基于直接自適應的撓性航天器姿態穩定控制

劉敏 徐世杰 韓潮

（北京航空航天大學宇航學院，北京 100191）

1 引言

在航天器執行姿態控制任務時，不但會改變航天器的姿態，也會引起撓性部件的振動，而撓性部件的振動會影響航天器的控制精度甚至導致航天器失穩［1］，所以撓性航天器的姿態控制問題一直是航天領域的研究熱點之一。針對撓性航天器姿態控制問題，文獻［2－4］提出了基于狀態相關的Riccati方程（State－Dependent Riccati Equation，SDRE）控制方法、變結構控制、魯棒控制等諸多控制方法。其中，直接自適應控制方法是由Sobel等于1979年首先提出的［5］，因其具有無需被控系統全狀態可測，不依賴實際被控對象參數，無需進行實時參數估計，可以實現低維控制器對高維被控對象進行控制等特點，而在撓性空間結構控制［6－7］、航天器控制［8－9］以及飛機飛行控制［10］等領域有廣泛理論研究和應用。然而為了保證直接自適應控制閉環系統的穩定性，被控對象需滿足近似嚴格正實性條件（Almost Strict Positive Real，ASPR）［7，11］。在大部分實際工程問題中，被控對象因其相對階數不小于2而不滿足ASPR 條件。盡管Mehiel等研究了以速度加上位移的比例項作為輸出的二階或者近似二階系統滿足近似嚴格正實性的條件，并給出了位移比例系數的取值范圍［12］，但是該比例系數的取值依賴系統參數，且該方法無法處理具有高相對階數的系統。而Bar－Kana則提出了多種可以使得非ASPR 系統滿足ASPR 條件的平行前饋補償方法［11］，但是在引入平行前饋補償后，實際輸出只能保證對參考輸出的有界跟蹤，且平行前饋補償器的設計需要被控對象的參數，從而降低了直接自適應控制對被控對象參數的獨立性。

針對傳統直接自適應控制在非ASPR 系統控制應用中的局限和困難，本文提出了將高相對階數被控對象分解成滿足ASPR 條件的低相對階串聯子系統，然后利用退步控制方法［13］和直接自適應控制方法設計自適應控制器的策略，并將該控制策略應用到撓性航天器自適應姿態穩定控制器設計中。

2 撓性航天器模型

考慮中心剛體加撓性附件的撓性航天器模型，利用Lagrange方法建立撓性航天器的數學模型，并利用文獻［14］的結果，可以直接給出帶有撓性附件的撓性航天器動力學方程。航天器姿態動力學方程和撓性附件振動方程分別表示為

式中 θ＝［φ θ ψ］T為航天器三軸歐拉角；ω0為航天器軌道角速度。式（3）可以寫成

相對于航天器姿態動力學方程，航天器的姿態運動學方程不直接受干擾的影響，只與軌道角速度有關，在軌道角速度ω0準確時為準確模型。經過上述假設和處理，撓性航天器最終可以描述為

3 控制器設計

3.1 參考模型的選取

為了設計撓性航天器的直接自適應姿態穩定控制器，首先需根據實際控制任務建立具有理想性能的參考模型。考慮航天器的運動學方程式（4），定義系統的輸出為三軸歐拉角θ，則運動學子系統可以描述為

式中 B＝C＝E3為3維單位矩陣。

由于航天器的運動學子系統在軌道信息準確時為精確模型，故可以選擇具有理想控制性能的參考模型：

式中 θm＝［φmθmψm］T為運動學參考子系統的狀態變量；ωm∈R3為運動學子系統的參考輸入；ym∈R3為實際系統需要跟蹤的理想輸出；Tm∈R3為理想參考輸入；Am、Bm、Cm分別為適當維數的系數矩陣。

3.2 中間控制律

根據退步控制，首先以撓性航天器運動學子系統為研究對象，選取姿態角速度ω為中間虛擬控制變量，并利用直接自適應控制方法對其進行中間控制律設計，使得設計姿態輸出實現對理想輸出的漸近穩定跟蹤。由于運動學子系統滿足ASPR 條件，由直接自適應控制理論以及指令發生器跟蹤（Command Generator Tracking，CGT）理論可知運動學子系統能夠實現對參考模型的理想跟蹤［11］，此時有

式中 上標“＊”表示在運動學子系統實現對參考模型理想跟蹤時，運動學子系統各變量所處的狀態；θ＊、ω＊、y＊分別為理想狀態、理想輸入以及理想輸出。定義狀態誤差和輸出誤差分別為eθ＝θ－θ＊以及ey＝y－ym＝Cθ－Cmθm。在實際系統實現對參考模型理想跟蹤時，系統有θ＝θ＊，ym＝y＊＝Cθ＊＝Cmθm。所以有

設計中間控制律如下

式中 K為自適應參數矩陣，其自適應律將在接下來給出。根據CGT 理論，可令K＊＝表示實際系統對參考模型實現理想跟蹤時K 的取值。值得一提的是K＊無需在控制器設計中求解其真實值，在此引入只是為了穩定性證明和自適應律的推導［11］。定義δ＊為實現理想跟蹤時實際系統的輸入，則

取中間控制變量ω＝δ，對式（6）求導，得到

式（9）與式（7）組成閉環系統的誤差狀態方程。接下來證明在中間控制律（8）的作用下閉環系統的穩定性。取正定的Lyapunov函數

式中 P為3維正定對稱矩陣；tr表示矩陣求跡運算；Γ＝diag［Γθ，Γω，Γe］，Γθ，Γω，Γe均為正定的控制器參數矩陣。對式（10）求導，可得

令等式右端第二項為零，則有

由式（5）可知航天器運動學子系統為一階系統，故有實際運動學子系統滿足近似嚴格正實性，所以有下述Kalman－Yacubovic關系式成立。

式中 Q為正定陣。最終得到Lyapunov函數的導數為

式中 K0為K 的初始值。

3.3 姿態控制律

退一步以航天器動力學子系統為研究對象，利用Lyapunov方法推導航天器的姿態控制律。首先定義動力學子系統輸出航天器姿態角速度對中間控制變量δ的跟蹤誤差為eω＝ω－δ。由于跟蹤誤差eω的存在，所以ω＝eω＋δ，式（9）以及（13）則為

對上述Lyapunov函數求導得到

選取控制律為

式中 Δ為正定對稱控制系數陣。將上述控制律代入到方程（15）中，則

當且僅當eθ、eω均為0時，不等式取等號，根據LaSalle不變性原理可知實際航天器實現對參考模型的跟蹤漸進穩定，既有t→∞，則eθ→0，eω→0。將式（7）和（12）代入式（16）則

式中ey、eω均可以直接用于控制器設計，需要進一步求解，由式（8）可知

圖1 自適應姿態控制器結構示意Fig.1 Sketch map of the adaptive attitude controller

將式（18）代入到式（3）中T的定義之中有

則撓性航天器的姿態控制律由式（8）、（14）、（17）、（18）和（19）組成。撓性航天器自適應姿態控制器結構如圖1所示。

4 數值仿真

為驗證本文所提出的自適應控制器對撓性航天器姿態穩定控制的有效性，選取參考文獻［15］中的撓性航天器作為數值仿真對象，其中航天器的軌道為高度h的圓軌道。為了驗證控制器對撓性振動的抑制作用，在數值仿真中撓性附件的各階阻尼系數均取為零。航天器的具體參數以及相關控制參數如表1所示。

表1 航天器數值仿真參數Tab.1 Parameters for simulation of spacecraft

選擇與實際航天器系統質量分布以及構型一致的、不受任何干擾的、軌道信息與實際航天器一致的理想剛體航天器，對該剛體航天器設計具有理想性能的PD控制器，并以所得到的閉環系統作為參考模型。為便于計算進一步對參考模型進行簡化，將參考剛體衛星的慣量矩陣Im對角化，Im的取值如表1所示。參考剛體航天器的初始姿態角與姿態角速度與實際撓性航天器的姿態信息一致。參考模型中的PD控制器參數Kd，KP的取值如表1所示。仿真時長為300s，仿真結果如圖2～圖5所示。

航天器三軸姿態角分別對相應參考姿態角的跟蹤曲線如圖2所示，航天器姿態角速度分別對相應期望姿態角速度的跟蹤曲線如圖3所示。可以看出在本文所設計的控制器作用下，航天器的姿態角和姿態角速度均實現了對理想參考值的穩定跟蹤，航天器實現了姿態穩定控制。撓性模態坐標的變化曲線如圖4所示，由于航天器參數中各階模態的阻尼系數均設為0，航天器姿態控制力矩的變化曲線如圖5所示。從圖5可以看出各階模態坐標均被控制在較小的范圍之內，控制器實現了對撓性振動的有效抑制。

數值仿真結果表明，本文所提出的自適應姿態穩定控制器既能實現航天器姿態角對理想輸出的漸近跟蹤，從而實現航天器的姿態穩定控制，又能有效地抑制航天器的撓性振動，其對撓性航天器的控制是有效的。

圖2 航天器姿態角Fig.2 Attitude angles of spacecraft

圖3 航天器姿態角速度Fig.3 Attitude angular velocities of spacecraft

圖4 各階撓性模態位移Fig.4 Flexible modal displacement

圖5 航天器姿態控制力矩Fig.5 Attitude control torque of spacecraft

5 結束語

針對不滿足近似嚴格正實性的被控對象，本文提出了首先將其分解為低階串聯子系統，然后利用退步控制方法和直接自適應控制方法進行自適應控制器設計的策略，并將所提出的控制策略應用到撓性航天器姿態穩定控制器設計中。理論分析和數值仿真結果表明，所得到的姿態控制器繼承了傳統直接自適應控制的特點，能夠有效抑制撓性附件的撓性振動，并實現航天器的姿態穩定控制。

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