基于CRITIC的多屬性決策組合賦權方法

張 玉，魏華波

（華北水利水電學院數學與信息科學學院，鄭州 450000）

0 引言

多屬性決策是多目標決策的一種,它是對具有多個屬性的有限方案,按照某種決策準則進行多方案選擇和排序。它的實際應用范圍很廣,包括社會、經濟、管理等諸多領域。多屬性決策問題的許多求解方法,一般都與屬性權重有密切關系,因為權重的合理性直接影響著多屬性決策排序的準確性,所以在多屬性決策中,權重問題的研究占有重要地位。

目前確定權系數的方法有多種,大體上可分為主觀賦權法和客觀賦權法兩大類[1]。主觀賦權法是基于決策者給出的主觀偏好信息或決策者直接根據經驗給出的屬性權重的。例如專家調查法、二項系數法、AHP法等。客觀賦權法是基于決策矩陣信息,通過建立一定的數學模型計算出權重系數的。例如熵技術法,主成分分析法,多目標最優化方法等。兩大類賦權方法各有不同的特點。主觀賦權法可以體現決策者的經驗判斷,屬性的相對重要程度一般不會違反人們的常識。但其隨意性較大,決策準確性和可靠性稍差。客觀賦權法存在賦權的客觀標準,可利用一定的數學模型,通過計算得出屬性的權重系數。其缺點是忽視了決策者的主觀知識與經驗等主觀偏好信息,有時會出現權重系數不合理的現象。

為了使多屬性決策的排序結果更科學,一種合理的做法就是將不同的賦權法所得的權重系數按照一定的方法進行組合。通過組合賦權,使排序結果既能體現主觀信息,又能體現客觀信息。文獻[1],[2]分別提出了一種主、客觀賦權集成方法,它們均通過建立一個數學規劃模型來求解屬性組合權重。目前優化組合賦權方法的研究還不完善,有必要進一步探討多種準則下的優化組合賦權方法,并進行比較分析。一種新的基于CRITIC準則下的多屬性決策的最優組合賦權方法。利用該方法對文獻[1]的實例進行了計算,其結果與文獻[1]的結果一致,表明本文提出的最優組合賦權方法的科學合理性。

1 基于CRITIC的多屬性決策的組合賦權方法的基本原理

設有某個多屬性決策問題,其方案集表示為S={S1, S2,...,Sm}其屬性(或指標)集表示為P={P1,P2,...,Pn},第i個方案Si對第j個屬性Pj的屬性值記為aij,i=1,2,…, m,j=1,2,…,n,A=(aij)m×n稱為屬性矩陣或決策矩陣。通常,屬性可分為效益型、成本型。所謂效益型屬性是指屬性值愈大愈好的指標,成本型屬性是指屬性值愈小愈好的指標。由于不同的屬性往往具有不同的量綱和量綱單位,為了消除它們帶來的不可公度性,在決策之前首先應將屬性指標作無量綱化處理。然而,決策屬性類型不同,無量綱化處理方法也將不同。對于效益型屬性,一般可令：

對于成本型屬性，一般令 ：

式中：

上述的無量綱化處理的矩陣B=(bij)m×n稱為規范化的決策矩陣,bij表示第i個方案Si對第j個屬性Pj的規范化屬性值,矩陣B的第i行表示第i個方案Si對n個屬性值的規范值。顯然bij愈大愈好。

稱Wc=(wc1,wc2,...,wcn)T為組合權系數向量。式中θ1,θ2,...,θl為組合權系數向量的線性表示系數。θk≥0 k=1,2,…,l,且滿足約束條件:

各個指標的客觀權重就是以對比強度和沖突性來綜合衡量的。設Cj表示第j個評價指標所包含的信息量，則Cj可以表示為:

Cj越大，第j個評價指標所包含的信息量越大，該指標的相對重要性也就越大，所以第j個指標的客觀權重：

2 組合賦權方法檢驗的探討

組合賦權方法理論上可以綜合集成主、客觀信息,但是還有必要探討運用多種組合賦權方法的前提條件及效果,即探討組合賦權方法的檢驗問題[4]。組合賦權方法的事前檢驗主要用來印證主、客觀賦權法的結果是否一致。這可以采用Kendall一致性系數檢驗法進行檢驗。如果l種具體的主、客賦權方法通過一致性檢驗,結果相差不大,此時考慮到計算上的簡便性和信息的完備性,可以直接計算一種方法的算術平均[4],將其作為組合權系數:

如果l種主、客賦權方法沒有通過一致性檢驗,就可以通過本文提出的基于CRITIC的多屬性決策的最優組合賦權向量的分析結果。為了反映本文提出的組合賦權方法與其它方法的合理性,同樣有必要研究它的事后檢驗問題,可采用Spearman等級相關系數檢驗法[4]對組合賦權法進行事后檢驗。

綜上所述,基于CRITIC法的多屬性決策的最優組合賦權的計算步驟可歸納如下：

步驟1 由屬性矩陣A=(aij)m×n,根據式(1)式(2)計算規范化的屬性矩陣B=(bij)m×n

步驟2 采用Kendall一致性系數檢驗法對各種主、客賦權方法進行一致性檢驗,若通過檢驗,按式(7)計算組合賦權向量Wc,轉步驟4。否則,轉下一步;

步驟3 根據CRITIC法式（5）和式（6）計算出的θ={θ1,θ2,...,θl}再根據式(3)求出歸一化的最優組合賦權向量Wc。

步驟4 利用所求的組合權重權重Wc進行多屬性綜合評價

步驟5 與其它方法一起進行組合賦權方法的事后檢驗,并作對比分析。

3 應用舉例分析

下面以文獻[1]中的例子的數據,運用上面提出的基于CRITIC法的多屬性決策的最優組合賦權向量的分析結果。這是一個在市場上選擇機器人的多屬性決策問題?？紤]到一個用戶要選擇機器人，其方案集為S={S1,S2,S3,S4}分別表示4個可供選擇方案；其屬性集P={P1,P2,P3,P4}即由4個屬性，它們分別是:P1表示價格($10000)；P2表示速度(m/s)；P3表示可重復性(mm)；P4表示負載能力(kg)其中P1,P3為成本型屬性，P2,P4為效益型屬性。該問題的原始決策矩A=(aij)4×4

根據式（1）和（2）計算規范化屬性矩陣B=(bij)4×4

假設第一類賦權方法為主觀賦權法,機器人用戶聘請3位專家給出關于屬性的權重(文獻[1])向量分別為：

假設第二類賦權方法為客觀賦權法,運用文獻[1]給出的客觀賦權法,可以求出4個屬性的權重向量為：

上面的4種賦權方法權重向量表明各屬性的排序有一定的差異,Kendall一致性系數檢驗的結果是4種賦權方法不具有一致性。

利用求得各個權重向量的相關系數矩陣為R：

各個權重向量的標準差為(σ)：

利用式（5）求得信息量(C)為：

再根據式（6）求得權重系數θ={θ1,θ2,...,θl}：

根據（3）式求得組合權重:

則可以計算每個方案的綜合評價值為：

排序的結果為S4＞S1＞S2＞S3,“＞”表示優于。

文獻[1]的最優組合賦權向量為Wc=[0.2733,0.2688, 0.2509,0.2100],可見本文提出的組合賦權方法和文獻[1]方法對4種屬性有相同的排序。因此對此市場上選擇機器人的多屬性決策問題,本文提出的方法所得的排序結果和文獻[1]的結果是一致的。由文獻[4]給出的Spearman等級相關系數計算式知,它們與原來的4種賦權方法之間具有相同的平均相關程度。實例說明了本文提出的以CRITIC法為準則的最優組合賦權方法的有效性。

4 結束語

在多屬性決策中,權重問題的研究占有重要地位。因為權重的合理性直接影響著多屬性決策排序的準確性。本文給出了基于CRITIC多屬性決策的最優組合賦權方法,它綜合了各種賦權方法的特點,可通過利用權重之間的對比強度和沖突性求出組合賦權系數。本文方法概念清楚、涵義明確,同時計算也不復雜。應用舉例表明,本文方法排序結果準確?？刹僮餍暂^強,具有重要的推廣應用價值。

[1]樊治平,張全,馬建.多屬性決策中權重確定的一種集成方法[J].管理科學報,1998,1(3).

[2]樊治平,趙萱.多屬性決策中權重確定的主客觀賦權法[J].決策與決策支持系統,1997,7(4).

[3]D.Diakoulaki,G.Mavrotas，L.Papayannakis.Determaining Objective Weights in Multiple Crireria Paoblems:The CRITIC Method[J].Computer Ops.Res.22,1995.

[4]曾憲報.組合賦權法新探[J].預測,1997,16(5).