基于終端角度約束的滑模制導律設計

李志平，郭建國，周軍

(西北工業大學精確制導與控制研究所，陜西西安 710072)

引言

比例導引律通常是工程最易實現的制導律，也是一種最優制導律，但是隨著當前導彈技術的發展，它已經不能適應導彈制導發展的需求［1］。如對于空地導彈，要求它能夠按照指定的角度攻擊地面目標，給制導系統設計提出了新的需求。

對于具有終端角度約束的制導律設計問題，通常是基于最優控制的方法來完成設計［1-6］。最簡單的情況是在垂直平面內利用線性二次型最優控制方法設計攻擊勻速運動目標的制導律［1］，從而滿足終端角度約束的條件。文獻［2-3］分別基于線性二次型最優控制理論和最小值原理的方法推導出了兩種形式的終端角度約束制導律，但這種最優控制的方法往往都依賴于剩余時間的估計。文獻［4-5］不僅給出剩余時間估計方法，而且給出了終端角度約束最優制導律的閉環解的形式。

此外，非線性控制的方法也應用于這種特殊制導律的設計中。針對固定目標，文獻［6］基于制導控制一體化的思想設計了變結構制導律。文獻［7-8］分別采用H∞控制方法和Nussbaum-type增益技術，設計了兩種自適應終端角度約束制導律。

為解決有終端角度約束條件制導問題，本文基于變結構控制方法，根據終端角度約束條件，提出一種新的非線性的滑動模態，設計了一種新的具有角度約束的魯棒自適應非線性變結構末制導律，并利用Lyapunov穩定理論證明了在滑動模態區的有限時間可達性和穩定性。最后通過數字仿真證明了設計方法的有效性。

1 彈目相對運動學模型

考慮空地導彈和目標在末端三維相對運動學的關系，如圖1所示的視線坐標系為末制導過程的參考坐標系。原點O位于導彈質心;Oxyz為慣性坐標系;Ox4y4z4為末制導開始的視線坐標系，其中Ox4軸與彈目視線重合，由導彈指向目標為正;Oy4軸位于縱向平面，向上為正;Oz4軸按右手法則來確定，且位于側向平面內。設視線坐標系相對于慣性坐標系的轉動角速度為Ω，那么慣性牽連坐標系可認為經過兩次旋轉后與視線坐標系重合，兩次旋轉的角速度大小分別為，，若慣性牽連坐標系與各軸對應的單位矢量分別為i，j，k，那么導目相對距離R二次求導可得:

圖1 彈目相對運動學關系

同時有:式中，a1=2;a(x)=cosqsinq;b=1/R;u=aM;aT=aty，設目標機動運動的加速度是有界的，即|aT|≤d。

2 非線性滑模制導律設計

2.1 末端角度約束問題

考慮到對命中目標有一定的終端角度約束，即要求在命中點處導彈的彈道傾角為期望的碰撞角度θf。假設qf為命中點處期望的視線角，且目標不機動情況下，有下列關系［9］:

顯然，地面目標速度相對導彈速度較小，因此若忽略其速度，則由式(2)知，sin(θm－qf)≈0，故 θm≈qf，所以當qf= θf，則 θm≈θf，從而實現了終端角度的約束條件。

2.2 滑模制導律設計

針對縱向平面內彈目相對運動學模型(2)，利用變結構控制方法，設計一種新型的具有角度約束的制導律。

根據制導系統的設計原理，即準平行接近原理。在末制導段，期望彈目視線角速率在制導過程中趨向于零，即→0。同時考慮到qf=θf的條件，令x1m=qf，選取滑動模態s為:

式中，k＞0;0＜c1(t)d/R＜ε。則在有限時間內制導系統的彈目視線角速率為零，既保證了末制導系統的穩定性，也實現了終端角度x1m的約束。

證明:

(1)有限時間的可達性:

對滑動模態s求一次導，得:限時間內達到終端視線角x1m，同時也實現了x2=0的要求;當e(t)=0，即x1(t)=x1m時，可求出有限到達時間為:

由以上證明知，系統狀態在控制律式(4)的作用下在有限時間內進入選定滑動區域，并在有限時間內到達理想的終端視線角，式(4)為導彈在縱向平面的制導指令。

注意:

(1)在末制導過程中，a(x)的值較小時，變結構對系統參數攝動有魯棒性，同時考慮到抖振問題，故將式(4)變為:

(2)制導指令式(4)、式(5)也是由比例導引項和非線性補償項組成，這樣它的形式同一般的變結構導引律的形式相同。

(3)當終端角度x1m=0，可認為是無終端角度的要求時，式(5)變為:

特別地，當c1(t)=c1，c2(t)=c2，m=n=1 時，即為常規變結構控制方法中的線性滑動模態;而當c1(t)=R，c2(t)=0，k=k'||/R時，就為文獻［10］設計的滑動模態和制導指令。

3 數字仿真與分析

下面通過數字仿真對本文所設計的具有終端角度約束的滑模制導律進行數字仿真驗證。

考慮初始末制導的距離為5 km;導彈飛行馬赫數為Ma=0.75;目標分別為固定目標和運動目標，運動速度為20 m/s;初始彈道傾角為0°;最大過載為6;非線性滑模制導律仿真參數為c1(t)=c2(t)=R，n=3，m=5;期望在命中時刻導彈的彈道傾角θf=－90°。仿真結果如圖2～圖4所示。

由圖可知，對于固定目標，導彈飛行時間為22.14 s，命中點彈道傾角θ為－89.81°，最終視線角q為－89.9°，視線角速率保持在零值附近。

對于機動目標，導彈飛行時間為23.84 s，同樣能夠獲得如圖2～圖4所示的彈道傾角、視線角以及視線角速率的變化趨勢，命中點彈道傾角 θ為－85.49°，最終視線角q仍為 －89.9°，視線角速率仍保持在零值附近。相對于固定目標，彈道傾角與期望的－90°的角度有了一定的誤差，主要原因是對于式(2)，當目標固定，則完全能得到θf=qf，而當目標在機動時，則有θf≈qf。所以目標的運動影響到命中點彈道傾角實現的精度。

圖2 彈道傾角θ變化曲線

圖3 視線角q變化曲線

圖4視線角速率變化曲線

最后采用本文的制導律，固定目標時脫靶量為0.13m，目標運動時的脫靶量為0.04 m，從而保證了制導系統的精度。以上的仿真結果驗證了所設計的非線性滑模制導律的有效性和適用性。

4 結論

本文利用期望彈道傾角和命中視線角的關系，設計了非線性滑模制導律，通過數學仿真，得到如下結論:基于準平行接近原理的思想，借助于控制命中點視線角的非線性變結構控制方法，可以較為有效地解決空地導彈具有終端角度約束的制導問題，便于帶有復合制導系統的工程應用。

［1］ Kim M，Crider K V.Terminal guidance for impact attitude angle constrained flight trajectories［J］.IEEE Transactions on Aerospace and Electronic Systems，1973，9(6):675-683.

［2］ Song T L，Shin S J.Time-optimal impact angle control for vertical plane engagements［J］.IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems，1999，35(2):738-742.

［3］ Song T L，Shin S J，Cho H J.Impact angle control for planar engagements［J］.IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems，1999，35(4):1439-1444.

［4］ Ryoo C K，Cho H J，Tahk M J.Closed-form solutions of optimal guidance with terminal impact angle constraint［J］.IEEE Transaction on Aerospace and Electronic Systems，2003，39(2):504-509.

［5］ Ryoo CK，Cho H J，Tahk M J.Optimal guidance lawswith terminal impact angle constraint［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，2005，28(4):724-732.

［6］ Hou M Z，Duan G R.Integrated guidance and control of homingmissiles against ground fixed targets［J］.Chinese Journal of Aeronautics，2008，21(4):162-168.

［7］ 郭建國，周軍.具有終端角度約束的H∞制導律設計［J］.火力與指揮控制，2009，34(12):44-46.

［8］ Guo JG，Zhou J.Guidance law design under impact angle constrain based on nussbaum-type gain technique［J］.Journal of China Ordnance，2010，6(4):253-257.

［9］ Byung SK，Jang G L.Homing guidance with terminal angular constraint against non-maneuve-ring and maneuvering target［R］.AIAA-97-3474，1997.

［10］ Zhou Di，Mu Chundi，Xu Wenli.Adaptive sliding-mode guidance of a homing missile［J］.Journal of Guidance，Control，and Dynamics，1999，22(4):589-594.