一種離差組合最大化多屬性決策方法

何 霞，劉衛(wèi)鋒

（鄭州航空工業(yè) 管理學(xué)院數(shù)理系，鄭州 450015）

0 引言

多屬性決策是指在一定數(shù)量的備選方案上進(jìn)行決策。由于在多屬性決策問題中屬性權(quán)重對(duì)于求出屬性綜合值進(jìn)而進(jìn)行排序起到至關(guān)重要的作用，因此，如何求得屬性權(quán)重是進(jìn)行多屬性決策的一個(gè)重點(diǎn)，也是目前多屬性研究中的一個(gè)熱點(diǎn)。目前，關(guān)于求得屬性權(quán)重的方法已經(jīng)取得了豐富的研究成果，其中包括屬性離差最大化[1]、方案離差平方最大化[2]、特征向量法[3]、最小加權(quán)法[4]、信息熵方法[5]、投影法[6]，等等。

在上述研究基礎(chǔ)上，本文通過計(jì)算實(shí)例說明了，文獻(xiàn)[1]中方案屬性值離差變大并不一定得到文獻(xiàn)[2]中方案綜合值離差變大的結(jié)論，反之亦然。在此基礎(chǔ)上，提出了同時(shí)考慮方案屬性值離差和方案綜合值離差最大化，通過建立求解一個(gè)規(guī)劃模型而得到屬性權(quán)重，得到一種同時(shí)考慮方案屬性值離差和方案綜合值離差最大化的多屬性決策方法。

1 預(yù)備知識(shí)

多屬性決策問題一般可以描述為：

設(shè) 方 案 集 為 X={x1,x2,…,xn}，屬 性 集 為U={u1,u2,…,um}，屬性權(quán)重為 ω=(ω1,ω2,…,ωm)， 0≤ωi≤1.方案xi按屬性u(píng)j進(jìn)行測量，得到xi關(guān)于uj的屬性值aij，從而得到原始決策矩陣A=(aij)nm。常見屬性類型主要有效益型、成本型等。效益型是指屬性值越大越好的屬性；成本型是指屬性值越小越好的屬性.設(shè)Ik,k=1,2分別表示效益型、成本型下標(biāo)集合,且 令 N={1,2,…,n},M={1,2,…,m},顯 然M=I1∪I2.為了消除不同物理量綱對(duì)決策結(jié)果的影響，決策時(shí)可按下列公式對(duì)原始決策矩陣A進(jìn)行規(guī)范化處理，從而得到規(guī)范化決策矩陣R=(rij)nm：

2 決策方法

2.1 方案屬性值和綜合值離差關(guān)系分析

文獻(xiàn)[1]從排序的角度分析了，方案屬性值離差越大的屬性應(yīng)該賦予越大的權(quán)重，并由此建立規(guī)劃模型從而求出屬性權(quán)重。文獻(xiàn)[2]指出，屬性權(quán)重的選擇應(yīng)該使得各方案的綜合值盡可能的分散，越是分散越有利于方案的排序，也由此建立規(guī)劃模型求出屬性權(quán)重。綜合文獻(xiàn)[1，2]的分析，可以得出這樣的結(jié)論，即最理想的屬性權(quán)重應(yīng)該是方案屬性值離差和方案綜合值的離差同時(shí)達(dá)到最大。然而，事實(shí)上，方案屬性值離差和方案綜合值的離差不僅不能同時(shí)達(dá)到最大，而且會(huì)出現(xiàn)方案屬性值離差變大導(dǎo)致方案綜合值離差變小，方案綜合值離差變大導(dǎo)致方案屬性值離差變小的情況出現(xiàn)。

定理1一般情況下，多屬性決策中方案屬性值離差和方案綜合值的離差不能同時(shí)達(dá)到最大。

證明：采用反證法.假設(shè)方案屬性值偏差和方案綜合值的離差能同時(shí)達(dá)到最大，即設(shè)方案集為X={x1,x2,…,xn}，屬性集為U={u1,u2,…,um}，屬性權(quán)重為ω=(ω1,ω2,…,ωm)，0≤ωi≤1，規(guī)范化決策矩陣為 R=(rij)nm，方案綜合屬性值為 zi(ω)=i∈N ，則所有方案屬性值的總離差和所有方案綜合值的離差平方和能同時(shí)達(dá)到最大。

現(xiàn)設(shè)有兩個(gè)方案 x1,x2，評(píng)價(jià)方案的屬性有兩個(gè)u1,u2，其規(guī)范化決策矩陣如下：

則方案x1,x2間的總離差為0.212，利用文獻(xiàn)[1]方法求出屬性權(quán)重為，于是，方案x1,x2的綜合屬性值分別為z1(ω)=0.9752，z2(ω)=0.8583，從而方案x1,x2間的離差平方和為0.0137。

顯然，由上面的計(jì)算實(shí)例說明方案屬性值的總離差變大，并不意味著方案間的離差平方和變大，即方案間未必越分散.同樣實(shí)例也說明了，方案間離差平方和變大，也并不意味著方案屬性間總離差會(huì)變大。

因此,不能使得方案屬性值偏差和方案的離差同時(shí)達(dá)到最大，故假設(shè)不成立。

所以定理1得證。

2.2 離差組合最大化決策方法

在定理1基礎(chǔ)上，我們提出綜合考慮方案屬性值偏差和方案的離差平方和，使它們之和最大化，并建立如下規(guī)劃模型：

只需解上述規(guī)劃模型，并將求出的向量歸一化，即可得到屬性權(quán)重。

于是，我們得到了離差組合最大化的一種多屬性決策方法，具體算法如下：離差，

步驟1對(duì)于某一個(gè)多屬性決策問題，設(shè)方案xi在屬性 uj下的屬性值為 aij，于是得到原始決策矩陣A=(aij)nm，其相應(yīng)的規(guī)范化矩陣為R=(rij)nm。

步驟2由規(guī)劃模型（Model—1）求出權(quán)重向量ω。

步驟3求出各方案的綜合屬性值zi(ω)，i∈N。

步驟4按照zi(ω)，i∈N的值從大到小的順序排列，得到各方案的排序。

3 算例

例1一個(gè)購房者欲從4個(gè)備選方案xi(i=1,2,3,4)中選擇一個(gè)。考察的指標(biāo)有4個(gè)，分別為u1：房價(jià)（$10000），u2：住房面積(m2)，u3：工作單位與房子之間距離(km)，u4：自然環(huán)境（評(píng)估值），其中u2，u4為效益型屬性，u1，u3為成本型屬性.屬性權(quán)重完全未知。相應(yīng)的決策矩陣如表1所示。

表1 決策矩陣

試對(duì)方案進(jìn)行排序和擇優(yōu)。

利用本文方法進(jìn)行求解，步驟如下：

步驟1將原始決策矩陣規(guī)范化，得到規(guī)范化矩陣為

步驟2建立規(guī)劃模型如下：

步驟3各方案的綜合屬性值為:

z1(ω)=0.8547，z2(ω)=0.8602

z3(ω)=0.5185，z4(ω)=0.6999

步驟4按照Zi(ω),i=1,2,3,4的值從大到小的順序排列，得到各方案的排序?yàn)椋?/p>

x2?x1?x4?x3

故最優(yōu)目標(biāo)為x2，即購房者應(yīng)優(yōu)先考慮購買房子x2。

4 結(jié)語

本文研究了屬性權(quán)重完全未知的一種多屬性決策方法，豐富和發(fā)展了多屬性決策方法。首先，證明了方案屬性值離差變大并不意味著方案綜合值的離差會(huì)變大，反之亦然的結(jié)論。然后，在同時(shí)考慮方案屬性值離差和方案綜合值的離差最大化的思想上，建立了一個(gè)規(guī)劃模型求得屬性權(quán)重，從而得到了同時(shí)考慮方案屬性值離差和方案綜合值離差的一種離差組合最大化的新的多屬性決策方法。最后的實(shí)例說明了方法的可行性。

[1]王應(yīng)明.運(yùn)用離差最大化方法進(jìn)行多指標(biāo)決策與排序[J].中國軟科學(xué).1998,(3).

[2]王應(yīng)明.離差平方和的多指標(biāo)決策方法及其應(yīng)用[J].中國軟科學(xué).2000,(3).

[3]Saaty T L.A Scaling Method for Priorities in Hierarchical Structures[J]. Journal of Mathematical Psychology,1978，1(1).

[4]Chu A T W,Kalaba R E,Spingarn K.A Comparison of Two Methods for Determining the Weights of Belonging to Fuzzy Sets[J].Journal of Optimization Theory and Applications,1979,27(4).

[5]Hwang C L,Yoon K.Multiple Attribute Making and Applications[M]. New York:Springer-Verlag,1981.

[6]王應(yīng)明.多指標(biāo)決策與評(píng)價(jià)的新方法—投影法[J].系統(tǒng)工程與電子技術(shù)，1999,21(3).