空射彈道導彈助推段彈道設計與優化

聶川義，郭建國，周軍，呼衛軍

(西北工業大學精確制導與控制研究所，陜西西安 710072)

引言

彈道優化是最優問題的兩點邊值問題［1］，考慮導彈運動非線性微分方程求解復雜，加上多變的飛行環境、狀態變量及控制變量約束限制，使其求解非常復雜。針對此問題，一般將彈道優化這一過程優化問題轉化為參數優化問題，并通過數值優化算法求解［2-4］。

空射彈道導彈飛行彈道特點與彈道式彈道相似，針對后者的彈道優化設計已經作了大量研究。然而，空中水平發射方式又帶來了新的問題。由于載機運載能力有限，空射導彈起飛重量大、體積大，亞聲速水平發射，增加了彈道設計難度，并使飛行約束條件增強，進而增加了其彈道優化設計難度。

為此，本文針對空射彈道導彈低速水平發射的特點，分析了其初始爬升過程，設計了動力段的飛行彈道，以描述飛行程序角變化規律參數為設計變量，根據控制量參數化理論，將過程優化轉化為參數優化，考慮空射、氣動、動力系統等多種約束條件，建立了參數優化模型，并通過仿真計算，彈道優化效率明顯提高，驗證了設計飛行方案的可行性和有效性。

1 彈道優化設計

彈道優化問題的參數化是指:將以最優控制描述的過程優化問題，通過選擇一個包含有限個參數的恰當結構去近似控制變量，并將狀態變量看作控制變量的函數，轉化為以非線性規劃描述的參數優化問題［5］。

空射導彈彈道優化問題可描述為:給定一組非線性微分方程組:

式中，x∈Rn為狀態變量，包括彈道描述的氣動角、姿態角以及彈道參數，如攻角、俯仰角、彈道傾角等;u∈Rm為控制變量，是姿態角控制量，即俯仰角。由發射初始狀態和落點終端條件，求解最優問題使性能指標

最小，同時滿足各種約束條件

約束主要包括發射空中轉彎嚴格的時間限制、攻角或過載限制、再入傾角、關機速度以及控制變量約束等。

求解該最優化問題是過程優化問題，求解兩點邊值問題將十分復雜。為此，需轉化為參數優化問題。參數化方法描述如下:

將總的時間過程T(T=tf－t0)分成p等份，得到p+1個節點:τ0，τ1，…，τp。設各節點上的控制變量值為:u0，u1，…，up，則不在節點上的任意時刻 τ處的控制變量值可由插值法獲得，即:

式中，uk為需通過尋優確定的一組未知參數向量。最簡單的插值法是線性插值，即:0

需要優化的參數向量為:

這樣就將對過程函數u(t)的優化問題轉化成了對節點值的非線性規劃問題。從而將過程優化問題轉化為參數優化問題。

2 空射彈道導彈彈道優化數學模型

根據前面討論的彈道優化設計思想建立彈道模型，其中彈道設計是核心，彈道設計問題將轉化為飛行程序角設計問題。根據參數化方法將各段飛行彈道用設計參數描述，即實現了彈道參數化。在設計彈道過程中，必須考慮各種飛行約束，并用數學表達式描述。選擇合適的優化算法可以提高收斂性。

根據上述設計的優化方案，空射彈道導彈彈道優化數學模型框圖如圖1所示。

圖1 彈道優化模型示意圖

2.1 空射彈道參數化過程

根據空射彈道導彈飛行特點，其飛行過程［6-7］描述如下:

(1)投放:當載機高度和速度達到預定時，釋放導彈，載機拉起飛離危險區域，導彈一級發動機點火，此時記為零時刻。

(2)一級爬升段(0≤t＜T1):投放后，零時刻到一級發動機關機。空射導彈一級按攻角拉起并進行爬升，這時攻角先快速達到最大值，然后逐漸減小，這一階段采用經典攻角模型:

式中，αm為最大飛行攻角;c1為轉彎系數。由于空射導彈總體特點，其一級發動機工作時間較短，為了保證一、二級分離攻角較小，攻角程序拉起后，用指數函數將攻角減小至零，此時攻角模型為:

式中，α1為前段結束時攻角大小;t1c為爬升拉起結束時刻;c2為指數衰減系數。這里初始段分為兩段設計，將在后面進行分析說明。

(3)一、二級分離段(T1≤t＜t12):以常值俯仰角φ1c飛行。

(4)二級工作段(t12≤t＜T2):二級發動機點火，導彈按預定俯仰角程序飛行直至二級發動機關機，一般采用等斜率俯仰角程序。

(5)三級點火姿態建立段(T2≤t＜t23):為了使導彈獲得最大速度和最佳關機彈道傾角，三級點火前進行姿態調整，該段又稱滑行段，一般也采用等斜率俯仰角程序，調整后二級發動機分離。

(6)三級工作段(t23≤t＜T3):三級發動機點火，按等斜率俯仰角程序飛行，直至關機分離。

根據上面討論，空射彈道導彈主動段飛行程序設計如下:

圖2 空射彈道導彈各級飛行示意圖

2.2 彈道優化數學模型

(1)設計變量

(2)目標函數

射程和精度是遠程導彈的關鍵因素，優化的目標可選為射程最大max(L)。射程決定于導彈主動段結束時刻的飛行參數，如關機點速度Vk、彈道傾角θk、飛行高度Hk、飛行距離Lk、飛行時間tk等。其解析表達非常復雜，無法計算目標函數的解析解，優化模型中射程通過彈道仿真計算求得。

(3)約束函數

空射彈道導彈飛行過程中一般有如下約束:一級爬升段法向過載主要受導彈可用過載限制，即導彈最大攻角限制。另外，過載限制同時決定了俯仰角變化率受到限制，對姿態控制系統提出了要求。法向過載不能超過可用過載nymax。

一、二級分離時刻攻角α12盡可能小，以減小氣動力對彈體的擾動。

再入時，彈頭要求彈道傾角不能過大，其絕對值不超過|θne|max，再入傾角過小，導彈飛行時間較長，氣動加熱嚴重，且落地速率較小，因此其絕對值應大于|θne|min。

為了滿足射程要求，導彈主動段關機馬赫數不應小于Mak。約束條件描述如下:

(4)優化方法

序列二次規劃法(Sequential Quadratic Programming，SQP)是解決非線性約束優化問題最為重要的方法之一，它使得約束優化問題不再依賴無約束優化，是求解彈道優化最為有效的方法之一。其優化過程是把約束最優化問題轉化為一系列目標函數與拉格朗日函數密切相關的線性約束最優化子問題，其子問題是一個二次規劃問題，子目標函數是一個二次函數，子約束函數是在該處的泰勒展開的線性項。求解子問題可以得到下一步搜索方向，并利用BFGS［5］公式更新目標函數的Hession矩陣，這樣反復迭代計算，直到滿足終止條件退出。

3 彈道設計實例及結果分析

3.1 優化算例

設三級空射彈道導彈投放高度為11 km，投放速度Ma=0.8，水平點火，爬升段最大攻角 αm=15°，導彈各飛行段按程序角飛行(見式(9))。設定彈道計算結束點為再入點，再入點高度為90 km。飛行過載ny≤4.1，一、二級分離攻角小于0.5°，關機點Mak≥ 20，再入傾角 －22°≤θne≤ －5°。

序列二次規劃法可以保證在給定的搜索范圍內得到滿足各種非線性約束的最優解。然而，彈道優化中，狀態變量較多，各種約束和控制量對優化目標影響關系錯綜復雜，其所構成的狀態空間中存在眾

若僅依靠氣動力轉彎，由于采用無翼外形其氣動升力較小，初始段攻角小于15°，法向過載ny＜1.2，導彈不能實現快速爬升;若有推力轉彎時ny可達4.3，導彈能迅速拉起。投放后，t=5 s和t=0 s時發動機點火的飛行彈道仿真對比如圖3所示。多局部最優點。因此，所選的優化初始點必須盡量接近最優值。下面討論初始值選擇:

設優化目標為射程最大，射程的主要決定因素是關機點速度Vk、高度Hk和當地彈道傾角θk。在空射彈道導彈總體參數和程序制導確定情況下，可以估算關機點最大速度在5 800 m/s左右，高度在250 km左右，并根據經驗公式［8］可估計其最佳當地彈道傾角為21°，從而獲得最大估計射程為5 200 km。根據這些指標，可以選擇滿足各種約束的初始值。

3.2 計算結果及分析

(1)初始爬升段分析

導彈采用水平點火方式，其導彈法向過載按下式計算:

圖3 初始時有、無推力轉彎對比圖

由圖可見，初始采用無推力轉彎時，彈道明顯下落，拉起緩慢。由程序角設計可知，初始彈道拉起快慢由攻角模型中轉彎系數c1決定。圖4和圖5是不同c1值的攻角和高度變化曲線圖。由圖可見，當c1越小攻角變化越緩慢，其值回復到零所需時間越長，彈道拉起越快;反之，攻角變化越快，彈道拉起越緩慢。c1值選擇較小為宜，但此時攻角在一級工作結束時仍然較大，不滿足一、二級分離要求。因此，在一級結束前，設計攻角快速指數衰減指令如式(8)，使其滿足分離要求。

圖4 攻角變化曲線

圖5 高度變化曲線

(2)優化結果分析

利用優化模型，采用序列二次規劃法對彈道進行優化，優化前后參數對比如表1所示。

表1 優化設計變量取值范圍及優化結果

優化前后彈道性能參數見表2，導彈主動段飛行過程彈道、攻角、俯仰角、當地彈道傾角以及速度變化曲線優化前后對比分別如圖6～圖8所示。

表2 彈道性能參數

圖6 彈道曲線

圖7 速度曲線

圖8 俯仰角、彈道傾角和攻角變化曲線

計算結果表明，該優化方法使得性能指標大大提高。初始設計彈道拉起爬升時間為33 s，c1=0.08，從而彈道傾角和俯仰角變化較緩，二級俯仰角速率較小，使一、二級爬升段爬升高度過快，同時姿態調整段時間長達160 s，其速度迅速下降，導致能量損失較大;優化彈道將拉起爬升段時間縮短至25 s，二級程序俯仰角速率加快，將姿態調整時間減小至100 s，同時保證姿態調整程序俯仰角速率為較小值，有利于實現。優化前后關機點速度大幅提升，關機點當地彈道傾角很接近，與采用經驗公式計算結果一致，從而使射程增加了16%?？梢?，優化結果合理，優化方法可行。

4 結束語

針對空射水平發射彈道導彈助推段彈道優化設計問題，在水平空射、氣動、彈道、動力系統以及控制變量等多種約束下，利用構造適當的控制變量參數化結構，將過程優化轉化為參數優化的思想，設計了空射彈道導彈軌跡參數優化模型，實現了助推段軌跡精確快速生成。仿真結果表明，彈道優化計算時間縮短，收斂速度明顯提高，優化指標在原設計基礎上提高了16%。該方法適應于彈道導彈方案論證和初步設計。

采用單一的優化算法不能完全滿足優化設計目標，在本文設計的優化模型下，可以選擇其它優化算法，如遺傳算法、混合算法［9］等，并引入優化分析方法，如靈敏度分析等，使得優化模型形成閉環。

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