基于CVaR風險度量的投資組合優化決策

楊愛軍，高 岳，孟德鋒

（南京審計學院 金融學院，南京 211815）

0 引言

Markowitz于1952年提出的組合投資理論與方法奠定了均值—方差分析框架，開創了對金融風險進行定量測度與防范的先河，是后續許多其他理論研究的基礎。隨著金融實踐不斷深化和金融計量建模技術的發展，該理論的不足之處也逐漸凸現出。

一方面，傳統的均值—方差模型假設投資組合收益率分布函數為多元正態分布。盡管均值—方差模型仍很受歡迎，但它也受到了種種批評。重要一點是沒有充分考慮投資組合收益率的尖峰厚尾和偏態特征。當投資組合收益率服從正態分布時,均值—方差模型能夠完美地刻畫投資組合收益率分布情況，從而為管理投資風險提供堅實的基礎。事實上，大量實證研究成果表明，投資組合收益率往往呈現出尖峰胖尾和有偏特征。Markowitz[1]詳細說明了當投資者效用函數與投資組合損益率的均值、方差和偏態有關時，均值—方差模型不再有效；Athayde和Flores[2]給出了基于均值—方差—偏度的有效前沿的許多性質，并且通過模擬得到有效前沿形狀；Jurczenko[3]提出了一種優化算法來得到基于均值—方差—偏度的投資組合有效前沿。但是這些研究都沒有充分考慮投資組合收益率的尖峰厚尾特性。

另一方面，盡管存在種種批評和多種與其競爭的風險度量方法,方差仍然是投資管理實踐中應用最為廣泛的風險度量方法。在金融市場波動較為平穩的情況下,均值—方差模型仍然能較好地發揮作用。然而在金融市場波動較為劇烈的情況下，投資組合收益率尖峰厚尾和偏態特性使得方差不能有效度量投資組合重大損失風險。當前金融市場的波動越來越大,投資者越來越關注投資組合重大損失風險的發生；同時監管當局也越來越重視對投資組合重大損失風險的監管。國內外一些學者提出了利用VaR來改造均值一方差模型,形成均值一方差模型。然而由于VaR不滿足次可加性,從而不滿足一致性風險度量標準，這個缺陷影響了投資組合選擇的正確性。CVaR是一致性風險度量方法，且容易進行優化處理，受到學術界和實務界越來越多的重視。為了方便計算均值—CVaR模型有效前沿，常常假設投資組合收益率服從多元正態分布[4～6]。雖然多元正態分布簡化了均值—CVaR模型的計算,卻低估了實際的重大損失風險。

鑒于此，本文擬研究基于均值—CVaR模型的投資組合優化問題。首先，利用多元廣義雙曲線分布來擬合投資組合收益率，這個分布可以更好的考慮投資組合收益率的尖峰厚尾和偏態特征，還包含了多元正態分布和多元偏態分布為特例，進而可以從分布本身的角度來比較比較實證研究結果；其次，本文將引入CVaR代替方差和VaR來度量風險,進而建立均值—CVaR投資優化模型；最后，利用中國股票市場的真實數據來演示本文方法，筆者期望提出的基于多元廣義雙曲線分布的均值—CVaR模型能為投資者更好地管理投資風險,提供更廣泛的選擇空間。

1 均值-CVaR模型

假設有n種股票可用于構建投資組合，第i種股票期望收益率為ri(i=1,2,…,n)，記r=(r1,r2,…,rn)T，上標T表示矩陣的轉置；第i種股票在投資組合中的投資比重為wi，則投資組合可以表示為w=(w1,w2,…,wn)T，那么投資組合損益率為有效反映投資組合收益率分布是進行風險管理的重要基礎，進而對投資組合優化問題具有重要意義。本文在利用多元廣義曲線分布來描述n種股票期望收益率基礎上建立均值—CVaR模型。

1.1 多元廣義雙曲線分布

Kλ(z)為階數為λ的第二類修正Bessel函數，那么r服從多元廣義曲線分布，其中參數滿足：當 λ＜0,則χ＞0,ψ≥0；當 λ=0,則 χ＞0,ψ＞0；當λ＞0,則 χ≥0, ψ＞0。這里λ可用于描述某個子類的特征，并且改變λ的值可以來調整分布尾部的厚度；λ,χ,ψ是分布的形狀參數，決定了數據在分布尾部和中心部分的比重，當參數取值趨向無窮大時，分布演化為正態分布；u是位置參數；γ是偏態參數，越大表示分布函數偏度越大就說明分布函數是對稱分布，也是一類橢圓分布，γ在描述金融收益率數據分布中具有重要的作用。由此可見，與多元正態分布僅有兩個參數相比較，通過引進其他幾個參數使得這個分布族非常靈活，能更好地擬合實際金融收益率分布。

多元廣義雙曲線分布族包含許多分布，并且這些分布的一維形式已經被廣泛應用于金融領域：當λ=1時，為多元廣義雙曲線分布[7]；當λ=(n+1)/2時，為多元雙曲線分布；當λ=-1/2時，為多元正態逆高斯(NIG)分布[8,9]；當λ＞0,χ=0時 ，為 多 元 方 差 -gamma分 布[10]；當λ=-ν/2,χ=ν,ψ=0時，為多元偏態 t分布[11,12]；當λ=-ν/2,χ=ν,ψ=0,γ=0時，為多元學生t分布。

1.2 風險度量

VaR是在一定的持有期和一定的置信度內，投資組合所面臨的、潛在的最大損失金額；VaR不僅指出了市場風險暴露的大小，同時也給出了損失的概率。如令α∈(0,1)為給定置信度，則VaR可表示為：

VaR=inf{l∈R∶Pr(L＞l)≤1-α}=inf{l∈R∶FL(l)≥α}

CVaR是指損失超過VaR的條件均值[13]，也稱為平均超額損失，代表了超額損失的平均水平，其表達式為：

在方差、VaR和CVaR三種風險度量中，方差不一定滿足一致性風險測度標準；VaR不一定滿足次可加性，從而不一定滿足一致性風險測度標準，但是當分布函數為橢圓分布族時[14]，VaR滿足次可加性，也滿足一致性風險測度標準；對CVaR而言，無論分布函數是否為橢圓分布族時，其都滿足一致性風險測度標準。一致性風險測度標準對方差、VaR和CVaR三種風險度量在投資組合優化問題中的重要性可以用如下結論來描述。

假如r服從橢圓分布，并且分布的所有邊際分布方差有限；對所有g∈R，記

那么對任何滿足正齊次性，傳遞不變性的風險度量ρ而言，argminL∈Ωρ(L)=argminL∈Ωσ2L。

這里σ2L為變量L的方差。以上結論說明，如果投資組合收益率向量服從橢圓分布，那么在給定組合收益率的期望值的條件下，基于Markowitz方差最小化理論所得到的最優投資組合同基于其他滿足正齊次性，傳遞不變性的風險度量方法所得到的最優投資組合一樣。也就是說，最優投資組合不僅依賴于風險度量方法的選取，也依賴于投資組合收益率向量分布函數的選取(本文省略具體證明過程，感興趣可以和作者聯系)。但通過具體例子來說明上述結論的內涵。因為多元正態分布和多元t分布為橢圓分布的特例，這里假設投資組合收益率向量服從多元t分布，通過簡單計算可得

其中，c1,c2為依賴于α和自由度的常數。因此，在給定組合收益率的期望值條件下，即ωTu為常數，對CVaR進行極小化求解相當于對方差(ωTΣω)進行極小化求解。因此，無論使用方差、VaR和CVaR那一種來度量風險，所得最優投資組合的結果始終一致；同時優化結果也不依賴α的選取。當多元廣義雙曲線分布中的γ=0時，多元廣義雙曲線分布演化為一類橢圓分布，此時投資組合優化問題不依賴于風險度量方法的選取；但是當γ≠0時，投資組合優化問題依賴于風險度量的選取。因此本文將利用CVaR來度量投資組合潛在損失。

1.3 投資組合優化

由于在投資組合收益率向量服從多元廣義雙曲線分布下，無法得到CVaR的具體表達式，對此本文利用Rockafellar and Uryasev[15]的算法①當分布函數為正態或者學生分布時，我們也可以繼續使用這個方法，所得結果和直接求解所得結果一致。，具體過程如下。

步驟1：首先將CVaR表示為如下形式：

這里[x]+=max(x,0)。由于上式涉及高維積分，傳統方法非常困難，本文利用MCMC抽樣技術從r的密度函數中隨機產生m個樣本，得到Fα(w,p)估計為：

步驟2：在給定組合收益率的期望值約束下，關于(w,p)對 F∧α(w,p)進行最小化求解②這里我們可以使用Matlab軟件提供的線形規劃算法，fmincon，對F∧α(w,p)進行最小化問題的求解。。如果 F∧α(w,p)在(w*,p*)處取得極小值，那么w*為最優投資組合，p*為VaR，極小值為CVaR。

2 實證分析

本文選擇不同行業的五只股票作為研究對象③本文也研究了其他不同種類股票組合的優化情況，所得結果也支持本文結論。限于篇幅，這里不再列出，感興趣的讀者可以向或者索取。，這五只股票分別是：東方航空、浦發銀行、萬科A、中國石化和中國重汽；計算使用的歷史數據區間為：2000年1月1日到2010年6月29日；數據來源：金融研究數據庫(RESSET)。所選取的股票相關統計資料見表1。

表1 五只股票收益率的相關統計分析

從表1中單個股票來看，可以發現東方航空股票平均收益率最高，而其偏態情況也最顯著。中國石化和中國重汽也存在比較明顯的偏態情形。根據前面的理論，運用廣義雙曲線分布和CVaR風險度量來研究投資組合優化問題時，必須對數據的聯合分布進行檢驗。表2運用MardiaTest統計量對數據的多元正態性進行檢驗。從表2分析中，五只股票的數據顯然不滿足多元正態分布。這個結論可以從表3得到進一步確認。在表3中，我們用三種不同分布來擬合數據。從最優擬合優度AIC值可以得出，正態逆高斯分布和偏態t分布的擬合效果差別不是很大，但是正態逆高斯分布對數據擬合效果最好，無論是正態逆高斯分布還是偏態t分布，擬合結果都表明數據具有尖峰厚尾和偏態特征。因此有必要對傳統的均值—方差模型進行改進。

表2 多元正態分布檢驗

表3 不同分布下的AIC值

表4 基于多元正態分布和方差、95%VaR和95%CVaR度量的優化結果

在前面部分我們指出，當分布為多元正態分布時④我們這里僅以多元正態分布為例，這個結論對橢圓分布族中的任何分布都滿足。，使用方差、VaR和CVaR中任一種作為風險度量工具，所得到最優投資組合結果是不變的。表4給出基于這三種風險度量的優化結果，顯然優化結果始終保持一致。下面利用正態逆高斯分布和CVaR研究投資組合優化問題。為了對均值—方差模型與均值—CVaR模型做一個比較，進而分析均值—CVaR模型的特點，我們對每一個模型都計算了在給定組合收益率的期望值約束下的最優投資組合。表5分別給出了五組最優投資組合的計算結果。分析表4和表5可以發現，盡管在給定組合收益率的期望值約束下，基于均值—方差模型與均值—CVaR模型得到的最優投資組合并不相同。具體來說，東方航空和萬科A的投資比重顯著增大(+20%,+30%)；浦發銀行的投資比重減少很多(-60%)；而其他兩個股票的投資比重基本保持不變。這個結果表明本文的方法運用到證券投資管理是相當有潛力的。由于在均值—CVaR的模型中，損失是用貨幣來表示的，它更加直觀，同時由于CVaR是下方風險的度量方法，更接近投資者的心理習慣。因此應用正態逆高斯分布和CVaR風險度量有著更多的優點。

表5 基于正態逆高斯分布和95%CVaR度量的優化結果

3 結論

現代證券投資組合管理依靠數量化、模型化的方法來確定最優資產組合。在國內，數量化組合投資這一方法已引起一批機構投資者的興趣，已有不少券商研究機構和基金管理公司對此展開了研究，越來越多的投資組合管理者將采用現代投資組合優化模型來管理組合。盡管均值—方差模型仍很受歡迎，但它受到的批評也是很多的，主要在于均值—方差模型是建立在分布函數為多元正態分布和使用方差作為風險度量方法的基礎之上。然而，大量實證研究成果表明：投資組合收益率向量往往呈現出尖峰胖尾和有偏特征，如果我們仍然使用多元正態分布來擬合投資組合收益率向量，那么我們將得到不精確的結果；同時方差對極值并不敏感，恰恰這些極值就是投資者所關心的。本文提出使用一種靈活的多元廣義雙曲線分布來描述投資組合收益率向量。另外本文使用CVaR來度量風險，CVaR可以把風險量化為貨幣表示。通過對市場的實證研究我們發現，分布函數和風險度量的選取對最優投資組合具有顯著影響。這表明本文方法運用到證券投資管理中是相當有潛力的。

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