基于Solow模型指數的中國經濟投入與產出效率分析

龍云安，羅宏達，程 宇

（1.西華大學經濟與貿易學院，成都 610000；2.華中師范大學經濟學院，武漢 430079）

0 引言

一國既定經濟制度效率的高低是通過投入與產出之比反映出來，美國經濟學家Solow提出的Solow模型正是測算經濟制度效率的重要研究工具。但是由于難以準確測度Solow模型中的要素生產率，因此對同一經濟體的Solow模型擬合結果有著較大的差異。通過對中國面板數據的實證分析，并借助非參數DEA-Malmquist指數法估算全要素生產率的變動情況，發現中國經濟投入產出模型效率在不同地區差異很大，鑒于此，通過深入研究，如何解決這一矛盾，為中國宏觀經濟管理提出正確的政策建議，從理論和實踐的角度進行探索。

1 Solow模型的缺陷分析

經濟學學者和宏觀經濟管理者已普遍認可新古典增長模型，但始終缺少一個公認的固定模式，較為常用的模型：

式中，由于存在技術因素A(t)的不確定性，分析論證過程中存在許多矛盾：新古典增長模型中的A(t)由于存在外生技術進步而隨著時間的變化而改變，即A(t)的變化無法準確估算勞動和資本的產出彈性，中國的官方統計也一般把A(t)的確切數字公布出來；如果由于A(t)的數據不易獲得而把A(t)值設置為一個常數，算出α和β數值，但必須首先假定不存在技術進步，這與實際情況完全不符，必然降低后續計算的可信度。近年來，許多研究都在對α和β數值的估算時，均把技術因子作為常值來處理，楊超等(2009)、劉鑫(2008)、王欣陽(2007)均以此辦法操作，但研究的結果在一定程度上都存在方法的可靠性問題。

汪偉(2006)利用Solow（1957）提出模型進行改進，得出以下改進型模型，即C-D生產函數模型：

在生產函數中加入時間指數趨勢eλt測定技術進步，其中λ代表技術的年進步速度，t代表年份序列。這樣模型可以驗證出:

式中，分別用G、GL、GK代表經濟增長率、勞動力增長率和資本增長率。侯榮華(2000)則把A(t)的增長速度設為定值a，并提出了計算a值的方法。雖然這兩種方法都彌補了技術進步測定的不足，但在具體形式的假定上增加了技術進步。A(t)增加率恒為定值，必然減小Solow模型的實際應用價值。因此，必須尋找一種嶄新的方法，在計算資本和勞動的產出彈性時，不考慮A(t)具體形式，這樣，Malmquist指數法便有了用武之地。

2 Malmquist指數法及其運用

2.1 Malmquist指數法的提出

Malmquist指數法是一種基于DEA數據包分析的非參數方法，首先由Malmquist（1953）作為一種消費指數提出。Caves等人（1982）將這種指數法引入計算生產率變化的實踐中。Malmquist指數不需要過多的假定A(t)的具體數學形式，只需要知道在若干年內的投入和產出項中具體經濟體或決策單元(DMU)個數，便可借助DEA方法估算TFP的變化率，由于TFP與A(t)客觀上是等價的，所以這就進一步方便了我們運用全要素生產率(TFP)變化率來估算Solow模型的參數α和β值。

2.2 Malmquist指數法研究時間段的選擇

我們選取1990～2008年時間段作為研究區間，由于以下因素考慮，我們把1990年開始后的數據作為研究對象：

(1)Malmquist指數法要求DMU年份數必須在兩年以上，鑒于Solow模型對年份數的特別要求，根據統計數據，采用19年的數據完全能夠保證后續Solow模型擬合所需的樣本數是足夠的；

(2)自90年代以來的中國經濟的發展模式，市場經濟制度逐漸確立，中國經濟體制改革不斷深化，與20世紀80年代相比，目前中國經濟的發展軌道已經完全進入了一個高度市場化的階段,所以，我們必須拋棄80年代的數據作為分析對象，是模型分析更加接近中國經濟的現實。選擇1990～2008這個時間段作為我們的研究區間，既符合中國經濟最有特色的時間段，同時也對中國以后的經濟發展起到重要作用。

3 Malmquist指數法的數據包分析(DEA)及其應用

3.1 數據包分析(DEA)

數據包分析(DEA)作為非參數統計方法，采用線性規劃，評價同類型組織之間工作績效的一種有效手段。這種方法不需要預先設定決策單位投入項和產出項之間的關系，而是在相對效率基礎上，把多個相同或相似的決策單元（DMUs)作為相互參照的對象，求出效率前沿，根據受評估DMU的投入產出關系與效率前沿的位置關系求出該DMU的相對效率。在投入和產出組成的坐標系中，生產可行集的一條數據包線被稱為效率前沿，把處于效率前沿上的點稱為DEA有效。

為了得出DEA法可靠的結果，數據包分析法要求各DMU之間必須具有同質性，然后才能比較各單位間的相對效率，而且，對同質性的要求至少包含以下幾點：

（1）要有相同或類似的經營目標、經營工作性質；

（2）相似的經營環境與社會條件；

（3）相同的投入項目與產出項目。

具體處理DEA方法中的面板數據，一般可使用視窗分析和malmquist指數分析。距離函數D(,)衍生Malmquist指數，假定D=1，那么該DMU是有效率的。Fare等(1992)進一步分析Malmquist指數受評估DMU效率值的改變和效率前沿的移動情況。Chanes等（1978年）拓展了由Farrell（1957）提出的模式，產生出DEA的CCR模式和BCC模式。CCR模式假定規模報酬恒定，而BBC模式則不需要這一假設，用技術無效率和規模無效率來解釋無效率的真正原因分。

我們從投入導向和產出導向兩種途徑開始DEA的研究。其中投入導向主要指決策單位在固定產出的條件下，對于投入量來講是可以控制的，即用固定產出額求出投入額的減少部分，進一步得出DMU向著效率前沿的移動量；而產出導向則是指決策單位在固定投入的情況下，對產出量加以控制，用固定投入額求出產出額的減少量，以提高DMU的效率。其實兩種導向在本質是沒有差異的。對于一般的決策單元來說，控制投入比控制產出更為現實，所以較多的使用投入導向。我們在研究中也主要采用投入導向的BCC模式。

3.2 Malmquist指數法的計算原理

從要素投入的角度來研究TFP的變化，必須首先假設決策單元數量有N個，Kit為資本投入，Lit為勞動力投入，=(Kit，Lit)′表示第i個省區t時期的包括資本K和勞動L的投入向量。決策單元i在t期的產出向量為=(Yit)。解出第i個地區的maxai(p,q),S.t.=(Yit)

式中p,q為時期，然后確定距離函數:

其中(p,q)∈{ } (t,t),(t+1,t),(t,t+1),(t+1,t+1)

公式表示t時期到t+1時期TFP增長率的測度，也可以表示為

3.3 Malmquist指數分析和Solow模型的基礎數據來源與處理

根據非參數統計理論，Malmquist指數法無需嚴格規定投入和產出指標的選取；一般來講，量度TFP的依據在技術并無苛求，只要能反映DMU的投入與產出的指標皆可。然而，計算出TFP值只是開始，隨后我們還會繼續根據Solow模型假設，計算資本與勞動的產出彈性，從投入產出項目的一致性出發，選擇的指標與Solow模型假定的投入產出項保持一致，即投入L、投入K和產出Y一致，分析并選定Malmquist指數法和Solow模型中的各項指標（西藏除外）。

表1 190～2008年各省區全要素生產率的變化率

續表1

4 Solow模型的擬合

我們設定以下Solow模型進行分析:

公式中Y、K、L均為已知項，A(t)變化率也已在前面分析中得到，再此基礎上得出α和β的確切值，并算出DMU的A(1990)的取值。

對上式求微分:

而事實上

MPL為勞動的邊際產品，MPK為資本的邊際產品。

根據微觀經濟學的基本原理，在完全競爭的市場下，要求廠商將生產調整到要素邊際產量與要素邊際價格相同，因而:

就是勞動收益；同樣的:βA(t)LαKβ-1·K=MPK·K，也就是資本收益。

勞動收益在產出中的份額是:

在產出中資本收益的份額是:

5 中國經濟發展的政策建議

(1)加大國外先進價值要素的引進。隨著農業大國向工業化大國轉化，制約經濟發展的主要瓶頸任然是資本和技術進步等先進要素，但這些要素不是完全來自于經濟體內部本身，而是要積極引入國外價值要素，最具先進性和前沿性的技術，使Solow模型在我國更加有效。

(2)加快金融體制改革的步伐，充分發揮貨幣的乘數效應和金融工具的杠桿效應，提高我國資本的使用效率，著力改善儲蓄與投資的轉換渠道，積極拓寬融資渠道，改革行政審批制度；強化風險管理和保障機制，正確引導國有、非國有金融機構的發展，發揮不同金融機構在投融資領域的應有作用。

(3)加大科技投入，合理配置資源，加快全要素生產率特別是中西部地區全要素生產率的前進步伐。認清我國投入產出的不對稱性，正視科技水平較為落后的現狀，積極改善科研條件和激勵機制，推動產學研的良性循環，促進科技成果轉化為經濟效益。

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