合作博弈論和庫存管理

摘要：在生產和運輸最終產品或服務的過程中在供應商、制造商、分銷商、零售商和客戶當中的信息流和材料、產品關系的協調是供應鏈管理的重要內容。為了進一步減少成本和提高客戶服務水平，集中庫存管理是值得研究的。在本文中，我們回顧在集中庫存管理系統中的博弈論。此外，我們引進一個新的集中庫存的模型：多客戶分布網絡。

關鍵詞：博弈論 合作博弈 集中庫存管理 庫存模型

引言

供給鏈的主要特點是：連鎖的公司是努力優(yōu)化他們獨立目標的獨立角色，他們的決策也的確會影響供給鏈中的其他公司的效益。這些企業(yè)決策的互動需要行為的協調，因此博弈論是非常適合解決這些互動的。供應鏈管理一個重要的內容是如何做好公司或零售商的庫存管理。庫存管理出現在20世紀初，第一篇關于庫存管理的數學模型論文由Harris完成。大多數情況下，庫存管理的目標是減少由庫存系統產生的每單位的時間成本，同時保證服務的預先指定的最低水平。運用合作博弈論解決庫存管理的論文近幾年已近出現。即使這是個年輕的領域，但是也存在一些相關的文獻了。在本文中，我們回顧這些文獻，此外，我們將引進和研究一個分析在多客戶分布網絡中的合作問題的模型。

一、確定庫存情況的合作

假設存在[n]個代理，[N=1，...，n]，他們都面臨經濟生產數量（EPQ）的問題和短缺。帶有短缺問題的EPQ模型中，假設代理商賣的是一種特定的商品。他在單位時間內必須完成的需求量為[didi≥0]，這種商品每單位保存成本記為[hi(hi>0)]。每份訂單的固定成本記為[a]，代理商[i]假設存在不能及時完成需求量的可能性，允許商品的短缺。單位時間內單位商品的短缺成本記為[si>0]，在一個確定固定的時間（不是一般性，我們假設從零開始）下，單位時間內收到的商品記為[ri]。我們認為[ri>di]，否則這個模型沒有任何意義。代理商[i]的替代率記為[ri]。代理商必須選擇一個大小為[Qi]的訂單和一個最大化短缺量[Mi]來使他的庫存成本實現最小化，由下列公式可得

[CQi，Mi=adiQi+hiQi1-diri-Mi22Qi1-diri+siM2i2Qi1-diri]

用初等的數學方法，可得

[Qi=2adihi1-dirihi+sisi，Mi=2adihishi+si1-diri]

而且，通過用[mi=diQi]作為最優(yōu)的訂單數，可得

[CQi，Mi=2ami][]

現在我們認為在集合S中的代理商決定一起下訂單來節(jié)約部分訂單成本。所以單位時間內他們?yōu)橐环萦唵位ㄙM的是[a]，而不是[Sa]。為了把單位時間內平均庫存管理成本最小化，代理商們必須協調他們的訂單，所以對于所有的代理商都有[Q*idi=Q*jdj]，[Q*j，Q*i]分別表示代理商[i]和代理商[j]的最優(yōu)產量。然后，單位時間內的平均總成本可以寫成如下

[CQi，Mjj∈s=ad1Q1+12j∈shjdjd1Q11-djrj-2Mj+12j∈shj+sjd1M2jdjQ11-djrj]

通過使用標準差分析技術，最優(yōu)最小值[C]可得

[Q*i=2ad2ij∈sdjhjsjhj+sj1-djrj，M*i=Q*ihi1-djrjhi+si]

對于所有的[i]都成立，而且

[CQ*1，M*jj∈s=2aj∈sm2j]

我們注意到最小成本僅依賴于參數[a]和代理商的最優(yōu)訂單數[mi]。因此，為了計算最小成本，我們假設每個代理商的最優(yōu)價值[mi]，然后，多個代理商的庫存成本情況可以描述為[N，a，m]，[m=mii∈N，mi]是代理商不合作的情況下，單位時間內的最優(yōu)數量。

對于每個庫存管理成本[N，a，m]，我們可以設置為庫存成本博弈[N，c]，對于每個聯盟[S≠φ，cS=2ams，ms=i∈sm2i，cφ=0]。我們注意到了對于每個[S?N，c2S=i∈sc2i]，庫存博弈完全是通過定義個人成本來描述的。事實上，我們現在提出了這一類的成本分攤規(guī)則：訂購份額的成本規(guī)則，簡稱SOC規(guī)則。這個規(guī)則提出代理商[i]要支付他自己控股和股票的成本、與他投入成正比的固定訂單成本[m2i]。

通過計算，SOC規(guī)則可以寫成如下形式

[SOCiN，c=c2ij∈Nc2jcN=c2icN]

[N，a，m]是庫存成本情況，[N，c]是相關的庫存成本博弈。

幾個有缺點的EPQ模型已經從合作的角度上被研究了。Meca (2007)研究了一個有短缺的特殊的EPQ模型，這個模型中，當代理商下訂單時可以得到暫時的折扣。這個合作的行為由訂單成本和倉儲設施決定。Federgruen（1992）、Anily和Haviv（2007）提出了另一個和庫存管理相關的成本分配問題：交互聯合補貨模型。Federgruen（1992）表明這個合作博弈模型是凹函數。Dror和Hartman(2007)也認為這是個特殊的交互成本結構，正如Meca 等(2004)假設認為的：代理商總是通過EOQ政策手段把訂單集合起來。后來，張（2009）表明在POT策略下，相互聯合補貨博弈模型中存在聯合成本函數。

最后，Bernstein 等(2009)分析了類似于日本豐田公司的生產系統。基于這個模型，他們研究了一個知識共享網絡的利益問題。這種網絡的主要目標是在供應商中共享信息和知識，供應商之間的知識轉移可以通過兩個階段。第一階段，他們會分析在他們EOQ中如何通過投資來減少安裝成本。對于這種知識共享的類型，我們可以考慮分享知識（像豐田），這樣使所有的供應商減少他們的固定安裝成本。在第二階段，很多供應商都會向固定安裝成本最小的供應商學習。供應商之間的知識轉移通過固定安裝成本最小化的博弈建立起了模型。在這個框架中，Bernstein 等(2009)發(fā)現在合作供應商之間，知識共享是可行的。

二、隨機庫存情況的合作

本節(jié)涉及非確定性的庫存情況。已經存在大量的論文研究合作問題：如何在隨機庫存情況中優(yōu)化和分配儲蓄。大部分論文的重點是新聞供應商類型問題。考慮有限的新聞供應商商店集合，這些商店通過在每個時期的開始訂購一定數量的商品來應對每個周期的隨機需求。由于需求是隨機的，商店會在每個時期面對下面兩種情況中的一種：

1.訂購的數量少于現實中的需求量，導致商店的利潤減少。

2.訂購的數量超過現實中的需求量，導致商店的棄置成本的增加，因為報紙是易于腐爛的物品。

在形式上，我們考慮集合[N=1，...，n]表示商店集合。每個商店[i∈N]面臨一個非負的隨機需求[xi]。每單位的棄置成本是[h>0]，每售出單位的處罰成本[p>0]。這些成本對于所有的商店都是相同的。每一階段的開始產品一旦被訂購，那么產品不能被返還。不存在訂單成本也不存在數量折扣。這種情況是靜止的，但是期間會無限次反復重復。[q]數量的訂單成本：

[ψx，q=hq-x，q≥xpx-q，q

考慮一個商店聯盟[S?N]面臨一個共同需求[xS=i∈Sxi]，這個隨機變量是滿足分布函數[FS]性質的。對于所有的聯盟[S?N，EψxS，q<∞]，對于所有[S?N]，我們可以發(fā)現最小化[EψxS，q]后得到最優(yōu)值[qS]新聞供應商預期博弈[N，cE]是屬于特征函數[cES=EψxS，qS]的一個成本博弈。[cES≥0]代表最優(yōu)的庫存成本。

現在假設在某一時期，聯盟[S?N]產生一個最優(yōu)訂單量[qS].然后，在期末，每個商店[i∈S]觀察它的現實需求量，比如說[qi∧]。總共的現實需求量是[q∧S=i∈Sq∧i]。對于一個商店來說存在兩種可能性：（1）[q∧S≤qS]，這種集中式系統的成本是[hqS-q∧S](2)[q∧S≥qS]，這種成本等于[pq∧S-qS]

文獻中關于新聞供應商的庫存集中問題的研究主要集中在預期成本分析。一個動態(tài)和反復的成本分配系統的分析是Dror等人（2008）的主要議題。他們研究基于現實需求的庫存集中博弈，并在Lehrer(2002)提出的分配程序的基礎上，對動態(tài)現實博弈提出了一個重復成本分配方案。這表明動態(tài)現實的博弈的子序列，基于Lehrer規(guī)則肯定會收斂到一個最小二乘值。為了完成這個研究，他們對上述結果擴展到更一般的動態(tài)成本博弈并且放寬關于在不同階段代理商的需求序列的獨立假說。

三、多客戶分布網絡的合作

在集中庫存模型的合作問題中，存在很多普遍性的問題需要解決。這是個非常廣泛的領域，在未來幾年會產生很多結果。本文介紹探討了這方面內容的一個新模型。持有成本類型的博弈中，面對EOQ問題的代理商通過聯合發(fā)放訂單和存放所有的物品在最便宜的倉庫來協調訂單。然而，在很多實際情況下，把所有物品存放在最便宜的倉庫是不可能的，比如地理問題，市場限制，代理商的差異等等。總之，這種持有成本的協調可能會縮小代理商的組織規(guī)模。我們現在研究集中庫存的新格局。

設[N=1，...，n]是面對EOQ問題的一組代理商。設[Ρ=p1，...，pm]是[N]的一個分區(qū)。對于每個[k∈M=1，...，m]，[pk]代表可以協調代理商儲存他們的貨物在最便宜的倉庫里的代理商組織。我們將區(qū)分協調過程的兩個步驟。第一，在每一組的代理商[pk]協調他們的訂單并將他們的貨物放在最便宜的倉庫里。我們表示[hpk=minj∈pkhj]。第二，假設代理商中的[pk]作為區(qū)塊同意協調他們的訂單。當代理商[i∈pk，j∈pl]同意合作，那么在[pk?pl]中的代理商也會合作

最優(yōu)地，在庫存博弈中代理商有相同長度的周期。即對于所有的[i，j∈N]，都有[Q*jdj=Q*idi]，其中[Q*i]表示最優(yōu)的訂單大小。然后，每單位總平均成本可以寫成如下形式：

[CQ1=ad1Q1+Q12d1k∈Mhpkj∈pkdj].

使用標準差分析技術，可以確認對于所有[i∈N]最小化[C]的最優(yōu)產量：

[Q*i=2ad2ik∈Mhpkj∈pkdj]

而且[CQ*1=2ak∈Mm2pk]，這里[mpk=j∈pkdjhpk2a]表示在持有成本環(huán)境[pk，a，hi，dii∈pk]中[pk]聯盟的最優(yōu)訂單量。

最優(yōu)平均成本僅依賴于參數[a]和[mpk]，然后，每組代理商僅顯示其最優(yōu)訂單量[mpk]。為了計算[mpk]，需要得到[pk]的信息。我們定義部分持有成本情況[N，Ρ，a，mpkk∈M]，如果[Ρ=1，...，n]，即共同下訂單，然后代理商面臨一個正如Meca等（2004）提到的庫存情況。但是如果[Ρ=N]，即所有的代理商都可以通過聯合下訂單和儲存商品在最便宜的倉庫的方式來實現合作，然后代理商再一次面對持有成本情況。

考慮協調過程中的一個庫存博弈[M，a，mpkk∈M]，更具體地，成本博弈[M，cp]，其中[cpΦ=0]，[cpR=2ak∈Rm2pk].為了分擔總成本，考慮代理商之間的博弈，我們定義一套合理的分配制度

[RN，P，a，mpkk∈M=x∈RnxN=cpMandxk∈TPk≤cpT?cpT?T?M]其中[xS=i∈Sxi]， [RN，P，a，mpkk∈M≠φ]

部分持有成本情況中的成本分配規(guī)則是一個函數[ψ]，它把向量[ψN，Ρ，a，mpkk∈M∈RN]分配給每一個[N，Ρ，a，mpkk∈M]，以下是我們模型協調過程中的步驟，我可以定義如下的成本分配規(guī)則

1.根據SOC規(guī)則，分配[cpM]給每個代理商

2.在代理商組[pk] 中根據他們的需求[di] 分配每個代理商組的支出

我們稱這個規(guī)則為各組分配成本規(guī)則（簡單說，SCG規(guī)則），可以寫成

[SCGiN，Ρ，a，mpkk∈M=2adihpk∈Mcpk2cpM]

結果表明SCG規(guī)則是一個合理的分配制度，它推廣了持有成本中的SOC規(guī)則和需求比例規(guī)則。

參考文獻：

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作者簡介：

劉欣（1989-），女，廣西玉林人，廣西師范大學經濟管理學院經濟史碩士研究生，研究方向：經濟史，數理經濟學；

祁磊（1988-），男，陜西漢中人，廣西師范大學經濟管理學院經濟史碩士研究生，研究方向：經濟史，數理經濟學。