NA樣本下Burr Type XII分布形狀參數的經驗Bayes檢驗

周 慧，陽連武

（宜春學院 數學與計算機學院,江西 宜春336000）

0 引言

自Robbins提出經驗Bayes(E B)方法以來,經驗Bayes (EB)假設檢驗問題是Bayes統計推斷的重要內容之一,受到許多學者的重視.在可靠性理論、滲透理論和某些多元統計分析問題中,隨機樣本往往不是i.i.d.的,而是具有一定相關性,如負相協(NA)和正相協(PA)樣本就是常見的兩種。最近幾年關于相協樣本的經驗Bayes估計和檢驗引起了一些學者的興趣。文[1]討論了NA樣本下刻度指數族參數的E B檢驗問題；文[2]討論了NA樣本下單邊截斷型分布族參數的E B檢驗問題；文[3]討論了NA樣本下連續型單參數指數族參數的E B檢驗問題；文[4]討論了NA樣本下伽瑪分布族參數的E B雙邊檢驗問題；文[5]在NA樣本和線性損失函數下討論了一類分布族參數的經驗Bayes檢驗問題;文[6]討論了PA樣本下線性指數分布族參數的E B檢驗問題。

Burr XII分布由Burr1942年引入,自提出以來受到廣泛的關注和研究，其被廣泛應用于機械工程、航天航空領域、質量控制和保險精算學等諸多領域。其應用和統計推斷問題引起很多學者的興趣。文[7]利用最大似然方法用Burr Type XII分布擬合了一個醫學研究中的壽命數據；文[8]發現利用Burr Type XII模型比其他模型能更好的你和鈾勘察數據；文[9]在定數截尾樣本情形下導出了Burr Type XII分布的最大似然估計,并且討論了最大似然估計存在的條件和解唯一的條件；文[10]在平方損失函數以及LINEX損失下研究了Burr Type XII分布的Bayes估計和極大似然估計;文[11]基于失效截尾樣本給出了兩參數Burr分布形狀參數的區間估計；文[12]在線性損失和加權平方損失函數下討論了兩參數Burr Type XII分布的單側和雙側經驗Bayes檢驗問題。

設隨機變量X服從兩參數Burr Type XII分布,相應的分布函數為：

概率密度函數為：

其中，α＞0，是已知形狀參數；θ＞0，為未知形狀參數。

樣本空間為Ω={x| x }＞0,參數空間為：

定義1隨機變量X1,X2,...,Xn稱為NA的,如果對于集合{1,2,...,n}的任何兩個不交的非空子集A1與A2都有Cov(f1(Xi,i∈A1),f2(Xi,i∈A2))≤0,其中 f1和 f2是任何兩個使得協方差存在且對每個變元均非降（或同時非升）的函數.稱隨機變量序列{Xj,j∈N}是NA的,如果對任何自然數n≥2,X1,X2,...,Xn都是NA的。

下面我們將基于NA樣本,在加權線性損失函數下討論Burr Type XII分布未知形狀參數的E B檢驗問題。

本文所討論的單側檢驗問題為：

其中，θ0為給定的常數,對假設檢驗問題(3),設損失函數,這里是行動空間,d0表示接受H0,d1表示拒絕H0。本文采用上述的“加權”線性損失函數的好處是，它具有不變性,并使Bayes表達式更加簡潔,EB檢驗函數易于構造。

假設參數θ的先驗分布為G(θ),G(θ)未知,設隨機化判決函數為:

則δ(x)的風險函數為：

此處

令隨機變量X的邊緣分布為:

令

所以由（5）式得：

由（4）式可知Bayes檢驗函數為：

其Bayes風險為：

注意下列事實：若先驗分布G(θ)是已知,且δ(x)等于δG(x)時,RG是可以精確達到的。不幸的是此處G(θ)是未知的,所以δG(x)也未知,因而Bayes檢驗函數δG(x)無實用價值,于是需要引入EB方法,這就需要構造其風險可任意接近RG的EB判決函數。

2 經驗Bayes檢驗函數的構造

本文在下列框架下構造經驗Bayes檢驗函數:設X1,X2,...,Xn,Xn+1為同分布弱平穩的NA隨機變量序列；其共同的概率邊緣密度函數為 fG(x)；X1,X2,...,Xn為歷史樣本,Xn+1為當前樣本。本文中假定：

(1)fG(x)∈Cs,α,x∈R1,其中Cs,α表示R1中的一族概率密度函數,其s階導數存在、連續且絕對值不超過α,s≥2為正整數。

(2)令s≥2為任意確定的自然數,Kr(x)(r=0,1,... s-1)是Borel可測的有界函數,在區間(0,1)之外為零,且滿足下列條件：

定義fG(x)的核密度估計為：

(3)本文對NA樣本序列的協方差結構做如下假定：

由(7)、(8)式可知：

因此PG(x)的估計量定義為：

所以β(x)的估計量為：

所以經驗Bayes檢驗函數可定義為：

以下令En表示對隨機變量X1,X2,...,Xn的聯合分布求均值,則δn(x)的全面風險為：

若 R(δn(x),G(θ))-RG=Ο(n-q),q＞0,則稱檢驗函數{δn(x)}的收斂速度為Ο(n-q)。

由定義可見,EB檢驗函數優良性的評價取決于其風險逼近Bayes風險的程度。

令c,c1,c2,...表示不同的常數,即使在同一表達式中它們也可取不同的值。

本文中令c,c1,c2,...表示不同的常數,即使在同一表達式中它們也可取不同的值。

引理1[11]令RG和R(δn(x),G(θ))分別由（10）和（17）式定義,則：

引理2[4]設 fn(x)由(12)式定義,其中X1,X2,...為同分布弱平穩的NA隨機樣本序列,假定條件(A1)-(A3)成立,對?x∈Ω：

（1）若 fG(x)關于 x連續,則當 lim

n→∞bn=0,且時有：

（2）若fG(x)∈Cs,α,當取bn=時,對于0＜λ＜1有：

引理3設PG(x)和Pn(x)分別由（1.7）和(2.3)式給出，其中X1,X2,...為同分布弱平穩的NA隨機樣本序列,對于

證明：由(13)和(14)知,Pn(x)為PG(x)的無偏估計，則由Jensen不等式,有：

其中：

由于 I(Xi＞x)為關于 Xi的非降函數,并且X1,X2,...,Xn為NA隨機變量序列,從而

于是

將其帶入到（22）知引理得證。

3 經驗Bayes檢驗函數的漸近最優性

定理1設δn(x)由（16）式定義,其中X1,X2,...為同分布弱平穩的NA隨機樣本序列,在條件（A1）-（A3）成立時,若

（1）{bn}為正數序列,且

（3）fG(x)為x的連續函數；

由（7）式和Fubini定理得:

故由引理1及控制收斂定理可知:

由(9)和(14)式及Markov不等式和Jensen不等式可得:

又由引理2和引理3可知,對?x∈Ω,有:

結合（23）和（24）,定理得證。

定理2設δn(x)由（16）式定義,其中X1,X2,...為同分布弱平穩的NA隨機樣本序列,假定條件(A1)-(A3)成立,又若 fG(x)∈Cs,α,對于0＜λ＜1,有:

則當bn=時有R(δn(x),G(θ))-RG=

其中s≥2為正整數。

證明：由引理1及Markov不等式得：

由引理2引理3及條件(B1)得：

[1]韋來生.刻度指數族參數的經驗Bayes檢驗問題:NA樣本情形[J].應用數學學報,2000,(23).

[2]許勇,師義民.單邊截斷型分布族參數的經驗Bayes檢驗問題:NA樣本情形[J].應用數學,2001,14(4).

[3]陳玲,韋來生.連續型單參數指數族中參數的經驗Bayes檢驗問題:NA樣本[J].應用數學,2004,17(2).

[4]陳家清,劉次華.伽瑪分布族參數的經驗Bayes雙邊檢驗的收斂速度:NA樣本情形[J].數學雜志,2007,1(27).

[5]王亮,師義民.NA樣本下一類指數分布族的經驗貝葉斯檢驗[J].西北大學學報(自然科學版),2008,38(4).

[6]郭鵬江,王惠亞,張濤.PA樣本下刻度指數族參數的EB檢驗[J].西北大學學報(自然科學版),2009,39(1).

[7]Wingo D R.Maximum Likelihood Methods for Fitting the Burr XII Distribution to Life Test Data[J].Biometrical J,1983,(25).

[8]Cook R D,Johnson M E.Generalized Burr-Pareto-Logistic Distribu?tion with Application to a Uranium Exploration Data Set[J].Techno?metrics,1986,(28).

[9]Soliman A.A.Estimation of Parameter of Life from Progressively Cen?sored Data Using Burr XII Model[J].IEEE Transions on Reliability, 2005,54(1).

[10]王婷婷,師義民.Burr-XII部件可靠性指標的貝葉斯估計[J].系統工程,2009,27(5).

[11]Wu J W,Yu H Y.Statistical Inference about the Shape Parameter of the Burr XII Distribution under Failure-censored Sampling Plan[J]. Application Mathematics and Computation,2005,(163).

[12]韋程東,陳志強,韋師等.兩參數Burr XII分布的經驗Bayes檢驗問題[J].工程數學學報,2010,27(2).