基于TLS-ESPRIT 算法的電氣化鐵路諧波檢測

李 強

0 引言

鐵路電氣化改造的逐步實施，武廣、鄭西、京滬等客運專線的開通，標示著中國鐵路正快速邁入電氣化時代。電氣化鐵路雖然在提高運行速度、增加運力等方面具有明顯的經濟、社會效益，但也同時帶來了其他不利影響，其中，交-直型、大功率、單相整流電力機車所引起的諧波污染對公共電網及鐵路沿線設備帶來了嚴重危害[1～3]，必須采取措施對其進行有效治理，而實時、準確的諧波檢測是諧波治理的前提和主要依據。

目前，用于諧波檢測的算法主要有：傅里葉變換、瞬時無功功率理論、小波變換、Hilbert-Huang變換、Prony 算法。傅里葉變換計算量大、實時性不夠好、易產生頻譜泄漏和柵欄效應；基于瞬時無功功率理論的方法不能對信號進行時間和頻率聯合檢測；小波變換無法單獨提取任意頻次的諧波信號，且小波基系數受噪聲影響大；Hilbert-Huang變換可以得到諧波的時頻分布，但應用中存在端點效應，需做處理[4]。Prony 算法受噪聲干擾、參數選擇影響較大[5～6]。

1989 年，Roy 和Kailath 提出了一種新的信號參數提取算法—ESPRIT（Estimating Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques）算法，它基于子空間技術，把待估計信號分解成信號子空間和噪聲子空間，通過信號空間估計出信號參數[7～8]。具有優良的抗噪聲性能、高分辨率、良好的參數適應性。ESPRIT 的思想是通過求旋轉算子φ得出信號的衰減和頻率，再由最小二乘（Least Square，LS）或總體最小二乘（Total Least Square，TLS）得出幅值和相位[9]。

TLS - ESPRIT（Total Least Square - Estimating Signal Parameter via Rotational Invariance Techniques）是振蕩衰減正弦信號參數辨識、諧波恢復的有效工具[8]。目前已被廣泛應用于雷達陣列信號、語音信號、生物信號處理等場合，也正逐漸被引入到電力系統領域，如電壓閃變參數提取、低頻振蕩模式分析[8～11]。本文將TLS-ESPRIT 算法引入到電氣化鐵路諧波檢測中，從而為治理電氣化鐵路諧波污染奠定基礎。

1 TLS-ESPRIT 算法[8，11]

設信號x(n)由p 個幅值按指數函數變化的正弦分量和白噪聲組成，在采樣時刻n，可表達如下：

ESPRIT 算法可由構造觀測數據自相關和互相關矩陣、進行特征值、奇異值分解來實現，具體過程參見文獻[9]和[12]。由于該方法計算量較大，本文將通過由采樣數據序列構造Hankel 矩陣來實現該算法，計算簡單、快捷、易于實現。

設有n 個采樣數據序列x(0)，x(1)，x(2)，…x(n-1)，構造r×m 階Hankel 矩陣如下：

式中，r＞p，m＞p；且滿足：r + m -1 = n。

對H 矩陣進行SVD 分解，有：

式中，U 為r 階正交矩陣；∑為r×m 階對角陣，其對角元素由矩陣H 的奇異值作遞減排列得到；V為m 階正交矩陣，Vs、Vn分別與信號子空間和噪聲子空間對應。

令Vs作式（4）分解：

則存在可逆陣P，使得[8，11]：

求出P 的特征值即可估計出各信號分量的衰減和頻率[11]，這可由總體最小二乘法（TLS）實現。

令K = [V1，V2]，對K 做SVD 分解，即K =，其中，將V3分塊成4 個p×p的子矩陣，有：

則式（5）的總體最小二乘解為

求得Ptls的特征值λi(i = 1,2,…p)，則式（1）信號中所包含的各正弦分量的衰減因子、頻率計算：

則式（1）中各信號分量的幅值、初相為

至此，信號分量的各參數均已求出。

2 評價指標與計算步驟

2.1 評價指標

rms 反映了擬合模型輸出數據偏離原始采樣數據的程度，可作為擬合衡量指標。無噪聲干擾下，其值越小，擬合效果越好，當rms = 0 時，擬合曲線和原始曲線完全重合；有噪聲時，該值則與噪聲的均方差接近。

2.2 TLS-ESPRIT 計算步驟

TLS-ESPRIT 算法的完整實現步驟如下：

（1）由測量、記錄裝置或時域仿真獲得采樣數據序列X = [x(0),x(1),x(2),…x(n-1)]。

（2）由式（2）構造r×m 階Hankel 矩陣H。

（3）按照式（3）對H 進行SVD 分解，并將右奇異向量V 分解成信號子空間Vs、噪聲子空間Vn。

（4）由式（4）分解Vs，得到矩陣V1、V2。

（5）由式（6），式（7）求得Ptls的特征值λi(i= 1,2,…p)，再按照式（8）求出各分量的衰減因子ai、頻率fi。

（6）根據式（9），式（10），求出各分量幅值ci、初相φi。

（7）由式（11）評價擬合結果、做輔助分析。

3 電氣化鐵路諧波

3.1 諧波產生原因

國內電氣化鐵路采用工頻交流50 Hz三相供電單相用電，其牽引網供電電流為單相交流的電力牽引電流制，這種電流制在電力機車上將交流電降壓后整流以供應直流牽引電動機[2～4]。因此，當三相電力系統向電氣化鐵路牽引負荷供電時，電力機車可看作是波動性很大的大功率單相整流負荷，這種高壓單相非線性負載，將會產生大量諧波，并作為諧波源，注入電網中，造成系統波形畸變，嚴重影響供電質量、輸電效率和用電設備的使用壽命。

3.2 電氣化鐵路諧波特點

（1）電力機車產生的諧波源具有基波能量很大，其他各次諧波能量相對較低（主要是3 次、5次、7 次、11 次諧波）等特點。

（2）交流側電流波形為鏡對稱，不含偶次諧波。

（3）諧波含量會隨機車型號、數量、分布和運行工況而有較大的變化。電氣化鐵道諧波比其它非線性負荷引起的諧波更為復雜。

（4）由于電力機車的功率大，速度、負載狀況變化頻繁，因此牽引電網諧波含量高，同時還伴隨有負序電流。

4 仿真測試

本文根據 2.2 節的計算步驟編寫了TLS-ESPRT 算法計算程序。由電氣化鐵路諧波特點，構造了諧波信號，并進行以下仿真測試，以研究算法辨識電氣化鐵路諧波的性能。

4.1 模式辨識

若某信號解析表達式為

y = 100exp(-0.2t)cos(2π×50t + π / 6) +2exp(-1.5t)cos(2π×250t + π / 5) + 5exp(-t)cos(2π×550t + π / 7) + 3exp(-4t)cos(2π×370t + π / 8) （12）

該信號含基波、2 個諧波、1 個間諧波模式，取采樣頻率為 1 500 Hz，時間窗為 0.1 s，TLS-ESPRIT 對該信號的辨識結果和擬合曲線分別如表1 和圖1 所示。

表1 TLS-ESPRIT 算法對測試信號各模式的辨識結果表

表1 說明，在選取合適的采樣頻率和時間窗參數下，TLS-ESPRIT 算法能準確辨識出基波、各次諧波、間諧波模式，分量5 由于其幅值接近于0，可忽略該分量。均方根接近于0，擬合曲線和實際曲線幾乎完全重合，說明TLS-ESPRIT 算法辨識諧波模式非常準確。

4.2 頻率分辨率

設信號解析表達式如式（13）所示：

式（13）中，含基波和2 個頻率相差0.02 Hz的諧波模式，TLS-ESPRIT 對該信號的辨識結果和擬合曲線如表2、圖2 所示。

圖1 實際曲線及TLS-ESPRIT 辨識曲線圖

圖2 實際曲線及TLS-ESPRIT 辨識曲線圖

表2 TLS-ESPRIT 算法對頻率相近諧波信號辨識結果表

可見，利用TLS-ESPRIT 算法可分辨出頻率差為0.02 Hz 的諧波分量（分量4 可忽略，解釋同上），具有較高的頻率分辨率，這對諧波測量意義重大。

5 結論

本文將TLS-ESPRIT 算法應用到電氣化鐵路諧波檢測中，詳細闡述了其算法原理、評價指標、計算步驟。用編寫的TLS-ESPRIT 算法程序對信號測試表明：在合適的采樣頻率和時間窗長度下，TLS-ESPRIT 算法能準確識別出各次諧波、間諧波模式，具有較高的頻率分辨率。進而為進一步治理電氣化鐵路諧波奠定了基礎。當然，TLS-ESPRIT算法辨識參數選擇、抗干擾問題也較為重要，這是本文的后續研究工作。

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