古諾和斯塔克爾伯格博弈下的串謀的比較

冉叢波

（重慶三峽學院 經濟與管理學院，重慶萬州 404000）

0 引言

串謀是企業間為了獲得超額利潤而采取的協調行為，是新產業組織理論研究的重點。新產業組織學以科斯的交易成本理論和Baumol等的競爭市場理論為基礎并融合了博弈論的相關內容（Tirole），如今現代經濟學主要采用博弈論研究廠商間的串謀問題。廠商策略性行為研究構成了新產業組織學研究的核心，而廠商間的串謀恰恰是一種典型的策略性行為，OPEC和南非鉆石卡特爾是世界上最典型的串謀組織（卡特爾）。一般而言，串謀可區分為顯性串謀與默契串謀兩種類型。前者為各國管制機構和法律所不容許，因而企業間的串謀行為多為默契串謀。Friedman[1]構造了一個產品均質的雙寡頭博弈模型并成為最典型的默契串謀模型。傳統產業組織學對串謀的研究主要從產量競爭和價格競爭兩個角度展開。Deneckere[2]研究了古諾和波特蘭寡頭博弈下考慮產品差異化時的串謀問題，指出在進行產量競爭時產品替代性越高串謀越不穩定，進行價格競爭時卻得到了完全相反的結論即產品差異的增大能夠提高串謀的穩定性。胡日東等[3]對古諾、斯塔克爾伯格以及串謀模型進行了比較研究。Yang[4]同樣對二級供應鏈中壟斷零售商進行了古諾、斯塔克爾伯格以及串謀三個角度的研究，并指出相較于古諾博弈串謀使得零售商的定價更高，從而不利于社會福利的提高。Metz[5]研究表明串謀瓦解后市場價格會下降16%左右，同時產品的多樣性增大了接近3倍。

本文將分別從古諾和斯塔克爾伯格博弈兩個角度研究串謀穩定性的測度值即臨界貼現因子（Friedman， 1971），并對其進行了比較分析，以期為政策制定者提供些許規制措施的制定依據。當然，也希望其中的部分結論可指導企業的策略性行為以盡可能避免串謀帶來的各種市

1 基本假設和模型推導

本文研究由企業A和B組成的產品具有產異性的雙寡頭壟斷市場，產品之間的差異性通過產品之間的相互替代性間接反映，兩家企業針對兩種相互替代性產品進行不同類型的價格戰。與傳統研究文獻直接假設產品替代因子并在需求函數中給予表示不同，本文的市場需求假設與Baranes（2010）[6]的研究工作相類似，即有：

其中bi≥1,i=A,B代表市場的需求價格彈性，因為，顯然當其它條件不變時，市場的需求價格彈性隨bi的增大而增大。與一般寡頭市場的研究假設相類似，本文同樣假設產品的固定成本和可變成本為0，從而企業A和B的利潤可表示為：

1.1 古諾博弈下的串謀

古諾博弈假設條件下A和B將進行靜態博弈即同時定價。首先分析A和B做古諾博弈時各自的報價行為和利潤所得，分別求解其反應函數：

聯立上述兩個反應函數可知最優報價分別為：

A和B串謀時將采取聯合利潤最大化報價策略，此時的目標函數為由

求得：

市場需求量為：

下面分析作弊時的情形。因為兩者的對稱性特點，只需分析A作弊時的情況即可，對于B可以根據A的分析結果作對稱性處理。A作弊時會假設串謀的另一方繼續履行串謀協議的條款，從而有此時B的報價為根

命題1古諾博弈下由A和B組成的雙寡頭壟斷市場可能存在串謀，使串謀體得以維持的臨界貼現因子δ*c滿足：

圖1 古諾博弈時串謀體的懲罰策略因子

1.2 斯塔克爾伯格博弈下的串謀

斯塔克爾伯格博弈下的串謀僅存在后者作弊的情況，因為此時后者具有后發優勢，前者若作弊必然會被后者察覺，因此下面僅分析B作弊的情形。

求解出各自的報價為：

市場需求為：

從而有該博弈下B的利潤為：

因為B的后發優勢，在其作弊時A仍然遵守串謀協議約定的報價即有，由B對A報價的反應函數為pB( )

pA可知其作弊時的報價為：

在此假設前提下為了有效規制該串謀體中的作弊行為，市場的臨界貼現因子需滿足：

1.3 兩種博弈下串謀的比較分析

命題2臨界貼現因子數值的大小關系側面反映了不同博弈下串謀穩定性的高低，因此古諾博弈和斯塔克爾伯格博弈下串謀的穩定性可間接表示為：

該命題可形象的表示為如圖2的結果。

圖2 兩種博弈下串謀體的穩定性比較

分析上述圖形及命題的結論，可得到如下推論結果：

推論1

（1）對政策制定者而言，若A市場的需求價格彈性高于B則表明斯塔克爾伯格博弈下串謀的穩定性較高，為了阻止串謀的發生政策應該鼓勵“古諾”式的同步定價行為，并適當規制斯塔克爾伯格式的掠奪性惡意定價行為，反之亦然；

（2）對企圖實施橫向一體化戰略或者多元化經營戰略的實體經濟而言，若A市場的需求價格彈性高于B則表明古諾博弈下串謀的穩定性較差，因此應積極采取斯塔克爾伯格式的序貫式定價策略而非同步定價；

2 仿真實驗

本部分將利用MATLAB的仿真功能對第2部分的分析結果進行數值化仿真實驗，因為bi≥1;i=A,B,所以此處取圖3中的兩個圖形分別為和的組合圖形，很顯然兩個因子是呈對稱分布的的圖形。

圖3 δAc和δEc的組合圖

圖4 兩種博弈下串謀的穩定性關系圖

3 結論

本文研究表明，靠近原材料市場的企業（A）需求價格彈性較高時，斯塔克爾伯格博弈下串謀的穩定性更高；靠近客戶市場的企業（B）需求價格彈性較高時，兩種博弈下串謀的穩定性相同；兩企業需求價格彈性相同時，古諾博弈下串謀的穩定性更高。對政策制定者而言，若A市場的需求價格彈性高于B則表明斯塔克爾伯格博弈下串謀的穩定性較高，為了阻止串謀的發生政策應該鼓勵“古諾”式的同步定價行為，并適當規制斯塔克爾伯格式的掠奪性惡意定價行為，反之亦然；對企圖實施橫向一體化戰略或者多元化經營戰略的實體經濟而言，若A市場的需求價格彈性高于B則表明古諾博弈下串謀的穩定性較差，因此應積極采取斯塔克爾伯格式的序貫式定價策略而非同步定價。

[1]Friedman.A Non-Cooperative Equilibrium for Supergames[J].Review of Economics Studies,1971,（28）.

[2]Deneckere.Duopoly Supergames with Product Differentiation[J].Eco?nomics Letters,1983,（11）.

[3]胡日東,王志江.寡占廠商產量決策模型比較[J].運籌與管理，2000，（9）.

[4]S.L.Yang,Y.W.Zhou.Two-echelon Supply Chain Models:Considering Duopolistic Retailers’Different Competitive Behaviors[J].Internation?al Journal of Production Economics,2006,（103）.

[5]Abrantes-Metz.A Variance Screen for Collusion[J].International Jour?nal of Industrial Organization,2006,（24）.

[6]E.Baranes，et al,Cost-based Access Regulation and Collusion in a Dif?ferentiated Duopoly[J].Economics Letters,2010,（106）.