考慮死亡率組內(nèi)差異的Lee-Carter模型的改進(jìn)與應(yīng)用

高怡寧

（中南財(cái)經(jīng)政法大學(xué) 統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院，武漢430073）

0 引言

死亡率預(yù)測(cè)在社會(huì)生活、政策制定、風(fēng)險(xiǎn)管理等的各個(gè)方面有著不容小覷的重要性。對(duì)死亡率模型的研究可以一直追溯到18世紀(jì)。當(dāng)時(shí)，死亡率模型局限于有關(guān)單一年齡因素對(duì)死亡率影響的研究，沒有考慮未來死亡率預(yù)測(cè)的不確定性，也不適用于時(shí)間趨勢(shì)的外推。隨著數(shù)學(xué)模型的發(fā)展，美國學(xué)者Lee(1992)提出了Lee-Carter模型，用一簡(jiǎn)潔的模型形式將年齡因素，時(shí)間因素包括進(jìn)死亡率模型中。后來，又有一些學(xué)者對(duì)Lee-Carter模型進(jìn)行了改進(jìn)或是提出了其他更為復(fù)雜的死亡率預(yù)測(cè)模型，但絕大多數(shù)因?yàn)槠鋸?fù)雜性沒有得到廣泛的運(yùn)用。本文立足于經(jīng)典的Lee-Carter模型，在現(xiàn)有研究成果的基礎(chǔ)上，提出了考慮每個(gè)時(shí)間、年齡組內(nèi)部死亡率差異的Lee-Carter模型改進(jìn)。

1 Lee-Carter模型及其考慮死亡率個(gè)體差異的改進(jìn)

在經(jīng)典的Lee-Carter模型中，死亡年份為t，死亡年齡為x的人群組的中心死亡率mx,t服從以下函數(shù)形式：

其中，αx,βx,κt均為待估計(jì)參數(shù)：αx代表年齡對(duì)中心死亡率的影響，κt代表死亡率隨時(shí)間走勢(shì)的變化，βx代表年齡對(duì)時(shí)間因素的敏感度。εx,t是服從N(0,σ2)的獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。為了克服參數(shù)估計(jì)上的困難，Brouhns（2002）提出的死亡人數(shù)Dx,t服從泊松分布的假設(shè)得到了后續(xù)研究的廣泛運(yùn)用。在泊松分布的假設(shè)下，模型的形式為：

其中，Ex,t為暴露人口數(shù)。

然而，泊松分布的假設(shè)下的模型限制了死亡人數(shù)的均值與方差相等，并假定每個(gè)時(shí)間、年齡組內(nèi)部死亡率相等。事實(shí)上，每個(gè)死亡年、年齡組內(nèi)部的死亡率因地區(qū)，教育等因素差異而不同，實(shí)際中每組的死亡人數(shù)方差很可能大于模型的假定。由此，經(jīng)典的Lee-Carter模型帶來的偏大離差將導(dǎo)致模型假設(shè)的不準(zhǔn)確和預(yù)測(cè)的不精確。

因此，本文將每個(gè)分年齡、分時(shí)間組內(nèi)的死亡人口Dx,t分成Nx個(gè)相等大小的不同類別組Dx,t(i)，并假設(shè)每個(gè)年齡，時(shí)間組內(nèi)的任意兩個(gè)類別組相互獨(dú)立，得到第i個(gè)類別組的死亡人口分布形式如下：

式中，Zx(i)描述了第i個(gè)年齡組內(nèi)類間死亡率水平的差異現(xiàn)象，假設(shè)其均值為1，代表該年齡組的死亡率平均水平。由此易知，Zx(i)＞1代表該類的人口死亡率高于該組的平均水平；而1＞Zx(i)＞0則表示該類的人口死亡率低于該組的平均水平。進(jìn)一步的，本文選擇廣泛用于描述偏大離差現(xiàn)象的Gamma分布來描述Zx(i)的分布，設(shè)其均值為1，方差為ιx，則可以推得在t年死亡的x歲的人口組內(nèi)，第i類的死亡人口數(shù)服從如下分布：

上述兩個(gè)死亡率模型的參數(shù)估計(jì)均可以通過極大似然法估計(jì)。由于模型中非線性參數(shù)的存在，需要編程通過參數(shù)迭代的方法估計(jì)參數(shù)值。在本文中，所有參數(shù)根據(jù)Newton迭代公式進(jìn)行迭代求解。

2 基于中國人口死亡率數(shù)據(jù)的實(shí)證

2.1 數(shù)據(jù)來源與預(yù)處理

本文采用《中國人口統(tǒng)計(jì)與就業(yè)年鑒》（原名《中國人口統(tǒng)計(jì)年鑒》）中1993～2009年分年齡分性別的死亡人口，年暴露人口和死亡率數(shù)據(jù)。其中，1995年的數(shù)據(jù)缺失，2000年的數(shù)據(jù)從《中國2000年人口普查資料》中獲得。為了研究中國死亡率數(shù)據(jù)是否存在隊(duì)列效應(yīng)，本文年齡段間隔為1歲，并將90歲以上的年齡化為一組。

1993年年鑒中沒有直接給出死亡人口數(shù)，本文以其分組死亡率計(jì)算得到。1996年的年鑒中沒有85歲及以上的年齡的人口信息，本文按相鄰年的比例進(jìn)行了估算。

2.2 參數(shù)估計(jì)結(jié)果及模型比較

本文運(yùn)用了R軟件編程估計(jì)參數(shù)。在這個(gè)過程中，對(duì)模型中的待估計(jì)參數(shù)設(shè)隨機(jī)初始值，進(jìn)行多次迭代后，使得似然函數(shù)（3）的最后兩次迭代差值控制在10-8以內(nèi)，得到分性別的死亡率模型參數(shù)的估計(jì)值。為了得到唯一的參數(shù)估計(jì)值和使兩個(gè)模型具有可比性，借鑒相關(guān)研究，筆者對(duì)參數(shù)進(jìn)行如下限制：Σtκt=0,Σxβx=1。

得到兩個(gè)模型的參數(shù)估計(jì)情況如下(在下文中，稱泊松分布下的Lee-Carter模型為模型（1），負(fù)二項(xiàng)分布下的lee-Carter模型為模型（2）)：

圖1 模型參數(shù)估計(jì)值比較

從圖1中可以看到，兩個(gè)模型下得到的參數(shù)的估計(jì)值在趨勢(shì)上差異不大。女性αx值持續(xù)小于男性，說明在各個(gè)年齡組中，女性的死亡率均值均小于男性。從βx值來看，兩組性別都表現(xiàn)出了低年齡段值較高的現(xiàn)象，而βx值越高，表明該年齡段死亡率對(duì)死亡率隨時(shí)間變化的敏感度越大。并且，女性的死亡率隨時(shí)間變化的敏感度小于男性。另外，從κt值可以明顯看到死亡率隨時(shí)間下降的趨勢(shì)。

但是，單從參數(shù)估計(jì)值上無法判斷模型的優(yōu)劣之分。由于加入了更多的參數(shù)，模型二對(duì)死亡人口的擬合效果理應(yīng)優(yōu)于模型一。為了更客觀的判斷所建模型的價(jià)值，本文運(yùn)用BIC準(zhǔn)則對(duì)兩個(gè)模型進(jìn)行判斷比較。BIC的值越大，模型的整體效果就越好。總結(jié)兩個(gè)模型的情況如表1：

從表1中BIC的值可以看到，女性的兩個(gè)模型的BIC值均大于男性，說明對(duì)女性所建的死亡率預(yù)測(cè)模型優(yōu)于男性。而假設(shè)死亡人數(shù)服從負(fù)二項(xiàng)分布的模型的BIC值又大于泊松假設(shè)下模型的BIC值，說明改進(jìn)后的模型對(duì)死亡率數(shù)據(jù)的擬合效果更好。

表1 模型比較

為了直觀判斷模型的擬合效果，進(jìn)一步按下式計(jì)算標(biāo)準(zhǔn)殘差：

做出改進(jìn)后模型的標(biāo)準(zhǔn)殘差圖（由左到右分別為標(biāo)準(zhǔn)殘差按死亡年，死亡年齡以及出生年排列）如圖2：

由圖2中可知，模型估計(jì)得到的殘差序列對(duì)于時(shí)間平穩(wěn)且?guī)捉鼮榘自肼曅蛄校ㄆ銵B檢驗(yàn)的p值分別為0.03418和0.1185）。說明建模中已經(jīng)充分提取了參數(shù)信息。同時(shí)，為了判斷中國人口死亡現(xiàn)象是否具有隊(duì)列效應(yīng)，作出標(biāo)準(zhǔn)殘差序列對(duì)應(yīng)人口出生年的序列圖（右圖）。從殘差圖上可見，殘差對(duì)于出生年分布均勻，沒有明顯周期因素。考慮到在模型設(shè)計(jì)中包括隊(duì)列效應(yīng)對(duì)模型的估計(jì)造成的困難和由此帶來的參數(shù)間的交互效應(yīng)，本文認(rèn)為在對(duì)中國人口建模時(shí)可以忽略男女性的死亡現(xiàn)象的隊(duì)列效應(yīng)。

3 中國分性別分年齡死亡率預(yù)

通過對(duì)κt建立ARIMA模型可以得到未來的κt值，從而對(duì)死亡率進(jìn)行預(yù)測(cè)。通過觀察κt序列的自相關(guān)圖和偏相關(guān)圖，初步判斷模型類別，結(jié)合ARIMA模型擬合殘差以及參數(shù)的顯著性檢驗(yàn)，最終確定女性的κt序列為ARIMA(0,1,0)模型，而男性為ARIMA(1,1,1)模型。模型的估計(jì)結(jié)果為：

其中，括號(hào)中的值為參數(shù)t檢驗(yàn)的p值，隨機(jī)項(xiàng)εt為白噪聲序列。運(yùn)用上述兩個(gè)模型，即可預(yù)測(cè)出未來時(shí)間的κt值，與αx,βx的參數(shù)估計(jì)值一起代入式（1），即可得到考慮了每個(gè)年齡、時(shí)間組內(nèi)部死亡率差異的該組的死亡率均值的預(yù)測(cè)值。在圖3中，本文做出了模型對(duì)部分年齡人口死亡率的擬合圖，并按κt的預(yù)測(cè)序列給出了未來一段時(shí)間這些年齡的人口死亡率預(yù)測(cè)值。

圖3 代表性年齡死亡率擬合及預(yù)測(cè)（放大1000倍）

從圖3中可以看到，對(duì)于不同的年齡組，模型對(duì)于低年齡段的死亡率擬合優(yōu)于高年齡段：在圖中，模型對(duì)于0歲，60歲的死亡率擬合效果很好。實(shí)際上，在這兩個(gè)年齡段中間的年齡組也能得到很好的擬合。但是另一方面，由于80歲以上的人口的死亡率波動(dòng)較大且不穩(wěn)定，模型對(duì)于這些高年齡段的擬合效果一般。另外，從模型對(duì)于2010～2015年分性別死亡率的預(yù)測(cè)上來看，死亡率穩(wěn)步下降，符合實(shí)際。

4 結(jié)論及展望

眾所周知，死亡率的高低不僅與死亡年齡，時(shí)間有關(guān)，死亡人口的受教育水平，貧富水平和生活質(zhì)量都使得死亡率呈現(xiàn)出極大的差異。而廣為運(yùn)用的Lee-Carter模型雖然模型形式簡(jiǎn)潔，但其對(duì)每個(gè)年齡、時(shí)間組內(nèi)部死亡率相同的限制卻不可避免地造成了模型的設(shè)定偏差。

本文在經(jīng)典Lee-Carter模型的基礎(chǔ)上將各個(gè)時(shí)間，年齡組內(nèi)的死亡率個(gè)體差異考慮入模型的構(gòu)建中，推導(dǎo)出死亡人口服從一負(fù)二項(xiàng)分布的Lee-Carter模型擴(kuò)展形式。并用中國1993年至2009年分性別分年齡的人口資料對(duì)模型進(jìn)行了量化分析。結(jié)果表明，根據(jù)模型的BIC值，死亡人口服從負(fù)二項(xiàng)分布假設(shè)的模型優(yōu)于泊松分布假設(shè)下的模型。并且，無論是在哪種死亡人口分布的假設(shè)下，對(duì)女性人口建模的效果均優(yōu)于對(duì)男性人口建模。從改進(jìn)后模型擬合的結(jié)果來看，標(biāo)準(zhǔn)殘差對(duì)年齡，人口死亡年，人口出生年均獨(dú)立。

特別地，按人口出生年排列的殘差圖分布均勻，這顯示表明中國人口死亡現(xiàn)象沒有呈現(xiàn)隊(duì)列效應(yīng)的特征。中國人口死亡的這一現(xiàn)象免去了建模時(shí)添加出生年效應(yīng)項(xiàng)的困難。最后，本文通過運(yùn)用所建模型，對(duì)模型中時(shí)間因子建ARIMA模型，預(yù)測(cè)出未來6年內(nèi)中國分性別分年齡的死亡率數(shù)據(jù)。預(yù)測(cè)表明在未來一段時(shí)間內(nèi)，若沒有特殊因素影響，各個(gè)年齡人口的死亡率不斷下降。

從模型的擬合效果來說，改進(jìn)后的Lee-Carter模型對(duì)低年齡段的擬合效果較優(yōu)。而由于高年齡段的死亡率的高度波動(dòng)性，本文模型對(duì)其擬合效果欠佳。鑒于高齡人口的死亡率預(yù)測(cè)在養(yǎng)老金制度的安排，企事業(yè)單位的個(gè)人退休計(jì)劃中起著重要的作用，有必要單獨(dú)為高年齡段建立死亡率模型以得到準(zhǔn)確的死亡率預(yù)測(cè)結(jié)果。由于篇幅所限，本文不再涉及這方面內(nèi)容。另外，完整的死亡率預(yù)測(cè)應(yīng)給出預(yù)測(cè)值的置信區(qū)間。在這個(gè)方面，一些學(xué)者提出了用bootstrap模擬的方法，也有一些學(xué)者提出了Monte Carlo的模擬方法，這些方法都可以后續(xù)用到模型的完善中來，使得模型更加完備。

[1]王曉軍,黃順林.中國人口死亡率隨機(jī)預(yù)測(cè)模型的比較與選擇[J].人口與經(jīng)濟(jì),2011,(1).

[2]祝偉,陳秉正.中國城市人口死亡率的預(yù)測(cè)[J].數(shù)理統(tǒng)計(jì)與管理,2009,(4).

[3]LI,Johnny Siu-Hang,HARDY,Mary,TAN,Ken Seng.Uncertainty in Mortality Forecasting：An Extension to the Classical Lee Carter Ap?proach[J].ASTIN Bulletin,2009,(1).

[4]Lee R.D,Carter L.R.Modeling and Forecasting US Mortality[J].Jour?nal of the American Statistical Association,1992,(87).

[5]Andrew J.G.Cairns,David Blake,Kevin Dowd,Guy D.Coughlan,Da?vid Epstein,Alen Ong,Igor Balevich.A Quantitative Comparison of Stochastic Mortality Models Using Data from England and Wales and the United States[Z].Discussion Paper PI-0701,2007.

[6]Renshaw A.E,Haberman S.A Cohort-Based Extension to the Lee-Carter Model for Mortality Reduction Factors[J].Insurance：Mathematics and Economics,2006,(38).