巧解一類非勻變速運動時間問題

鄭 金

（凌源市職教中心 遼寧 朝陽 122500）

文獻［1］對例題2的解答是利用了像電荷等效法，使問題得以簡化，但對微分方程的積分過程較難，其結果出現了偏差，因此有必要尋求簡單解法．

題目：如圖1所示，一質量為m的點電荷q到接地的無限大導體平板的距離為d（導體平板固定），從靜止狀態松開，問經過多長時間它將碰上導體平板？

圖1

解析：原解是建立如圖2所示坐標系Ox，并以一個像電荷q′＝－q等效代替接地的無窮大導體平板，利用初始條件x0＝d，v0＝0，應用有關規律得出微分方程

圖2

考慮到坐標x隨時間t的增加而減小，將微分方程化簡為

對上式分離變量并積分得

上述解答過程是正確的，只是結果有誤，應改為

最簡單的驗證方法是量綱法，即把各物理量的國際單位代入關系式，看等式兩邊的單位是否一致．

對于原題，除了應用高等數學中的微積分解答外，還可利用開普勒第三定律和折合質量來解答．

對于兩個相互作用的物體，若動量守恒，則相當于在保持原相互作用力的條件下，其中一個等效質量為的物體跟一個固定不動的物體的相互作用，把等效質量m′稱為折合質量．當利用折合質量應用有關公式解題時，只有原作用力和時間保持不變，而式中的位移、速度和加速度都為相對位移、相對速度和相對加速度．

原題實際上是求解兩個點電荷在相互作用的靜電力作用下運動的時間，下面先以一個相似的力學問題為例進行分析，然后通過類比，即可推廣到電學問題．

由于萬有引力的大小隨物體間的距離而變化，因此物體在萬有引力作用下的直線運動不是勻變速運動，不能應用運動學公式求時間．那么，如何求解物體在萬有引力作用下做直線運動的時間呢？

【例1】空間兩質點的質量分別為m1和m2，彼此以萬有引力相互作用．開始時兩質點靜止，相距r0，在引力作用下彼此接近并碰撞，試求兩質點從開始運動到相碰所經歷的時間．

解析：在保持原相互作用力的情況下，若認為質點m2靜止不動，則m1的折合質量為相當于質點m1′向固定不動的質點m2運動，其直線軌跡可視為狹長的橢圓，質點m2位于橢圓的一個焦點上，半長軸，半短軸b≈0．由開普勒第三定律可知，質點m1′沿狹長橢圓軌道運動的周期跟半徑為a的勻速圓周運動的周期相同，由萬有引力提供向心力得

則周期

所以兩質點從開始運動到相碰所經歷的時間為

對于前面提到的原題，以像電荷等效處理后，與上述力學題相似，而且是一種完全對稱的特殊情形，很容易解答，但為了顯示規律的普遍性，可把原題推廣到一般情形，即相當于下面的例題．

【例2】有兩個質量分別為m1和m2，帶電荷量分別為Q1和Q2的點電荷，在相距為l的兩點由靜止釋放，只在靜電引力作用下從運動到相碰所經歷的時間為多少？下面先利用折合質量和開普勒第三定律來解答這個一般問題，然后代入特殊條件，即可得到原題正確的結果．

解析：兩個點電荷從靜止開始做變加速直線運動，因相互作用過程中動量守恒，將在系統的質心O處相遇．若假設m2固定不動，則m1的折合質量為，即相當于質量為的點電荷Q1在靜電引力作用下，向固定不動的點電荷Q2運動．由于庫侖力跟萬有引力相似，故帶電粒子的橢圓運動也遵循開普勒第三定律．因此，可把點電荷Q1向Q2的直線運動，視為Q1繞Q2的狹長橢圓運動，且Q2位于橢圓的一個焦點上，接近于端點，則該橢圓的半長軸半短軸b≈0，運動周期等于Q1繞Q2做半徑為的勻速圓周運動的周期．

故所求時間為

這種等效法和類比法，通過利用熟知的物理規律，避免了高等數學的積分過程，顯得非常簡捷，而兩種解法殊途同歸，可互為驗證．

綜上可見，對于兩個質點在有心力相互作用下的非勻變速直線運動的時間問題，既可利用微積分求解，也可利用折合質量和開普勒第三定律求解，特別是這種初等方法，可化難為簡，巧妙快捷．

1 趙長青．大學物理教學中如何培養等效思維．物理通報，2010（3）：17