“畫圖”在問題解決中的策略運用

《數(shù)學(xué)》“2011年版課標”提出了“幾何直觀”的核心概念。所謂幾何直觀，主要是指利用圖形描述和分析問題。借助幾何直觀可以把復(fù)雜的數(shù)學(xué)問題變得簡明、形象，有助于探索解決問題的思路，預(yù)測結(jié)果。幾何直觀可以幫助學(xué)生直觀理解數(shù)學(xué)，在整個數(shù)學(xué)學(xué)習過程中都發(fā)揮著重要作用。

如何結(jié)合教學(xué)發(fā)展學(xué)生的幾何直觀？如何有效幫助學(xué)生積累基本活動經(jīng)驗？下面以兩個教學(xué)片段為例略加分析。

1.動手實踐，經(jīng)歷過程，積累活動經(jīng)驗

在例題教學(xué)時，依據(jù)兒童的認知規(guī)律和思維特征，讓學(xué)生動手實踐，經(jīng)歷畫圖策略的形成過程，獲得畫圖策略解決問題的豐富體驗。

首先出示例題：“梅山小學(xué)有一塊長方形花圃，長8米。在修建校園時，花圃的長增加了3米，這樣花圃的面積就增加了18平方米。原來花圃的面積是多少平方米？”讓學(xué)生自主閱讀題，初步理解題意。

然后教師提問：這道題和我們過去學(xué)習計算長方形面積的題目有什么不同？這道題能直接求出原來花圃的面積嗎？光看文字敘述，你感覺怎么樣？可用什么方法幫助我們更清楚地整理題中的條件和問題？學(xué)生圍繞這幾個問題獨立思考和小組交流，有的學(xué)生找出長方形面積增加的原因是長增加了；有的學(xué)生做這題時發(fā)現(xiàn)，不能像過去那樣直接列式求原來花圃的面積；更多的學(xué)生感覺到如果光看文字，不知道圖形面積到底是怎樣增加的。這樣，學(xué)生逐漸產(chǎn)生了畫圖的需要。

此時，教師順勢指出：“是啊！畫圖就是解決問題的一種策略。請同學(xué)們根據(jù)題意先試著畫圖。”學(xué)生動手實踐，獨立嘗試畫圖，同時思考如何列式。教師指名學(xué)生到黑板上畫圖，并重點指導(dǎo)其把“長增加3米”畫出來。

學(xué)生充分經(jīng)歷了畫圖活動之后，教師提問：長增加3米，在畫圖時該怎樣畫？（上面一條長要增加3米，下面一條長也要增加3米，更重要的是寬沒有變。）并且還要進一步指導(dǎo)學(xué)生在圖上標出有關(guān)數(shù)據(jù)和所求問題，逐步完善自己所畫圖形。

最后，教師提出：畫圖之后再來解決問題，你愿意看著原來文字思考還是看著圖形思考？為什么？畫圖后，你發(fā)現(xiàn)什么發(fā)生了變化？什么沒有發(fā)生變化？比較原來花圃和增加部分，這兩個長方形有什么聯(lián)系？學(xué)生動手畫圖實踐，經(jīng)歷畫圖策略的形成過程，并通過畫圖引發(fā)了解題思路，列出算式解決問題: 18÷3×8＝6×8＝48（平方米）

以上教學(xué)，充分體現(xiàn)了對學(xué)生數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗積累的關(guān)注。所呈現(xiàn)的新知具有一定的挑戰(zhàn)性，由于文字敘述，學(xué)生不能直接看出數(shù)量間的關(guān)系，因而產(chǎn)生畫圖的需要。在教學(xué)開始時，教師沒有直接讓學(xué)生畫圖，而是通過四個問題，誘發(fā)其對畫圖策略的心理需求，使之主動采用畫圖策略。在學(xué)生畫圖時，如何畫“長增加3米”這個難點，教師要及時指導(dǎo)和幫助；當學(xué)生畫圖之后，通過觀察比較，將數(shù)與形的意義對應(yīng)起來，結(jié)合已有知識基本能解決所求問題。其中，展示交流畫圖和思考的過程，能從學(xué)生學(xué)習體驗的角度把探究新知的過程充分呈現(xiàn)出來，加深學(xué)生分析數(shù)量關(guān)系的認知；而列式之后讓學(xué)生說出“18÷3求的是什么”，再次數(shù)形對照，理解列式原理；解決問題之后讓學(xué)生回顧與反思，獲得了畫圖策略的初步活動經(jīng)驗。

2.猜測驗證，體驗價值，發(fā)展幾何直觀

在鞏固練習階段，教師設(shè)計了一組變式練習，讓學(xué)生在猜測驗證中體驗畫圖策略的價值，發(fā)展學(xué)生的幾何直觀。

教師出示變式題的已知條件部分：“張莊小學(xué)原來有一個長方形操場，長50米，寬40米。”讓學(xué)生首先在腦中畫圖，然后逐步變化條件和問題，不斷讓學(xué)生腦中畫圖猜測，并在紙上畫圖驗證結(jié)果。

變式一：“在修建時，長增加8米，面積增加多少平方米？”學(xué)生很快在腦中畫圖，甚至不需要在紙上畫圖，即可用手勢比畫出圖形（圖3），并列出算式40×8＝320平方米。

變式二：“在修建時，寬增加8米，面積增加多少平方米？”有了前面的經(jīng)驗，學(xué)生更加熟練地在腦中畫圖，并列式解決問題：50×8＝400平方米。

變式三：“在修建時，長和寬各增加8米，變成新的長方形。面積增加多少平方米？”當教師剛出示完題目，有學(xué)生即快速搶答：“面積增加720平方米，列式是320＋400＝720。”

這正是教師故意誘發(fā)的“合理性”錯誤！當教師故作沉思時，有學(xué)生提出：“不對！我感覺似乎不對，好像缺了一個‘角’！”教師順其自然引導(dǎo)學(xué)生思考“那變成的新長方形到底是怎樣的？增加部分的面積到底是多少呢？我們可以把頭腦里畫的圖在紙上畫出來，驗證一下”。學(xué)生經(jīng)歷了腦中畫圖猜測之后，在紙上畫圖驗證，并探索如何正確列式。

學(xué)生畫圖列式之后，教師再次提出：經(jīng)過頭腦里畫圖猜想和在紙上畫圖驗證，大家發(fā)現(xiàn)面積增加的部分是720平方米嗎？這是什么緣故呢？同時結(jié)合學(xué)生的畫圖進行展示和解釋，從而突破學(xué)習難點由于思維活動打開了學(xué)生的思路，在列式解決問題的過程中，出現(xiàn)了多樣化的解題方法。

方法1：40×8＋50×8＋8×8

方法2：（50＋8）×(40＋8)－50×40

方法3：（50＋8）×8＋40×8

方法4：(40＋8)×8＋50×8

有了以上的三次變式，學(xué)生學(xué)習積極性高漲，對畫圖策略的探索興趣更濃，教師繼續(xù)出示了以下的三次變式：

變式四：“修建時，長和寬各減少8米，操場的面積減少多少平方米？”

變式五：“修建時，長增加8米，寬減少8米，面積改變嗎？為什么？”

變式六：“修建時，長減少8米，寬增加8米，面積改變嗎？為什么？”

以上教學(xué)，學(xué)生邊畫圖邊思考，邊猜測邊驗證，邊對比邊討論，不斷發(fā)展幾何直觀，不斷體驗畫圖策略的價值。這種一題多變的方式，學(xué)生在運用畫圖策略解決實際問題的過程中深入探索變化規(guī)律，享受數(shù)學(xué)思維活動的快樂。首先，題目出示的方式具有心理暗示效應(yīng)，先以文字的“誤導(dǎo)”讓學(xué)生輕易獲得答案，再通過畫圖策略尋找問題的關(guān)鍵，并通過對比讓學(xué)生充分感受到畫圖的價值。接下來的層層“變式”設(shè)計，更是把數(shù)學(xué)思維推向高潮，由“各增加”到“各減少”的演變使學(xué)生的思維更加趨向嚴密，由長增加（減少）同時寬減少（增加）相同長度而猜想面積變化情況，培養(yǎng)學(xué)生對比推理能力，再通過“變化”和“不變”的追問讓學(xué)生體悟到數(shù)學(xué)辯證法思想。這道變式題的精心設(shè)計，緊緊圍繞畫圖策略，讓學(xué)生不斷猜測、驗證和聯(lián)想、推理，經(jīng)歷不同情形下的數(shù)形變化過程，探究圖形變化中的內(nèi)在規(guī)律，引導(dǎo)學(xué)生在數(shù)學(xué)思維活動中逐步積累數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗。

當然，學(xué)生的幾何直觀和數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，不是在短期內(nèi)很快就能形成的，需要教師結(jié)合相關(guān)學(xué)習內(nèi)容，精心設(shè)計活動性和過程性目標，并啟發(fā)學(xué)生動手實踐，自主探索，獨立思考，合作交流，闡述思路，在“經(jīng)歷”“體驗”和“探索”中形成數(shù)學(xué)活動經(jīng)驗，發(fā)展幾何直觀，提升數(shù)學(xué)素養(yǎng)。（作者單位：江蘇省蘇州市工業(yè)園區(qū)第二實驗小學(xué)）■

□本欄責任編輯 孫恭偉

E-mail:jxjyjxzt@126.com