基于峰度的變步長(zhǎng)恒模盲均衡技術(shù)

費(fèi)奇志，肖金光，孟慶萍

（1.海軍裝備部航空技術(shù)應(yīng)用研究所，北京 100071；2.海軍航空工程學(xué)院研究生管理大隊(duì)，山東 煙臺(tái) 264001）

基于訓(xùn)練序列的均衡方式降低了信道利用率，且不利于自適應(yīng)組網(wǎng)和偵聽。盲均衡不借助訓(xùn)練序列，只根據(jù)接收信號(hào)對(duì)信道進(jìn)行自適應(yīng)均衡，使濾波器輸出在某種意義上最逼近期望信號(hào)。

恒模算法(constant modulus algorithm，CMA)盲均衡的代價(jià)函數(shù)僅與接收信號(hào)的幅值有關(guān)而與相位無(wú)關(guān)，具有計(jì)算復(fù)雜度低、易于實(shí)現(xiàn)等優(yōu)點(diǎn)，引起了廣泛關(guān)注，但存在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。如何解決這一矛盾成為提高該類均衡器性能的關(guān)鍵問(wèn)題。

1 CMA算法及其收斂特性分析

CMA算法利用了發(fā)射信號(hào)的恒模特性，其代價(jià)函數(shù)[1]為：

選取該代價(jià)函數(shù)的合理性在于，恒模信號(hào)的功率恒定，因而收斂后均衡器的輸出功率也應(yīng)是恒定的。

CMA算法的迭代步驟可以歸納為[2]：

式(2)～(5)中：R2為源信號(hào) x (n)的統(tǒng)計(jì)量；Y (n)為均衡器的輸入；w? (n)為均衡器的權(quán)系數(shù)；x～ (n)均衡器的輸出，e (n)為誤差信號(hào)；μ為步長(zhǎng)調(diào)整因子；*和H分別表示復(fù)共軛和共軛轉(zhuǎn)置。

CMA算法的實(shí)質(zhì)是計(jì)算濾波器的輸出誤差，最小化相對(duì)統(tǒng)計(jì)量常數(shù)的偏離程度，當(dāng)均衡器收斂時(shí)，誤差信號(hào)最小。與LMS算法相比，搜索算法相同，誤差信號(hào)不同，前者用均衡輸出和源信號(hào)的非線性函數(shù)，而后者依賴于訓(xùn)練序列產(chǎn)生，這正是盲均衡和非盲均衡的區(qū)別。

由式(1)、(2)可知代價(jià)函數(shù)J (Wn)是權(quán)系數(shù)向量Wn的非凸函數(shù)，均衡器收斂點(diǎn)不唯一，具有局部最小點(diǎn)，初始化對(duì)CMA算法收斂性能的影響較大[3]。CMA算法沿著負(fù)梯度的方向搜索，如果初始值接近局部最小點(diǎn)，那么有可能誤收斂，且如果太過(guò)于接近“鞍”部，因?yàn)樵撎幐浇奶荻冉^對(duì)值較小，收斂速度會(huì)很慢。

2 信號(hào)的峰度統(tǒng)計(jì)特性

2.1 信號(hào)的峰度定義

峰度定義為歸一化的四階累積量，在盲信號(hào)處理領(lǐng)域中峰度的應(yīng)用較為廣泛[4]。自相關(guān)函數(shù)和功率譜可以完全確定零均值平穩(wěn)高斯過(guò)程的統(tǒng)計(jì)特性，對(duì)非高斯過(guò)程無(wú)能為力，而高階統(tǒng)計(jì)量是分析非高斯信號(hào)的主要工具。假設(shè)信號(hào)是獨(dú)立同分布的，實(shí)隨機(jī)變量x的峰度定義為歸一化四階中心矩[4]：

式中，mx和2xσ分別定義為隨機(jī)變量x的均值和方差。

這兩種定義沒(méi)有本質(zhì)差別，但使用第二種定義時(shí)，高斯隨機(jī)變量的峰度為零，從而超高斯信號(hào)的峰度為正值，亞高斯信號(hào)的峰度為負(fù)，更直觀。

復(fù)平面上MPSK信號(hào)星座圖是循環(huán)對(duì)稱的，樣本數(shù)量較大時(shí)均值為零，且對(duì)復(fù)隨機(jī)變量信號(hào)x 有此時(shí)，峰度的定義為：

2.2 選擇峰度誤差作為控制均衡器系數(shù)調(diào)整因子的理論依據(jù)

盲均衡的目的就是使：

式中：T為整數(shù)時(shí)延；φ為常數(shù)相移。因而有：

對(duì)式(9)取傅里葉變換：w (ω) H (ω)=ej(φ?Tω)即：

恒時(shí)延T 不影響輸入信號(hào)序列的恢復(fù)，而常相位φ可以利用判決裝置去除。

令 S (ω)=H (ω) w (ω)，s(n)代表信道與均衡器組合系統(tǒng)的沖激響應(yīng)，則有：

假設(shè)x (n)為獨(dú)立同分布的，則

交換數(shù)學(xué)期望與求和的順序可得：

同理可得，

式中，

將式(16)代入式(15)可得：

因而隨機(jī)信號(hào) x～ (n)的峰度為：

這就得到峰度定理[5]：若滿足條件則：②當(dāng)且僅當(dāng)向量 s (n)滿足置零條件時(shí)，定理說(shuō)明在達(dá)到收斂之前，均衡器輸出信號(hào)峰度的絕對(duì)值小于源信號(hào)峰度的絕對(duì)值，當(dāng)且僅當(dāng)達(dá)到收斂時(shí)相等。均衡的充要條件是x (n)和x～ (n) 具有相同的方差和峰度絕對(duì)值，當(dāng)峰度定義為四階歸一化累積量時(shí)，等價(jià)為信號(hào) x (n)和均衡所得信號(hào) x～ (n)的四階歸一化累積量相等。這是CMA算法的理論依據(jù)，也是本文選擇峰度誤差作為控制均衡器系數(shù)調(diào)整因子的理論依據(jù)。

采用電容器串聯(lián)補(bǔ)償技術(shù)能有效提高線路末端電壓，達(dá)到調(diào)壓目的，特別是對(duì)功率因數(shù)較低、負(fù)荷波動(dòng)較大的線路具有顯著的效果。根據(jù)以上分析可知，影響串補(bǔ)技術(shù)效果的因素中，線路阻抗、線路容量、功率因素均為線路本身信息，在串補(bǔ)裝置加入前為定值，因此在具體實(shí)施過(guò)程中，要達(dá)到串補(bǔ)裝置電壓調(diào)節(jié)的最優(yōu)結(jié)果，需綜合考慮安裝位置和補(bǔ)償度。

2.3 離散MPSK信號(hào)峰度的估計(jì)特性

顯然上一節(jié)中信號(hào)峰度定義是基于連續(xù)信號(hào)的，但是離散信號(hào)在處理和設(shè)計(jì)實(shí)現(xiàn)中具有明顯的優(yōu)越性。根據(jù)連續(xù)信號(hào)的峰度定義和功率譜密度可計(jì)算出不同信號(hào)的峰度[4]。對(duì)于MPSK信號(hào)，k4'為?1。那么離散信號(hào)中，究竟多少點(diǎn)信號(hào)才能夠較為準(zhǔn)確地反映信號(hào)的峰度特征呢？仿真圖見圖1(為理解方便，給出了8PSK信號(hào)峰度統(tǒng)計(jì)的誤差曲線)。

圖1 8PSK信號(hào)峰度的統(tǒng)計(jì)

仿真表明，峰度的統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)度為60點(diǎn)時(shí)統(tǒng)計(jì)誤差在5%以內(nèi)，100點(diǎn)時(shí)則可以達(dá)到1%左右。本文使用信號(hào)峰度統(tǒng)計(jì)的目的是：刻畫均衡器輸出信號(hào)的“質(zhì)量”，以控制均衡器系數(shù)更新的步長(zhǎng)，同時(shí)又要考慮跟蹤信道變化的能力。取統(tǒng)計(jì)誤差小于5%的統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)度，選擇信號(hào)峰度的統(tǒng)計(jì)長(zhǎng)度為60點(diǎn)，這樣的精度在精確統(tǒng)計(jì)信號(hào)的峰度時(shí)誤差較大，但本文使用峰度作為步長(zhǎng)因子的調(diào)節(jié)，只要能夠反映信號(hào)的變化趨勢(shì)就可以了。計(jì)算信號(hào)的峰度時(shí)，如果每次重新計(jì)算所有變量，那么計(jì)算量是比較大的，觀察可知有大量的中間結(jié)果是可以利用的。

3 仿真參數(shù)設(shè)定

國(guó)際電信聯(lián)盟(International Telecommunication Union，ITU)推薦Watterson模型為短波語(yǔ)音信道調(diào)制解調(diào)器設(shè)計(jì)和性能測(cè)試的標(biāo)準(zhǔn)信道模型[6]，美軍標(biāo)對(duì)串行體制調(diào)制解調(diào)器測(cè)試性能提出了要求[7]。

短波信道串行體制數(shù)據(jù)通信采用經(jīng)格雷編碼的8PSK，符合恒模特征[7]。由于CMA 只根據(jù)接收信號(hào)的幅度調(diào)整均衡器，輸出可能存在固定相位差，直觀表現(xiàn)就是星座旋轉(zhuǎn)，后接一鎖相器或者采用差分調(diào)制即可解決，顯然后者實(shí)現(xiàn)較為簡(jiǎn)單可靠，因而采用D8PSK 調(diào)制。選用51階平方根升余弦脈沖成型濾波器作為脈沖成型和匹配濾波器，滾降系數(shù)為0.25[8]。單載波通信系統(tǒng)的恒模盲均衡器多采用中心初始化，均衡器階數(shù)的經(jīng)驗(yàn)值為信道長(zhǎng)度的3～5 倍[9]。短波串行體制通信波特率為2 400，本文考慮的最大延時(shí)為2 ms，5 倍延時(shí)對(duì)應(yīng)的延遲為24 Baud，加上中心初始化，取均衡器的長(zhǎng)度為25。固定步長(zhǎng)恒模算法均衡器步長(zhǎng)因子μ的優(yōu)化值為是信號(hào)星座點(diǎn)的復(fù)數(shù)集，μ 取μ0/200，在收斂過(guò)程中每10 000點(diǎn)步長(zhǎng)因子除以2[10]。

4 仿真分析

4.1 固定步長(zhǎng)恒模算法

均衡器收斂速度和殘余誤差是兩個(gè)相互制約的因素，為了充分揭示步長(zhǎng)對(duì)收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差的影響，設(shè)多普勒擴(kuò)展為0，令步長(zhǎng)相差10 倍。信道多徑延遲為2 ms，且兩路信號(hào)的平均功率相等，加性高斯白噪聲 17 dB，步長(zhǎng)為mu_max/2，其中mu_max 定義為保證均衡器收斂的最大值[10]。時(shí)間為3 s，取1 000次運(yùn)行均值，仿真圖見圖2。

圖2 大固定步長(zhǎng)恒模均衡器的仿真

由圖2知，均衡器收斂約需900點(diǎn)，收斂后信號(hào)峰度約為?0.81。均衡器輸出信號(hào)峰度曲線與誤碼率的收斂趨勢(shì)一致，也說(shuō)明了均衡器輸出信號(hào)峰度能夠表征均衡器收斂的特性。減小固定步長(zhǎng)，取步長(zhǎng)為mu_max/20，其余參數(shù)不變時(shí)的仿真圖見圖3。

圖3 小固定步長(zhǎng)恒模均衡器的仿真

由此可知，使用固定步長(zhǎng)的均衡器時(shí)，步長(zhǎng)小時(shí)收斂速度慢但穩(wěn)態(tài)誤差小，步長(zhǎng)大時(shí)收斂快但穩(wěn)態(tài)誤差大。固定步長(zhǎng)均衡器的步長(zhǎng)選擇必須十分謹(jǐn)慎，對(duì)于不同程度多徑延遲和多普勒擴(kuò)展，對(duì)應(yīng)著不同的優(yōu)化步長(zhǎng)。在固定信道均衡器中，由于介質(zhì)的固有特性變化不大，可以針對(duì)不同環(huán)境選擇一個(gè)最優(yōu)值，然而，在無(wú)線信道中信號(hào)傳播路徑情況比較復(fù)雜且是時(shí)變的，因此，有必要選取適應(yīng)于不同信道參數(shù)的步長(zhǎng)自適應(yīng)控制方式。

4.2 基于均衡器輸出信號(hào)峰度誤差的變步長(zhǎng)恒模算法

均衡器收斂速度和收斂后的殘余誤差是兩個(gè)相互制約的因素，采用固定步長(zhǎng)只能在這兩種性能之間進(jìn)行權(quán)衡。而采用某種函數(shù)或者信號(hào)特征的某種統(tǒng)計(jì)量來(lái)控制均衡器的步長(zhǎng)，期望獲得較快的收斂速度和較小的收斂誤差。對(duì)于PSK信號(hào)，期望信號(hào)峰度為?1，那么用輸出信號(hào)峰度與期望信號(hào)峰度差值的某個(gè)函數(shù)，調(diào)節(jié)均衡器的步長(zhǎng)，從信號(hào)峰度的意義上來(lái)說(shuō)，均衡的過(guò)程就是把將信號(hào)的峰度從超高斯和高斯向期望的亞高斯峰度逼近的過(guò)程。

接收信號(hào)的峰度計(jì)算較為復(fù)雜且意義不大，但是經(jīng)過(guò)均衡后信號(hào)的峰度可以作為CMA算法收斂的量度[4]。就是說(shuō)均衡器輸出信號(hào)的峰度統(tǒng)計(jì)可作為均衡器工作性能的量度，那么也就可以作為均衡算法搜索步長(zhǎng)的控制因子，因?yàn)樾盘?hào)峰度與源信號(hào)理想峰度相差越大，均衡器距收斂狀態(tài)越遠(yuǎn)，需要更新步長(zhǎng)就越大，以加快收斂速度；相反，信號(hào)峰度與源信號(hào)理想峰度相差越小，均衡器距收斂狀態(tài)越進(jìn)近，需要更新步長(zhǎng)就越小，以免較大的振蕩。因此，采用信號(hào)的峰度誤差控制均衡系數(shù)更新步長(zhǎng)，控制均衡輸出信號(hào)峰度向期望值逼近的速度。

本文使均衡器的步長(zhǎng)與信號(hào)峰度誤差成正比，控制均衡輸出信號(hào)峰度向期望值逼近的速度。

采用均衡器輸出信號(hào)誤差的函數(shù)κ×mu_max×(k urtosis?g)作為步長(zhǎng)。其中，kurtosis為均衡器輸出信號(hào)的峰度，g為信號(hào)的期望峰度值，mu_max為可保證均衡器收斂的最大步長(zhǎng)[10]，κ為小于1的常數(shù)因子。此時(shí)算法可稱為變步長(zhǎng)恒模算法(Vary Step Constant Modulus Algorithm，VSCMA)。必須要說(shuō)明的是步長(zhǎng)軌跡中的前60點(diǎn)是常數(shù)，因?yàn)榇藭r(shí)尚處于啟動(dòng)峰度統(tǒng)計(jì)的窗長(zhǎng)之內(nèi)，步長(zhǎng)為一個(gè)固定值。仿真圖見圖4。

圖4 變步長(zhǎng)恒模均衡器的仿真

κ 取值為0.5時(shí)均衡器輸出信號(hào)的峰度曲線，峰度值達(dá)到?0.8需要 1 000點(diǎn)，收斂后峰度為?0.9±0.1范圍振動(dòng)。步長(zhǎng)變化軌跡與均衡器輸出信號(hào)峰度曲線存在線性函數(shù)關(guān)系，與采用的變步長(zhǎng)函數(shù)相對(duì)應(yīng)。

相比于固定步長(zhǎng)均衡器，均衡器輸出信號(hào)星座圖更加清晰，從均衡器輸出信號(hào)的峰度向理想峰度逼近的曲線可以看出，達(dá)到相同均衡器輸出信號(hào)峰度的速度明顯加快。這是因?yàn)楣潭ú介L(zhǎng)的均衡器為了保證全局收斂和收斂后的穩(wěn)定性，必須采用相對(duì)較小的步長(zhǎng)。而變步長(zhǎng)均衡器在初期采用較大的步長(zhǎng)，以加速收斂，接近收斂點(diǎn)時(shí)采用較小的步長(zhǎng)以減小穩(wěn)態(tài)誤差。變步長(zhǎng)均衡器改善了固定步長(zhǎng)的缺點(diǎn)，依據(jù)均衡器輸出信號(hào)的“質(zhì)量”來(lái)調(diào)整均衡器的步長(zhǎng)，在偏離大時(shí)采用較大的步長(zhǎng)以加快收斂，在偏離小時(shí)采用較小的步長(zhǎng)，以降低收斂后的穩(wěn)態(tài)誤差，仿真表明一定程度上緩解了固定步長(zhǎng)必須在收斂速度和剩余誤差之間權(quán)衡的矛盾。

5 結(jié)論

固定步長(zhǎng)的恒模盲均衡器存在收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差上的矛盾。依據(jù)峰度定理，盲均衡器輸出信號(hào)的峰度小于等于源信號(hào)的，且只有達(dá)到收斂時(shí)兩者相等，本文提出用均衡器輸出信號(hào)峰度誤差控制步長(zhǎng)的變步長(zhǎng)恒模算法，仿真表明，變步長(zhǎng)均衡器能夠一定程度克服收斂速度和穩(wěn)態(tài)誤差之間的矛盾。

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