理想氣體p－V圖上直線過程的溫度與熱量變化的分析＊

任海林

（南京理工大學(xué)機械工程學(xué)院 江蘇 南京 210094）

譚偉石 徐 浦

（南京理工大學(xué)應(yīng)用物理系 江蘇 南京 210094）

1 引言

在理想氣體p－V圖上的直線過程有四種，分別是：

（1）等壓過程p＝C；

（2）等容過程V＝C；

（3）直線過程p＝KV＋C（K＞0）；

（4）直線過程p＝－KV＋C（K＞0，C＞0）．

以上4式中C為常量，K為比例系數(shù)．其中（3）和（4）直線過程在大學(xué)物理教材［1，2］里都有詳細(xì)討論，本文只做概略性的論述，重點討論后面兩種過程．

從實際的物理意義來考慮，在研究理想氣體的性質(zhì)時，應(yīng)該將其狀態(tài)變化范圍限定于p＞0，V＞0，T≥0，其中T＝0為絕對零度，存在理論研究的意義．對于理想氣體而言，p＝0是不可達(dá)到的，而V＝0是沒有意義的．所以，本文所指理想氣體的狀態(tài)，在p－V圖中僅限于第一象限區(qū)域，并去除p軸和V軸上的狀態(tài)點，即p＝0和V＝0的狀態(tài)點．

2 四種直線過程的討論

2． 1 等壓過程p＝C

假設(shè)過程是由初態(tài)A到終態(tài)B，即等壓膨脹過程，如圖1（a）所示．TA和TB分別為ν摩爾理想氣體在初態(tài)A和終態(tài)B的熱力學(xué)溫度．

由理想氣體狀態(tài)方程pV＝νRT可得，當(dāng)p＝C時，T與V的函數(shù)關(guān)系為，如圖1（b）所示．

圖1 理想氣體的等壓膨脹過程

根據(jù)熱力學(xué)第一定律，并考慮到理想氣體的內(nèi)能是溫度的單值函數(shù)，在從初態(tài)A到終態(tài)B的等壓膨脹過程中氣體的溫度升高，內(nèi)能增加，同時，氣體一直對外做功．所以，由A到B的過程中，理想氣體始終是吸熱的，吸熱量為

式中CV，m為理想氣體的定容摩爾熱容．

等壓膨脹過程中，理想氣體始終吸熱，所吸收的熱量一部分用來提高自身的內(nèi)能，另一部分用來對外做功．

2． 2 等容過程V＝C

圖2（a）所示為理想氣體的等容升壓過程示意圖．由理想氣體狀態(tài)方程pV＝νRT，可得當(dāng)V＝C時，T與p的函數(shù)關(guān)系為，如圖2（b）所示．

圖2 理想氣體的等容升壓過程

由初態(tài)A到終態(tài)B的等容升壓過程中，理想氣體的溫度上升，內(nèi)能增加，對外做功為零，氣體始終吸熱，所吸收的熱量全部用來增加自身的內(nèi)能．

2． 3 直線過程p＝KV＋C（K＞0）

2．3．1 C≠0的情況

如圖3（a）所示的實線過程，理想氣體沿該直線由初態(tài)A變化到終態(tài)B，顯然TB＞TA．

圖3 理想氣體直線過程p＝KV＋C

對于直線上的任何一點，其狀態(tài)參量總滿足理想氣體狀態(tài)方程pV＝νRT，將p＝KV＋C（K＞0）代入可得

這樣得到直線上任意一點的體積V與溫度T的關(guān)系

圖3（b）所示為此直線過程的T－V曲線示意圖．由圖可知，對于V＞0時，T隨著V的增加而升高，所以從初態(tài)A到終態(tài)B的過程中溫度單調(diào)升高，內(nèi)能不斷增加．理想氣體內(nèi)能的改變量為

由初態(tài)A到終態(tài)B的過程中，氣體始終對外做功

所以理想氣體由初態(tài)A到終態(tài)B的直線過程中吸熱量為

和等壓膨脹過程相似，在升溫的直線過程p＝KV＋C（K＞0）中，理想氣體始終吸熱，所吸收的熱量一部分用來提高自身的內(nèi)能，另一部分用來對外做功．

2．3．2 C＝0的情況

C＝0是直線過程p＝KV＋C（K＞0）的一個特殊情況，此時，理想氣體沿過原點的直線由初態(tài)A到終態(tài)B，如圖3（a）中的虛線過程所示．在這種情況下，能量轉(zhuǎn)換關(guān)系沒有特殊之處．全過程中理想氣體均吸收熱量，一部分用來提高自身的內(nèi)能，另一部分用來對外做功．

2． 4 直線過程p＝－KV＋C（K＞0，C＞0）

圖4（a）所示的p－V圖上直線方程為

圖4 理想氣體直線過程p＝－KV＋C（K＞0，C＞0）

結(jié)合理想氣體的狀態(tài)方程和直線過程方程，考慮到V＞0，可以得到T與V的函數(shù)關(guān)系為該情況的T－V曲線如圖4（b）所示．從圖4（b）可以看出，該過程中初態(tài)A和終態(tài)B的溫度TA和TB的相對大小與直線斜率的絕對值K，常量C，狀態(tài)參量VA和VB等多種因素有關(guān)．

由初態(tài)A到終態(tài)B的過程中，理想氣體的體積膨脹，一直對外做功．氣體對外做功為

理想氣體的內(nèi)能改變量為

理想氣體的凈吸熱量為

2． 4．2 直線過程能量轉(zhuǎn)化的具體分析

現(xiàn)在要討論的問題是，在這個直線過程中理想氣體系統(tǒng)是凈吸熱、凈放熱還是吸放熱的總量正好抵消呢？需要具體分析一下這個過程的能量轉(zhuǎn)化情況．

如圖4（b）所示，設(shè)AB直線過程中溫度最高點

為F．顯然溫度最高點F處氣體體積VF為，壓強pF為，溫度TF為．F點的位置和AB直線斜率的絕對值K和常量C的大小有關(guān)．按K值大小分為兩種情況討論．

是溫度為TA的等溫線在A點處切線斜率的絕對值．

考慮到G點也應(yīng)該在直線AB上，可以求得G點的體積參量為

顯然，只有當(dāng)VA＝VF＜VG＜VB時，G點位于線段AB上，在該降溫的直線過程中存在吸熱和放熱的轉(zhuǎn)換點，在從初態(tài)A到狀態(tài)G的過程中吸熱，在從狀態(tài)G到終態(tài)B的過程中放熱．當(dāng)VG＜VA＝VF時，該降溫過程全程放熱，當(dāng)VG＞VB時，該降溫過程全程吸熱．時，氣體由初態(tài)A到終態(tài)B的直線過程中可能經(jīng)歷兩種情況：始終升溫（VB＜VF）或者先升溫后降溫（VB＞VF）．

因為在整個過程中可能存在升溫和降溫兩個過程，能量轉(zhuǎn)換關(guān)系比較復(fù)雜．如果從熱量的角度來講，可能存在吸熱和放熱兩種不同的情況．那么，在AB過程中是否必然存在一個吸熱和放熱的轉(zhuǎn)換點呢？如果存在，這個轉(zhuǎn)換點是否就是溫度最高點F？毫無疑問，該轉(zhuǎn)換點存在時，其體積參量仍然可用式（7）表示，而且必有．至于該轉(zhuǎn)換點是否存在，還取決于過程終態(tài)B的體積參量的大小，若則該轉(zhuǎn)換點存在．

若轉(zhuǎn)換點存在，必須γ＝1時才有

也就是說轉(zhuǎn)換點和溫度最高點重合．很顯然，這是不可能的，因為．所以轉(zhuǎn)換點（若存在）和溫度最高點是不重合的，準(zhǔn)確地說必有VG＞VF．

2．4．3 兩種特殊情況

最后討論直線過程p＝－KV＋C（K＞0，C＞0）中的兩種特殊情況．

（1）理想氣體系統(tǒng)凈吸熱為零

在這種情況下，終態(tài)B的體積參量是多少呢？根據(jù)式（5）

令Q＝0，得到

對于理想氣體系統(tǒng)而言，V必須大于零，所以只有當(dāng)初態(tài)A的體積滿足條件線過程中才能存在一個狀態(tài)B，使得由狀態(tài)A到狀態(tài)B的凈吸熱量為零．在這種情況下，吸熱與放熱的時，在直轉(zhuǎn)換點仍然用表示．容易驗證，此時G點正好是AB線段的中點．

（2）TA＝TB初態(tài)A和終態(tài)B位于同一條等溫線上

對于等溫過程，有pAVA＝pBVB，代入直線方程p＝－KV＋C（K＞0，C＞0）

在AB直線過程中溫度最高點F的體積為

式（8）說明F即為AB線段的中點．此時，吸熱和放熱的轉(zhuǎn)換點G的體積為

［1］第193頁的例4．8屬于式（10a）的情形，該例題計算得到的吸熱放熱轉(zhuǎn)換點的體積與利用本文式（9a）的計算結(jié)果一致．

［2］第263頁的習(xí)題7－19屬于式（10b）的情形，可以利用本文式（9a）很方便地計算得到吸熱放熱轉(zhuǎn)換點的體積．

3 結(jié)語

本文詳細(xì)討論了理想氣體p－V圖上四種直線過程的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系和溫度變化情況，其中斜率為負(fù)的直線過程中的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系比較復(fù)雜，系統(tǒng)吸收熱量還是放出熱量既與直線過程方程的斜率和截距有關(guān)，還與過程初態(tài)和終態(tài)的狀態(tài)參量有關(guān)，實際應(yīng)用時需要具體分析．在討論直線過程的能量轉(zhuǎn)換關(guān)系和包含直線過程的循環(huán)過程的效率等問題時，本文的結(jié)果具有參考價值．

參考文獻(xiàn)

1 秦允豪．熱學(xué)．北京：高等教育出版社，1999

2 鄧開明，等．大學(xué)物理（上）．北京：機械工業(yè)出版社，2005