強非局域非線性條件下圓形邊界的S—M孤子解

摘要：本文利用自相似技術考察了圓形邊界非局域非線性介質中Snyder-Mitchell孤子傳輸。通過求解Snyder-Mitchell孤子控制方程，我們首先獲得了強非局域非線性介質中光束穩定傳輸的惠泰克光孤子解，然后通過特殊函數間的轉化關系相繼得到了拉蓋爾孤子、貝塞爾型孤子簇等各種不同形式的精確解析解，并對他們的傳輸特性進行了初步分析。

關鍵詞：空間光孤子，圓形邊界，強非局域非線性介質，自相似技術

中圖分類號：O437 文獻標識碼：A 文章編號：1674-7712 （2012） 10-0019-03

一、引言

1997年，Snyder和Mitchell提出的非局域線性模型，極大地降低了孤子問題的復雜程度，掀起了研究非局域空間光孤子的熱潮。近年，Segev等人在熱致非局域非線性材料鉛玻璃中實現了孤子的傳輸，并對其傳輸特性做了很多研究。當一束狹窄的光束在線性均勻的介質中傳播時，會因為衍射的作用而使得光束自然變寬；而根據測不準原理，我們同時知道光束在越狹窄的情況下，衍射的作用會更明顯。另一方面，科學家發現某些材料具有非線性的光學性質，其折射率隨著光強度的改變而有所改變，并進而使光束的傳導性質受到影響，形成了在一定條件下能穩定傳輸的光空間孤子。本文從一般本光場滿足的一般非局域非線性薛定諤方程出發，使用自相似技術這一系統在某種結構或過程的特征從不同的空間尺度或時間尺度來看都是相似的性質，求解Snyder-Mitchell孤子的不同表達性質的精確解析解。

三、總結

本文首先將方程轉化為惠泰克方程的形式，然后求解的惠泰克孤子解，并在此基礎上使用特殊函數的轉化即可把拉蓋爾孤子、貝塞爾孤子轉化出來。對于空間光孤子，不同形式的精確解析解表示空間光孤子有不同的傳輸特性，在傳輸過程中對傳播介質有不同的要求，在物理中對于理論指導實踐有著特殊的意義。

綜上所述，利用各種特殊函數中的相互轉化關系，可以將各種不同形式的孤子聯系起來，本文中的各種孤子總體上都由合流超幾何函數變化而來，并從數學解析式的角度初步分析物理問題，表現出不同形式孤子的特征，由于使用的特殊函數不一樣，導致各種孤子與之特性相關的物理參量也由不同的參數控制，在傳輸過程中也會具有不同的傳輸特性，我們可以通過控制這些參量達到控制脈沖的效果。

在非局域非線性介質中，圓形邊界是與我們日常生活聯系最為緊密情況，導線、電線、光纖等等都可以看作無限長的圓柱體，其邊界可以看作圓形邊界[8]，非局域空間光孤子從數學上看是一種非線性偏微分方程的解，從物理上看是電磁波在某種介質中的現象。本文使用自相似技術精確求解了在極坐標中強非局域（1+2）階非線性薛定諤方程，求解的理論基礎是Snyder-Mitchell線性模型，由此給出了方程的惠泰克型孤子解、拉蓋爾高斯孤子解和貝塞爾型孤子，并對各形式的孤子做了初步的分析，以后將繼續對此進行深入的研究。

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