p-光滑性的簡單原子刻劃

劉志民

(河北工程大學理學院，河北邯鄲056038)

0 前言

原子分解作為一種有效工具在鞅論研究中起著重要的作用［1－4］。文獻［5］就是運用這種技巧給出了Hp鞅論很多重要不等式的簡單證明。文獻［6］研究了B值鞅空間的原子分解，利用原子分解討論了取值空間的幾何性質及鞅空間的相互嵌入關系。

設(Ω，Σ，P)為完備概率空間，(Σn)n≥0為Σ 的一列遞增子σ-代數，滿足Σ=σ(∪n≥0Σn)。分別記期望和關于Σn的條件期望為E和En。設(X，)為Banach空間，f=(fn)n≥0為X值鞅，其鞅差為d fn=fn－fn－1(n≥1)，分別記其極大函數和條件均方函數為 f*=supn和 σ(p)(f)=。本文將考慮B值鞅空間pΣq，即

本文建立了Banach空間值鞅空間pΣq的簡單原子分解定理，利用鞅的簡單原子分解給出了取值空間p-光滑性的一種刻劃。

定義［7］設0＜α，r≤∞，1≤p＜∞。一個B值可測函數a稱為一個(1，α，r;p)簡單原子，若存在n∈N，H∈Σn，使得:

(Ⅰ)an=Ena=0。

(Ⅱ){a≠0}?H。

將(1，α，r;p)簡單原子的全體簡記為pSA1(α，r)。

引理［8］設X為Banach空間，1＜p≤2，1＜α＜∞，則以下幾條等價: (Ⅰ)X同構于p一致光滑空間。

在本文中，常用C表示一個常數，允許在不同的地方取不同值。用Z表示整數集。

1 主要結果和證明

定理 設Χ為Banach空間，1＜p≤2。

(Ⅰ)若Χ同構于p一致光滑空間，0＜q≤p，則對任意X值鞅f=(fn)n≥0∈pΣq存在一列{g(k)}∈pSA1(q，∞)(k∈Ζ)和一列非負實數μ=(μk，k∈Ζ)∈lq，使得

其中，Cpq為依賴于p和q的正常數;而且，級數μkg(k)依pΣq范數收斂于f。

(Ⅱ)設0＜q≤1，Χ同構于p一致光滑空間。若對X值鞅f=(fn)n≥0，存在一列g(k)∈pSA1(q，∞)(k∈Ζ)和一列非負實數μ=(μk，k∈Ζ)∈lq，使得式(2)成立，則f∈pΣq且

其中，″inf″遍歷所有f形如式(2)的分解。

(Ⅲ)若0＜q≤1且對任意X值鞅f=(fn)n≥0∈pΣq，存在一列g(k)∈pSA1(q，∞)(k∈Ζ)和一列非負實數μ=(μk，k∈Ζ)∈lq使得式(1)和式(2)成立，則Χ同構于p一致光滑空間。

證明 (Ⅰ)設f=(fn)n≥0∈pΣq，對任意k∈Ζ定義如下

顯然，{vk}k∈Ζ非降且當k→∞時，vk→∞。

當X同構于p一致光滑空間時，由引理和式(6)知

據上式El(gkl)=0。對kl∈Ζ重新排列，則得一可數列，以下總是假設k對應于kl。由式(5)知式(2)成立。且

由引理知， E(g(k)*)q=E(g(kl)*)q=E(g(kl)*x(vk=l))q≤

(Ⅱ)假設0＜q≤1且f=(fn)有形如式(2)的分解，容易驗證下列式子成立

由p(1，q，∞)簡單原子的定義知，在集{vk≠l}上σ(p)(q(kl))=0。所以

故f∈Σpq且式(4)成立。

(Ⅲ)設f=(fn)n≥0為X值鞅，滿足E＜∞，由于

故f∈pΣq，由已知條件知存在形如式(2)的分解。注意到

因gk是相應的簡單原子，故g(k)n→g(k)，n→∞，k∈Ζ。由上式知(fn)依概率收斂。從而，根據引理知X同構于p一致光滑空間。

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