排隊論G/Ek/c模型及其在醫院眼科專家門診中的應用

章順悅 楊 揚 吳家利 宋婷婷 陳遠方 劉文華 尹 平△

近年來，排隊論模型在醫療服務領域中的應用受到了極大地關注〔1－2〕。由于醫療資源的相對短缺，一些大型綜合性醫院的排隊擁擠現象普遍存在。但病人到達醫療機構的間隔時間分布往往又不可控，例如交通狀況，天氣、季節因素，病人流量和坐診醫生的口碑，以及目前興起的預約排隊與窗口排隊結合等都可能影響病人的到達，難以用確切的概率分布函數來表達。而排隊論G/Ek/c模型則可較好的解決此類復雜問題。本文通過介紹排隊論G/Ek/c模型的原理與參數估計，并對武漢市某大型綜合性醫院的眼科專家門診就診患者的排隊數據進行擬合，以期為優化醫院眼科專家門診的人力資源配置，縮短病人的排隊等候時間提供科學的決策依據。

G/Ek/c模型的基本結構

G/Ek/c模型指顧客的到達規律服從一般分布(G)，服務時間服從愛爾朗分布(Ek)，有c個服務臺的排隊論模型。其對顧客的到達時間分布沒有特定限制，適用范圍廣泛。以醫院眼科專家門診為例，介紹該模型的結構。

1.顧客源

顧客源是指接受服務的對象。醫院眼科專家門診就診的病人即為顧客源，假設其為無限。病人到門診的分布受到很多因素影響，其間隔時間可認為服從一般分布(G)。

2.隊列

在得到服務前等待的病人組成隊列，以其能容納的最大顧客數量為標志。醫院的隊列多由若干個隊長組成(如3名專家坐診，則由3個隊長組成隊列)，而且患者掛號后通常不會因為排隊的隊伍太長而輕易離開，視為無限隊長。

3.排隊規則

排隊規則指服務機構是否允許顧客排隊，顧客對排隊長度、時間的容忍程度以及在排隊隊列中等待服務的順序。該專家門診按照先到先服務(FCFS)的等待制排隊規則，但中間插入了之前預約的患者，同時檢查歸來的患者與新到患者交叉接受診治。

4.服務臺與服務時間

專家門診的醫生可視為服務臺。為單個顧客提供服務開始到服務結束為止的時間跨度為服務時間。在眼科專家門診的診療過程中，病人的服務時間基本穩定，其經驗分布大多近似愛爾朗分布。

資料來源

以武漢市某大型綜合性醫院的眼科專家門診排隊系統為研究對象。收集了2011年4月中旬兩個星期，從周一到周五共10天該眼科專家門診病人的到達情況。考慮到每天下午4點后專家門診基本上都在處理之前排隊的病人和預約病人，因此，每天的觀察時間為早上8點到下午4點。以患者到達接診臺登記等待為標志，進入排隊系統，結束服務離開為終止標志。共獲得390位就診患者的排隊數據資料。

G/Ek/c模型擬合與參數估計

1.G/Ek/c模型擬合

在觀測的10天共80小時期間，390位就診患者的到達率為4.88(人/小時)。其中，到達的間隔時間最短為5分鐘，最長20分鐘，中位數為12.5分鐘，算術平均數為10分鐘。可將病人相繼到達醫院眼科專家門診的間隔時間分布看作一般分布(G)。

對于病人服務時間的分布，介于等長分布(D)與負指數分布(M)之間，即服務時間的偏差介于0與1/μ之間〔3，4〕。用來擬合這類中間情況的理論服務時間分布為愛爾朗分布，具有較好的靈活性〔5〕。事實上，負指數分布和等長分布就是愛爾朗分布當k=1和k≈∞時的特例。

所謂愛爾朗分布，即設v1，v2，…，vk是k個相互獨立的隨機變量，服從相同參數kμ的負指數分布，令T=v1+v2+…+vk，則T的概率密度函數為

且t＞0，稱T服從k階愛爾朗分布〔6〕。公式中 k和μ均為正，且k為整數。它的平均值為1/μ，方差為(1/kμ)2。為此，對一個經驗服務時間分布的平均值和方差進行估測后，利用平均值和方差的公式即可用于確定k的整數值，并使其與估測值非常接近〔7〕。

由收集的服務時間記錄，取μ=1.5(人/小時)，k=2，擬合愛爾朗分布。結果表明該眼科專家門診患者服務時間的分布服從k=2，均數為2/3(小時)，方差為1/9的2階愛爾朗分布(χ2=3.1477，P=0.5334)，見表1。因此，可按病人依次到達間隔時間服從一般分布G，服務時間服從Ek分布進行 G/Ek/c模型擬合。

表1 眼科專家門診服務時間的2階愛爾朗分布擬合結果

2．G/Ek/c模型的參數

記排隊系統整個服務機構的服務強度為ρ，是服務系統的平均利用率，即ρ=λ/cμ。當ρ＜1時，不會排成無限隊列，系統平均到達率等于離去率，達到平衡狀態。排隊論模型的求解是基于平衡狀態下的定量指標。主要指標如下〔10〕:

λ—系統中新顧客的平均到達率;

c—服務臺數;

μ—整個系統的平均服務率;

ρ—服務強度，即服務設施的利用因子，是平均到達率與平均服務率之比;

ρ=λ/cμ;

P0—服務臺空閑概率;

Pn—系統中有n個顧客的概率;

Ls—隊列長，系統中的顧客總數;

Lq—排隊長，隊列中正在排隊等待的顧客數;

Ws—逗留時間，顧客在系統中的停留時間，包括等待時間和服務時間;

Wq—等待時間，顧客在隊列中的等待時間;

相關指標相互關系的Little公式:

3．G/Ek/c模型參數估計

G/Ek/c模型的參數估計較復雜，國內尚無詳細的文獻介紹。目前，國外文獻報道了幾種不同的解法，主要采用近似的逼近法〔8－9〕，基本求解過程如下〔10〕。

設排隊系統在穩定狀態下，n為在時間x系統中的人數，l為在時間x到達的人數，i為系統中正在接受服務的人數，s為在服務的服務臺數，在時間x有顧客n個的概率為P，則有

公式中a(s，m)為線性方程，wj是方程的根，且Bj和wj滿足如下方程:

在采用FCFS規則下，假設新到顧客的平均等待時間為:

模型在穩定狀態下，解以上方程，平均等待時間近似為

由解得的Lq和Wq，根據Little公式〔6〕，其它指標也就可以計算出來了。

結 果

基于 λ =4.88(人/小時)，μ =1.5(人/小時)，k=2，對該眼科門診的坐診專家人數c為3人、4人和5人時，應用 G/Ek/c模型，利用軟件 Open Office加載QtsPlus4Calc〔3－4〕計算得各項主要評價指標，如表 2 所示。并以系統中的病人數為橫坐標，相應的概率為縱坐標，在c=3，c=4時繪制概率圖，如圖1和圖2所示。

表2 G/Ek/c模型應用的參數估計結果

圖1 c=3時系統中病人數的概率圖

由以上結果可知，當有3位專家坐診時，系統利用率為98.84%，平均每小時系統空置的概率為0.0013，隊列中平均每小時19.96人，排隊人數平均每小時16.99人，病人平均排隊等待時間為3.54小時，且隊列中大于10人的概率為0.6868。表明擁擠現象很嚴重。

如增加1位坐診專家，即當c=4時，系統利用率為82.50%，平均每小時系統空置的概率為0.0040，隊列中平均每小時4.14人，排隊人數平均每小時不足1人，病人平均排隊等待時間為0.17小時，且隊列中有10人的概率降為0.0262。擁擠情況已經大為改善，效果相當明顯，基本解決了擁擠排隊的問題。

圖2 c=4時系統中病人數的概率圖

如增加2位坐診專家，即當c=5時，系統利用率為66.71%，平均每小時系統空置的概率為0.0221，隊列中平均每小時3.52人，排隊人數平均每小時0.17人，病人平均排隊等待時間為0.04小時，已經完全不存在排隊擁擠的現象了。但相對4位專家的情況下，改善效果并沒有明顯增大，相對很高的人力成本來說，呈現出了浪費。

綜合而言，該醫院眼科專家門診安排4位專家坐診較為合理。

討 論

到醫院就診排隊是一種司空見慣的現象，我國由于醫療行業資源不夠充分，這一現象顯得更為突出。如果盲目增加服務窗口，包括配置人員或者相應的醫療設備，可能發生空閑和浪費。如果服務窗口配置不足，容易導致病人因排隊時間太長而產生抱怨、不滿、憤怒等負面情緒，甚至在排隊過程中出現不良后果，對醫院的滿意度下降，直接影響病人對醫院的選擇和醫院的品牌及整體管理質量。

本研究通過觀察醫院眼科專家門診的排隊狀況，引入G/Ek/c排隊論模型，對其人力資源配置進行評價和預測，為提高醫院的服務效率，優化醫療資源配置提供了科學的參考依據。

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