橋梁結構模態參數識別方法綜述

李建國,趙 亮,顧大鵬,孫 航

（1.長春市市政工程設計研究院，吉林 長春 130033；2.吉林省交通規劃設計院，吉林 長春 130000；3.北京工業大學工程抗震與結構診治北京市重點實驗室，北京 100124；4.哈爾濱工業大學 交通科學與工程學院，黑龍江 哈爾濱 150090)

0 引言

伴隨人類文明的發展和科學技術水平的提高，人類對自然界進行著前所未有的改造。工業的發展，人類生存的需要，使各種大型橋梁結構不斷地涌現。橋梁結構的復雜化，大型化已成為一種發展趨勢，大跨度的橋梁的建造使結構健康監測技術的重要性和必要性被人們所認識。這是由于大型橋梁結構使用期長，在其服役期內不可避免地受到環境腐蝕﹑材料老化﹑荷載的長期效應等因素的影響，使其工作能力受到限制。一旦這些結構失去工作的能力，將給人們帶來巨大的損失，其后果不堪設想。所以就要對橋梁結構進行服役期內的長期監測，及時診斷其遇到的問題，為人類減少災害。這些都要由結構的監測技術來完成。

對橋梁結構進行模態參數識別是結構健康監測的重要組成部分。對各種大型的橋梁結構進行分析及主被動控制，都必須確定結構的參數(剛度﹑質量﹑阻尼等)。如何確定這些參數要歸結于參數識別技術。這一技術最早應用于航空航天領域，現已廣泛應用于汽車﹑船舶﹑機械和土木等各領域。但橋梁結構與其它領域相比有其自身的特點，橋梁結構體型巨大，結構的自由度接近于無限，土和結構存在相互作用，無法定量確定阻尼耗能機制，以及結構振動耦合造成的結構本身動力特性極其復雜，所以一些應用于其它領域的識別方法無法在橋梁結構中應用。因此，如何對橋梁結構進行參數識別具有重要的意義。而且也越來越成為一個國內外研究的熱點和難點。

本文基于近20 a來國內外基于振動信息的橋梁結構模態參數識別算法的研究和應用現狀，重點回顧了橋梁結構模態參數識別算法,并對有待于進一步研究的問題進行了展望。

模態參數識別最早在航空航天領域應用，其具體的識別方法主要分為頻域和時域兩大類。

1 頻域識別方法

對于模態參數的識別，人們最早是從頻域開始的。由于頻響函數表達了結構的激勵力同測量點的響應之間的關系，而這一關系又可以用模態參數來描述，每一個頻響函數可通過測量得到，將其表成隨頻率而變化得頻響函數曲線就成為識別的依據。

當結構具有弱阻尼，在低頻頻帶上模態分布稀疏，在各階模態的固有頻率附近的頻響函數主要由該階模態的特征所決定，這時其余各階模態的貢獻較小，可以忽略，也就是單模態的參數識別。這是人們利用頻響函數的幾種曲線就可以得到較好的結果。當人們要同時識別各階模態的參數時，就產生了更多的識別方法。而這些方法都是通過實測的數據同理論的頻響函數間建立起聯系從而識出所要的參數。

1.1 擬合法[1]

這種方法以最小二乘原理為基礎，利用所得的測量數據對頻響函數進行擬合。其中根據數學處理方法不同又可分為：

（1）迭代法：常用的有Goyder法（也稱為局部迭代法）。該方法是將單階模態的頻響函數模型同實測頻響函數值進行最小二乘擬合，同時考慮低階模態和高階模態的影響。另一種迭代法是Klosterman法，該方法是在已知固有頻率的條件下給定阻尼比一個初值，利用最小二乘迭代法求取其他的參數，然后再逐步地改進給定的阻尼比的初始值，反復地迭代直到結果滿意為止。

（2）線性化法:該方法是利用拉普拉斯變換將頻響函數表示成Hij（s）=Nij（s）/Dij（s），然后建立加權誤差函數ek=Nij（s）-Dij（s）Hij（s）,其中Hij（s）為某頻率時頻響函數的實測值，對ek進行最小二乘法處理便可以得到線性代數方程，用以求取各模態參數。這類方法中常用的有Levy法。而后為了減小計算量，人們又利用正交多項式來分別表達頻響函數的有理分式的分子和分母，并引入負頻率的概念，再利用最小二乘法從而改進了Levy法。

（3）優化法：由于模態頻率和模態阻尼在頻響函數的分母中是非線性項，于是該方法就將非線性函數在初值附近作泰勒級數展開進行線性化處理，然后再利用迭代求解。從而結合了上述的兩類方法。該方法使初值的選取得到了很大的改善，使參數的識別達到了優化。具體應用時可先將誤差函數進行泰勒展開，也可將頻響函數泰勒展開，相應的方法為高斯-牛頓法，而牛頓-拉普森法是將目標函數先泰勒展開。

將這類方法應用到單輸入單輸出的識別中去，取得了一定的效果。同時也存在一些問題如：遺漏模態﹑無法識別重根和非常密實的模態等。

1.2 SFD法[2]

該方法利用多點激勵多點輸出的頻響函數來進行識別。該法認為結構的動態特性可以用一組主要的物理自由度作為獨立自由度來描述，而其余自由度為非主要自由度。利用這組主要自由度上測定的頻響函數同頻響函數模型間的最小二乘擬合，得到完整的物理參數組成的特征方程并求解。得到結構總體的阻尼比﹑固有頻率和獨立自由度的模態。多輸入多輸出的識別法中還有CMIF（復模態指示函數法）等。

1.3 基于環境激勵下的識別法

通常，測試結構的頻響函數要求同時測試得到結構的激勵和響應信號。而實際工程中對一些大型結構無法施加激勵，這就要求識別結構在工作條件下的模態參數，從而產生這類方法。這類方法假設激勵為白噪聲，利用白噪聲具有頻率范圍寬，能很好地覆蓋結構模態頻率范圍的特點，以及許多實際情況可近似為白噪聲，如：風對建筑物和橋梁的激勵等。在頻域上這類方法有：

（1）峰值拾取法[3]：該方法是根據頻響函數在固有頻率附近出現峰值的原理，用隨機響應信號的功率譜代替頻響函數。假定響應的功率譜峰值僅由一個模態確定，這樣系統的固有頻率由功率譜的峰值得到，用工作撓度曲線替代系統模態振型。但該方法不能識別密實模態和阻尼比。

（2）頻域分解法[4]：該法是峰值拾取法的延伸，克服了峰值拾取法的缺點，主要思想是：對響應的功率譜進行奇異值分解，將功率譜分解為對應多模態的一組單自由度系統功率譜。該法識別精度高，有一定的抗干擾能力。

此外有人也提出將頻響函數用各響應點的參考點間的互功率譜密度函數代替，根據互功率譜密度函數同模態參數之間的關系，單獨利用響應數據求出模態參數[5]。

這類方法識別的模態參數符合實際工況及邊界條件，能真實地反映結構在工作狀態下的動力學特征。而且不施加人工激勵也可節省人工和費用，避免對結構產生的損傷，正在被廣泛地應用。

2 時域識別方法

由于頻響函數對應于時域中的脈沖響應函數，因此隨著頻域中各種識別方法的發展，人們也開始在時域中對參數進行識別。同頻域中的識別方法相比，時域中的方法對于分離密集模態有更好的效果。

2.1 迭代法

這類方法是人們利用自由衰減信號來求取部分模態參數，在識別中人們綜合了迭代和線性化處理，并通過優化初值，提高了迭代的精度。但所采用的自由度數據無激勵信號，因此不能求取完整的模態參數。

2.2 時間序列法

這類方法是一種利用參數模型對有序的隨機采樣數據進行處理，進而求取模態參數的方法。具體的模型包括：AR自回歸模型，MA滑動均值模型和ARMA自回歸滑動均值模型。1969年Akai’ke H首次利用自回歸滑動均值模型進行了白噪聲激勵下的模態參數識別[6]。其中的基于ARMA模型的識別方法通過對輸出的有序離散隨機數據進行分析，提取蘊含在輸出數據中的系統固有特性，系統與激勵間的相互關系，以及輸入激勵的能量信息。這種方法適用于產生觀測數據的系統沒有明確的定義或者系統的輸入不可觀測，或輸入雖可觀測單系統處于嚴重而不可觀測的噪聲干擾下的系統的特性估計。利用這種方法識別無能量泄漏，分辨率高，但定階問題沒有很好解決。目前，已有很多的定階準則的出現，隨著結構輸入荷載統計資料和先驗經驗的累計，以及計算機運算速度的提高產生了基于ARMAX（用帶輸入信息的時間序列模型）的識別方法[7]，而且這一方法也得了進一步的發展[8]。

2.3 復指數法

該方法是對脈沖響應函數的一種擬合方法。在脈沖響應函數可通過測量得到的條件下，或具備完備的輸入和輸出數據的條件下，復指數法可以得到完全的模態參數，而且這類方法并不依賴于模態參數的初始估計值[9]。該法將非線性的參數估計問題化成本征值問題。從現代控制理論出發，可以證明，多參考點的復指數算法所構成的系統是一個完全能控但不完全能觀的系統實現[2]。也就是說它是非最小階系統實現，說明系統中參入了許多階計算模態，致使系統的階數過高，從而必須從計算所得的模態中鑒別哪些是虛假模態，哪些是結構的真實模態。

2.4 ITD法

該法是由S.R.Ibrahim在1973～1976年期間提出的。該法以脈沖響應函數為根據，通過解算本征方程來求得特征值和特征向量，再利用模態頻率和模態阻尼與特征之間的關系求得振動系統的模態頻率和阻尼比。如果用自由響應數據作為結構模態參數的載體，則這種算法只需響應數據而不需要輸入數據。這就特別適用那些激勵數據無法測量的結構的模態參數識別，也正是由于沒有輸入數據，因而無法確定各階模態的貢獻系數。

由于該法中利用許多虛擬測點，因而該法的識別效果同許多參數有關，如：采樣頻率﹑模態階數（自由度）﹑延時量等。同樣，也要對所得結果進行鑒別。ITD法中的自由響應數據的取得對于小型結構，可以用瞬態激振的方法來獲得自由衰減響應信號；對于大型的結構運用瞬態激勵的方法難以實現，在這種情況下就要從環境激勵響應中提取衰減信號，也就是隨機減量法。這種技術利用樣本平均的方法去掉響應中的隨機成分，而獲得初始激勵下的自由響應。然后利用ITD法進行參數識別[10]，該法適用于白噪聲激勵的情況。

2.5 特征系統實現算法

特征系統實現算法 (ERA)是多輸入多輸出的時域模態參數識別方法[11]。它只需很短的自由響應數據識別參數，并且識別速度快，對低頻，密頻，重頻有很強的識別能力，更重要的是能得到系統的最小實現便于控制應用。目前該法得到廣泛的應用。該法來源于控制理論中的Ho-Klman的最小實現理論。為了提高抗噪聲的能力，Kung將奇異值分解技術運用到該法中取得了較好的效果。ERA算法的實質是利用時測得脈沖響應數據或自由響應數據，通過Hankel矩陣及奇異值分解，尋找系統的一個最小實現，并將該實現變化為特征值規范型。該法也已推廣到利用自由衰減和自由響應數據進行參數識別，并實現了基于頻響函數矩陣的頻域ERA格式。而且有人已將ERA法應用到連續時域的狀態空間中產生了CBSI法[12]能夠有效地識別模態參數，如：模態阻尼等。但這種算法也同樣存在著去噪聲和識別虛假模態，正確定階等問題。

2.6 NEXT 法：（Natural Excitation Technique）

該法的基本思想是白噪聲環境激勵下的結構兩點之間響應的互相關函數和脈沖響應函數有相似的表達式，求得兩點之間的響應的互相關函數后，運用時域中模態識別方法進行模態參數識別。目前NEXT法也同許多傳統的識別方法結合。其參數識別的順序是：先進行采樣，然后對采樣數進行自相關和互相關計算，選取測量點作為參考點；最后將計算的相關函數作為脈沖響應函數，利用傳統的識別方法識別。對單輸入多輸出采用ITD法[13]（國內也有人對此進行了研究[14][15]）對單參考點復指數法[16]，對于多輸入多輸出可用多參考點復指數法[17]（PRCE法）ERA法。NEXT法假設激勵為白噪聲，對輸出的環境噪聲有一定的抗干擾能力。目前已在橋梁﹑汽輪機﹑飛機和汽車等方面廣泛應用。

2.7 隨機子空間法

該方法是基于線性系統離散狀態空間方程的識別方法，適用于平穩激勵[18]。該法直接從輸入輸出數據矩陣的行﹑列空間中估計出系統的Kalman狀態序列或廣義觀測矩陣，通過求解獲得系統的狀態空間模型。同經典的辨識方法相比子空間法不需要對模型預先參數化，一系列基本的線性代數運算如：QR分解及SVD分解，避免了傳統方法因非線性迭代引起的數值的“病態”，尤其是處理高階多變量系統能像單入單出系統一樣的簡單。子空間法1995年由Pecters B等人首次提出，大量的研究成果出現在控制和信號處理領域。近年來這一方法也用被應用于識別柔性動力結構的系統參數，取得了較好的結果。

子空間法從逼近理論來看，是以盡量少的階次來描述系統的振動特性，減少了計算量，從信號處理的角度來看，相當于對數據進行了一次濾波處理，剔除了與輸入輸出無關的隨機噪聲。從而使其識別具有一定的抗干擾能力，但該法也同樣存在定階和鑒別虛假模態的問題。

3 結論

隨著識別方法的不斷改善，人們已開始研究對非平穩隨機激勵更具魯棒性的方法。由于反映非平穩隨機過程統計特性的指標是隨時間變化的，結構響應信號的頻率成分是隨時間變化的，而信號在時間和頻率二維平面的表示能反映出頻率成分隨時間變化的特性。因而就產生了模態參數識別的聯合時頻域的方法[19][20]。

參數識別的方法經過頻域和時域的發展，時頻域結合的方向的研究越來越多。由于環境響應信號成分的復雜通常是非平穩的，所以更新的識別方法將要充分利用信號處理技術，使其識別的精度更高，應用更加廣泛。此外也還有一些不足要進一步去解決，如：在識別中如何定階問題；如何減少識別中的矩陣可能產生的“病態”問題；如何將更多的識別方法應用到橋梁結構中。

隨著橋梁工程結構的發展，基于環境激勵的模態參數識別方法成為解決橋梁結構模態參數識別的重要手段。但是由于此類方法基于橋梁結構輸入未知的前提，因此，此類方法的模態參數識別結構具有一定的不確定性，如何考慮此類不確定性對模態參數識別結果的影響，以及對基于測試模態參數的橋梁結構有限元模型修正、橋梁結構損傷診斷的影響則越來越受到廣泛的關注。

［1］李德葆，陸秋海.試驗模態分析及應用［M］.北京：科學出版社，2001.

［2］余云書.結構模態試驗分析［M］.北京：宇航出版社，2000.

［3］Guid De Rock et al.Benchmark Study on System Identification through Ambient Vibration Measurements,18thIMAC,2000,1106-1112.

［4］Bonato B,Ceraavolo R,A,De,Stefano.Use of Cross-Time-Frequency Estimators for Structural Identification in Non-Stationary Conditions and Under Unknown Excitation,Journal of Sound and Vibration 2000,237(5):775-791.

［5］申凡，鄭 敏，史東鋒，鮑 明.一種基于互功率譜密度的頻域模態識別法［J］.振動工程學報，2001，14(3)：259-262.

［6］Akaile H Power Spectrum Estimation through Autogressive Model Fitting,Annals of the Institute of Statistical Mathematics,21,1969,407.

［7］趙永輝，鄒經湘.利用ARMAX模型識別結構模態參數［J］.振動與沖擊，2000，19(1)：34-36.

［8］何林，歐進萍.基于ARMAX模型及MA參數修正的框架結構動態參數識別［J］.2002，15(1)：47-51.

［9］L Hermans and H.Vander Auweraer,Modal Testing and Analysis of Structures under Operational Conditions,Mechanical Systems and Signal Processing,1999,13(2):193-216.

［10］傅志方，華宏星.模態分析理論及應用［M］.上海：交通大學出版社，2000.

［11］李蕾紅，陸秋海，任革學，特征系統實現算法的識別特性研究及算法的推廣［J］.工程力學，2002，19(1)：109-113.

［12］K.F.Alvin,Extrccation of Normal Modes and Full Modal Damping Matrix from Damped System Realization Parameters(Documents).

［13］ Dar-Yun Chiang and Ming-Si Cheng,Modal Parameter Identification from Ambient Response AIAA Journal 37(4)Technical Notes.

［14］李中付，華宏星，宋漢文，陳之炎，傅志方.一種基于環境激勵下模態參數識別方法［J］.振動工程學報，2002，15(1)：52-56.

［15］李中付，華宏星，宋漢文，鄭棟梁，陳之炎.基于環境激勵的工作模態參數識別［J］.上海交通大學學報,2001，35(8)：1167-1171.

［16］ Brown D L,et al,Parameter Estimation Technique for Modal Analysis,SAE paper 790221,1979.

［17］ Vold H,Rocklin G F,The Numerical Implementation of a Multi Input Modal Estimation Method for Mini-Computer,IMAC 1982.

［18］史東鋒，鄭 敏，申 凡，鮑 明，工程結構工作模態的子空間識別方法［J］.振動工程學報,2000，13(3)：406-412.

［19］P Bonato,Use of Cross-Time-Frequency Estimation for Structural Identification in Non-Stationary Conditions and Under Unknown Excitation,Journal of Sound and Vibration 2000，237(5):775-791.

［20］PBonato,Cross-Time-Frequency Techniques for the Identification of Masonary Buildings Mechanical Systems and Signal Processing 2000，14(1):91-109.