空空導彈高拋彈道作戰效能研究

崔垚，李順利，計佳俊，魏廣東，雷煒

(哈爾濱工業大學航天學院，黑龍江哈爾濱 150001)

引言

制空權對戰爭的勝負起著決定性的作用，世界各國都在大力開展空空導彈的研究工作。超視距作戰將成為制空權爭奪的關鍵技術，為此各國都在爭相研制射程更遠和精度更高的空空導彈。

中制導是導彈制導過程中控制時間最長的且對導彈射程影響最大的階段。一般來說，中制導在設計時要充分衡量能量耗散的問題，盡量減小能量的消耗，使導彈在中制導過程中達到盡量遠距離并且在結束時能供給末制導盡量大的初始能量。研究表明，提高導彈的飛行高度能夠有效地增加射程。在初始階段，導彈高拋射入較高的空域，高空的大氣密度低，導彈所受空氣阻力減小，使得導彈能夠飛行更長的距離。同時，進入末制導時具有一定勢能，在末端攻擊時有著一定的優勢。

1 數學模型建立

1.1 導彈運動模型

為了方便研究，將導彈簡化為質點，其運動模型為:

式中，(x，y，z)為導彈的坐標位置;v為導彈的速度;θ為彈道傾角;φv為彈道偏角;ny，nz為縱向和側向過載控制量;T為發動機推力;X為空氣阻力。

1.2 目標運動模型

現代戰斗機在規避空空導彈攻擊時可做出多種機動飛行方式，本文選取四種典型機動飛行方式:水平面勻速直線運動、水平面等過載等速轉彎、鉛垂面等過載爬升、等過載橫滾［1］。假設目標最初在初始高度勻速直線飛行，當彈目距離減少到30 km時，目標開始機動飛行。

2 制導律設計

一般空空導彈的初制導時間較短，大多數為程序角控制，使導彈速度矢量在一定時間內達到中制導導引要求。

2.1 奇異攝動中制導律

在中制導過程中，導彈將長時間處于巡航飛行。對此，可以將導彈看作是在兩種時間尺度內工作:一種是由航向距離x、側向距離z、能量E和偏航角φv組成的慢變時間尺度系統;一種是由高度y和彈道傾角θ組成的快變時間尺度系統。基于此分析，就可以應用奇異攝動理論求解其最優控制問題［2］。

本文把導彈的質心運動方程強迫用雙重時間尺度系統代替［3］:

為了給末制導提供最大的初始速度，導彈在中制導階段盡量降低能量消耗。因此在推導過程中，取性能指標:

式中，tf為中制導結束時刻。

2.1.1 最小能量慢變控制器

對于式(2)，令ε=0，得到降階后的子系統。

根據最優控制理論推導得到:

最小能量慢變控制器nz只需要載機為導彈提供中制導末端的側向位置zf便可。

2.1.2 快變控制器

快變控制器的設計就是要使導彈在中制導段初始時，快速向上大角度轉彎以最快的時間到達最優高度轉入平飛;并且在中制導末段時使導彈下降，從而進入可以對目標進行安全捕獲的區域。給中制導段一個光滑的彈道。應用奇異攝動理論求解上述問題就是一個具有兩點約束問題的優化過程。

取快變時間尺度τ1=(t－t1)/ε，代替原系統時間變量。取ε=0，有:

全階系統的狀態變量可直接應用降階后系統狀態變量的對應關系，因此受到的影響是很小的，于是得到如下的具有反饋形式的全階系統控制器nz:

受到這個快變控制器的作用，將促使快變狀態y，θ逐漸趨近于由慢變子系統決定的穩定軌跡，即y→y0，θ→θ0，達到穩定之后，導彈便可轉入最優高度上的巡航飛行。

如果導彈一直在最優高度上做巡航飛行，不能滿足中、末制導交接班的條件，還需要在右端邊界層(即中制導末段)加入控制量nyb。研究線性系統在右邊界層ω=ωF+ωS+ωb，V=VF+VS+Vb。根據奇異攝動相關理論可知:

式中，H=A+BK';ωb和Vb分別為系統在右邊界層時的狀態量和控制量;τ2=(t－tf)/ε為該狀態此階段處于右邊界層內。由最優控制相關理論能找到最小能量控制器:

式中，yf，vf，θf分別為導彈在預測的中制導末端時刻tf處所應到達的高度、速度和彈道傾角。可見，控制過載ny由三段組成:控制巡航段、控制爬升段和控制下滑段。

2.2 彈道形成最優中制導律

彈道形成最優中制導律是根據中制導的要求提出的，目的是使末速度最大。導彈在中間段的飛行過程中，火控系統通過雙向數據鏈可以為導彈定期提供目標信息，根據目標現在的速度、位置和加速度信息對目標將來的機動情況做出基本的預測，然后根據這個預測信息，形成彈道指令控制導彈朝向這個預測的攔截點飛行。將導彈送到最后的中末制導交接點上。

彈道形成最優中制導律的基本形式［4］為:

式中，R為導彈到預測交接點的間距;δ為導彈的速度矢量v和導彈預定的末速度矢量之間所成的角度;ξ為速度矢量v與導彈到預測交接點G連線之間所成的角度;k3和k4分別為對應項的系數。把式(16)分解到縱向平面和側向平面，并利用最優控制理論尋找優化的和以滿足末速最大的性能指標［5］:

2.3 三維比例制導律

廣義比例導引的俯仰偏航控制方程為:

式中，ky，kz為比例導引系數分別為彈目視線角變化率在縱向平面和橫向平面的投影;為彈目距離變化率。

2.4 中末制導交接班

為了使導彈在中末制導交接班順利完成，在中末制導引入系數K。這樣，過載在交接點附近能夠平滑過渡［6］，表達式為:

式中，Rj為中末制導交接班距離;L為交接班過程距離。

3 仿真分析

為了考察奇異攝動中制導律的增程效果，本文以導彈進入中制導時彈目航向(x軸)初始距離為空空導彈武器系統效能的衡量指標(以下稱攻擊距離)。對四種不同目標機動方式進行彈道仿真，通過設置不同初始距離，利用二分法分別求得導彈對目標四種機動方式最遠攻擊距離，選取四個結果中的最小值作為該制導模式下的最遠攻擊距離。

在設計仿真程序時，首先建立腳本文件，利用Matlab語言編程設置導彈和目標的初始高度，并采用二分法計算目標航向初始距離，調用Simulink建立的彈道模型解算彈道，求得所設定高度下的最遠初始攻擊距離。仿真程序流程如圖1所示。

圖1 仿真程序流程圖

命中條件:(1)導彈飛行時間小于導彈設計工作時間;(2)脫靶量小于或等于導彈殺傷半徑。

為研究高拋彈道在提升導彈作戰效能方面的適用性，本文選取五種情況將其與常規彈道進行仿真對比，仿真結果如圖2～圖6所示(hM為導彈初始高度，hT為目標初始高度，s為攻擊距離)。

(1)導彈與目標初始位置在同一高度。

圖2 彈目初始等高時攻擊距離曲線

(2)初始時刻目標位于導彈上方3 km。

圖3 目標初始在導彈上方時攻擊距離曲線

(3)初始時刻目標位于導彈下方3 km。

圖4 目標初始在導彈下方時攻擊距離曲線

(4)導彈初始高度10 km，目標高度從5 km到18 km。

圖5 導彈初始高度10 km攻擊距離曲線

(5)目標初始高度10 km，導彈高度從5 km到18 km。

圖6 目標初始高度10 km攻擊距離曲線

由圖可知，奇異攝動制導律利用空氣密度隨高度的增加而減小的性質，找到飛行的最佳高度，使得導彈在進入末制導時具有速度和能量上的優勢，從而增大導彈的射程。高拋彈道在初始彈目高度較低的情況下優勢明顯，隨著高度的增加，采用高拋彈道的作戰優勢逐漸下降。當初始時刻彈目之間存在高度差時，導彈的初始作戰高度和彈目相對位置不影響高拋彈道的攻擊距離，對于常規彈道來說，攻擊距離隨作戰高度的提升而增加。當導彈初始高度一定時，兩種彈道的攻擊距離基本不隨目標高度變化而變化，因為隨著目標高度增加，大氣密度變小，導彈所受到的空氣阻力隨之減小，飛行速度增大，彌補了初始高度差對攻擊距離的影響。當目標高度一定時，常規導彈的攻擊距離隨著導彈的初始高度大幅提升，說明導彈的初始飛行高度對常規導彈攻擊距離影響較大。而高拋彈道的攻擊距離基本不隨作戰高度變化，其主要影響因素是導彈工作時間。

4 結束語

本文針對遠程空空導彈的特點，為達到增程的目的，提出了利用奇異攝動方法實現讓導彈迅速爬升并在最優高度上巡航飛行，從而形成高拋彈道，通過彈道仿真，得到了不同初始高度條件下高拋彈道的性能特點。結果顯示，奇異攝動制導可以節省能量，增加射程，有效地提高了遠程空空導彈的作戰效能，但隨著作戰高度的增加，高拋彈道的射程優勢逐漸減小。

奇異攝動中制導雖然可以有效地提高導彈的射程，但長時間高空飛行增加了導彈與載機之間數據交換的難度。同時，導彈長時間沒有指向目標，這對末制導目標捕獲時的敏感度提出了更高要求，需要在今后設計出更有效的中末制導交接班算法。

［1］ 楊超.中程空空導彈效能研究［D］.西安:西北工業大學，2007.

［2］ 喬洋，陳剛，陳士櫓，等.一種快速爬升和快速下降的奇異攝動最優中制導律設計［J］.固體火箭技術，2008，31(3):205-224.

［3］ Van Buren A，Mease K D.Aerospace plan guidance using timescale decomposition and feedback linearization［J］.Journal of Guidance，1992，15(5):1166-1174.

［4］ Lin C F，Tsai L L.Analytical solution of optimal trajectoryshaping guidance［J］.Journal of Guidance，1987，10(1):61-66.

［5］ 王冠軍.中遠程空空導彈復合制導研究［D］.西安:西北工業大學，2004.

［6］ 楊雪榕，梁加紅，李曉冬.空空導彈高拋彈道仿真研究［J］.系統仿真學報，2010，22(5):1261-1265.