以轉化為一系列低階濾波器的相乘。使整個計算的量化定標被限定在一定范圍內，不會像直接使用高階濾波器一樣出現很高的數量級，以及很復雜的運算。并且分解后低階濾波器后，對各部分的擬合也將簡化，設計被分解為幾個低階濾波器的小問題。下式中H(z)是一個典型的2P2Z濾波器，具有2個零點和2個極點。在電力電子設計中，對原系統有很好的補償作被大量使用。將其寫出差分形式，計算當前輸出只需要若干個乘法和最后的求和，完成了整個濾波過程。

公式（7）

值得注意的是PI/PID控制器跟2P2Z濾波器非常相似。在s域形式如G(s)，有3部分組成Kp比例系數，Ki積分系數，Kd微分系數。對G(s)進行Z變換可得到G(z)的形式，觀察其結構，分子是2階多項式，墳墓是1階多項式。對比2P2Z傳遞函數，其b0,b1,b2分別由PID參數構成，而a1=1,a2=0。在軟件中設計完成2P2Z濾波器后，通過簡單的代數轉換，計算出濾波器的系數。這樣就不用重新軟件實現PI/PID控制器。

公式（8）

公式（9）

4 總結

通過對濾波器的分析，對數字信號有了更深刻的認識。明確了傳遞函數幅值特性和相位特性判斷依據，之后就能通過濾波器來對其進行修正。在實際設計過程中，側重于離散系統的傳遞函數，最直接的指導軟件實現。把理論概念以軟件應用的形式表達，使今后設計嵌入式系統時能將理論能付諸于實際。研究常用滑動濾波器的離散域的函數，在使用該濾波器的一些條件和準則。分析以往沒有使用過的無限沖激響應濾波器，著重分析2P2Z的濾波器，在工作的模擬濾波器中用的較多，數字化設計過程中必然會使用它。

總的來說，這次設計還是獲益良多。盡管由于時間關系，沒有對所有濾波器在Matlab下進行仿真。但在整個過程中，對知識面的理解更加深入了，抽象的理論慢慢成為具象的設計和應用。通過本設計使得將來進行相關工作或研究時更加順利，起到推波助瀾的作用。

[1]胡壽松.自動控制原理.[M]北京：科學出版社，2001.

[2]普埃克（美）.[M]數字信號處理(第四版).北京：電子工業出版社，2007.

[3]胡文靜，陳松，劉翔，基于FPGA的嵌入式程控數字濾波器實現研究.[j]電子器件,2009(6):1040-1042.

[4]姜建山，FIR數字濾波器的MATLAB設計與DSP實現.[j]電測與儀表,2006(12):33-38.

[5]胡廣書.數字信號處理－理論、算法與實現[M].北京：清華大學出版社,2002.

[6]崔屹.圖像處理與分析——數學形態學方法及應用[M].北京：科學出版社,2000.