“全等三角形”題型解析

?樺川縣第二中學 劉芳琪

隨著課程改革的不斷深入，一大批格調清新、設計獨特的開放型、探究型、操作型等創(chuàng)新題紛紛在各地中考試卷上閃亮登場.近年來，有關全等三角形的創(chuàng)新題更令人耳目一新、目不暇接；試題以它的新穎性、思辨性摒棄模式、推陳出新，創(chuàng)造性地描繪了一個絢麗多姿的圖形世界.

一、條件開放型

例1：如圖，△ABC與△ABD中，AD與BC相交于O點，∠1=∠2，請你添加一個條件（不再添加其他線段，不再標注或使用其他字母），使AC=BD，并給出證明.

你添加的條件是：__________.

證明：

分析：此題答案不唯一，若按照以下方式之一來添加條件：①BC=AD，②∠C=∠D，③∠CAD=∠DBC，④∠CAB=∠DBA，都可得△CAB≌△DBA，從而有AC=BD.

點評：本題考查了全等三角形的判定和性質，要由已知條件結合圖形通過逆向思維找出合適的條件，有一定的開放性和思考性.

二、結論開放型

例2：如右上圖，已知AB=AD，BC=CD，AC、BD相交于E.由這些條件可以得到若干結論，請你寫出其中三個正確的結論.（不要添加字母和輔助線，不要求證明.）

結論1：

結論2：

結論3：

分析：由已知條件不難得到△ABC≌△ADC、△ABE≌△ADE、△BEC≌△DEC，同時有∠DAE=∠BAE、∠DCA=∠BCA、∠ADC=∠ABC，AC平分∠DAB與∠DCB且垂直平分DB等.以上是解決本題的關鍵所在，也都可以作為最后結論.

點評：本題是源于課本而高于課本的一道基本題，可解題思路具有多項發(fā)散性，體現(xiàn)了新課程下對雙基的考查毫不動搖，且更具有靈活性.

三、綜合開放型

例3：如圖，點E在AB上，AC=AD，請你添加一個條件，使圖中存在全等三角形，并給予證明.所添條件____.你得到的一對全等三角形是△________≌△________.

分析與證明：在已知條件中已有一組邊相等，另外圖形中還有一組公共邊.因此只要添加以下條件之一：①CE= DE，②CB=DB，③∠CAE=∠DAE，都可以直接根據(jù)SSS或SAS證得△CAB≌△DAB或△CAE≌△DAE；并且在此基礎上又可以進一步得到△CEB≌△DEB.

點評：本題屬于條件和結論同時開放的一道好題目，題目本身并不復雜，但開放程度較高，能激起學生的發(fā)散思維，值得重視.

四、構造命題型

例4：如圖，在△ABD和△ACE中，有下列四個等式：①AB=AC，②AD=AE，③∠1=∠2，④BD=CE.請你以其中3個等式作為題設，余下的作為結論，寫出一個真命題（要求寫出已知、求證及證明過程）.

分析：根據(jù)三角形全等的條件和全等三角形的特征，本題有以下兩種組合方式：組合一：條件①②③結論：④；組合二：條件①②④結論：③.值得一提的是，若以②③④或①③④為條件，此時屬于SSA的對應關系，則不能證得△ABC≌△DEF，也就不能組成真命題.

評析：幾何演繹推理論證該如何考？一直是大家所關注的.本題頗有新意，提供了一種較新的考查方式，讓學生自主構造問題，自行設計命題并加以論證，給學生創(chuàng)造了一個自主探究的機會，具有一定的挑戰(zhàn)性.這種考查的形式值得重視.

五、猜想證明型

例5：如下圖，E、F分別是平行四邊形ABCD對角線BD所在直線上兩點，DE=BF，請你以F為一個端點，和圖中已標明字母的某一點連成一條新的線段，猜想并證明它和圖中已有的某一條線段相等（只需研究一組線段相等即可）.

（1）連結_________；

（2）猜想：_________；

（3）證明：

（說明：寫出證明過程的重要依據(jù)。）

分析：連接FC，猜想：AC=CF.由平行四邊形對邊平行且相等，有AB//CD，AD//BC，AB=CD，AD=BC；再加上DE= BF，因此，只要連接FC，根據(jù)全等三角形的判定定理SAS，容易證得△ABE≌△CDF或△ADE≌△CBF，從而得到AE=CF.

點評：此題為探索、猜想、并證明的試題.猜想是一種高層次的思維活動，在先觀察的基礎上，提出一個可能性的猜想，再嘗試能夠證明它，符合學生的認知規(guī)律.本題難度不大，但結構較新，改變了傳統(tǒng)的固有模式.

六、判斷說理型

例6：兩個全等的含30°，60°角的三角板ADE和三角板ABC如圖所示放置，E，A，C三點在一條直線上，連結BD，取BD的中點M，連結ME，MC.試判斷△EMC的形狀，并說明理由.

分析與解答：△EMC是等腰直角三角形.由已知條件可以得到：

DE=AC，∠DAE+∠BAC=90°，∠DAB=90°.

連接AM，由DM=MB可知MA=DM，∠MDA=∠MAB=45°.

從而∠MDE=∠MAC=105°，即△EDM≌△CAM.

因此EM=MC，∠DME=∠AMC，

又易得∠EMC=90°，

所以△EMC是等腰直角三角形.

點評：本題以三角板為載體，沒有采取原有的那種過于死板的形式，在一定程度上能激發(fā)學生的解題欲望.先判斷，再說理，試題平中見奇，奇而不怪，獨具匠心，堪稱好題.

七、拼圖證明型

例7：一張矩形紙片沿對角線剪開，得到兩張直角三角形紙片，再將這兩張三角形紙片擺成如下右圖形式，使點B、F、C、D在同一條直線上，且DE交AB于P.且（1）求證AB⊥ED；（2）若PB=BC.請找出圖中與此條件有關的一對全等三角形，并給予證明.

分析：（1）在已知條件的背景下，顯然有△ABC≌△DEF，故∠A=∠D，因而不難得∠APN=∠DCN=90°，即AB⊥ED.

（2）由AB⊥ED可得∠BPD=∠EFD=90°，

又PB=BC及∠PBD=∠CBA.

根據(jù)ASA有△PBD≌△CBA，在此基礎上，就不難得到△PNA≌△CND、△PEM≌△FMB.

點評：本題將幾何證明融入到剪紙活動中，讓學生在剪、拼等操作中去發(fā)現(xiàn)幾何結論，較好地體現(xiàn)了新課程下“做數(shù)學”的理念.（2）題結論開放，而且結論豐富，學生可以從不同的角度去進行探索，在參與圖形的變化過程及探究活動中創(chuàng)造性地激活了思維，令人回味.

八、閱讀歸納型

例8：我們知道，兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個三角形不一定全等.那么在什么情況下，它們會全等嗎？

（1）閱讀與證明：

對于這兩個三角形均為直角三角形，顯然它們?nèi)?

對于這兩個三角形均為鈍角三角形，可證它們?nèi)龋ㄗC明略）

對于這兩個三角形均為銳角三角形，它們也全等，可證明如下：

已知：△ABC、△A1B1C1均為銳角三角形，AB=A1B1，BC=B1C1，∠C=∠C1.

求證：△ABC≌△A1B1C1.（請你將下列證明過程補充完整.）

證明：分別過點B，B1作B D⊥CA于D，

B1D1⊥C1A1于D1，

則∠BDC=∠B1D1C1=90°.

∵BC=B1C1，∠C=∠C1，

∴△BCD≌△B1C1D1.

∴BD=B1D1.

（2）歸納與敘述：

由（1）可得到一個正確結論，請你寫出這個結論.分析：（1）由條件AB=A1B1，∠ADB=∠A1D1B1=90°.

易得△ADB≌△A1D1B1，因此∠A=∠A1，

又由∠C=∠C1，BC=B1C1，

從而得到△ABC≌△A1B1C1.

（2）歸納為：兩邊及其中一邊的對角分別對應相等的兩個銳角三角形（或直角三角形或鈍角三角形）是全等的.

點評：邊邊角問題是全等三角形判定中的難點，也是學生易出錯的內(nèi)容，要涉及三角形形狀的分類.本題構思新穎，創(chuàng)造性地設計了閱讀情境，引領學生跨越障礙，引導學生合情推理并總結概括，考查了學生閱讀理解、類比、概括等綜合能力，同時也培養(yǎng)了學生靈活、精細、嚴謹?shù)臄?shù)學思維品質.

九、作圖證明型

例9：已知Rt△ABC中，∠C=90°.

（1）根據(jù)要求作圖（尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫畫法）①作∠BAC的平分線AD交BC于D；②作線段AD的垂直平分線交AB于E，交AC于F，垂足為H；③連接ED.

（2）在（1）的基礎上寫出一對全等三角形：△_______≌△_______并加以證明.

分析：（1）按照要求用尺規(guī)作∠BAC的平分線AD、作線段AD的垂直平分線，并連接相關線段.

（2）由AD平分∠BAC，

可以得到∠BAD=∠DAC；由EF垂直平分線段AD，

可以得到∠EHA=∠FHA=∠EHD=90°，EA=ED，

從而有∠EAD=∠EDA=∠FAH，再加上公共邊，

從而有△AEH≌△AFH≌△DEH.以上三組中任選一組即可.

點評：作角平分線和線段的垂直平分線是新課標中明確提出的基本作圖之一，動手作圖，使學生在操作活動的過程中感受知識的自然呈現(xiàn)，體驗數(shù)學的神秘與樂趣，并實現(xiàn)數(shù)學的再創(chuàng)造，從而進一步感受數(shù)學的無限魅力，促進數(shù)學學習.