借助多元表征提高學生解決問題的能力

中學高級教師，北京市小學數學學科帶頭人?！?010年中西部農村骨干教師遠程培訓”項目課程開發及教學指導專家?！秴钦龖椀膬和瘮祵W教育》一書的編委，發表文章20余篇。專著《讀懂學生，探索適合學生發展的小學數學教育》由北京科學技術出版社出版

解決問題的內容分布于小學數學學習的各個領域中，是學生最為頭疼的內容之一：有的學生見到兩個數量就進行一個任意的運算（加法不對改減法，減法不對再換一個方法）；有的學生見到一些特定的詞語，就不加思考地選擇算法，諸如見多就加，見少就減；有的學生雖然經歷讀題過程，但也不能理解題目中的數量關系，導致無從下手……解決問題不僅是學生學習的難點，也是教師教學中的一個難點。

另外，《數學》“2011年版課標”圍繞關鍵詞“問題”增加了表述“增強能力”的課程目標——增強發現和提出問題的能力、分析和解決問題的能力。并從問題解決的視角明確第一學段的目標是：“能在教師的指導下，從日常生活中發現和提出簡單的數學問題，并嘗試解決。了解分析問題和解決問題的一些基本方法，知道同一個問題可以有不同的解決方法。體驗與他人合作交流解決問題的過程。嘗試回顧解決問題的過程?！?/p>

因此，在教學中，教師采用什么樣的方式既能解決學生學習過程中的難點，又能達成數學課程標準的要求，使學生在解決問題的過程中得到能力的提升？經過認真學習與思考，我們結合人教版教材二年級下冊第4頁例1的內容，借助多元表征進行了嘗試。

一、對多元表征的理解

問題表征是人們在解決問題時所使用的一種認知結構，具有多種形式。研究表明，問題表征的質量影響著問題解決的難易程度，甚至是問題能否成功解決的關鍵。

關于數學問題表征的多元性，目前有多種解釋。其中，美國心理學家卡帕特根據表征系統與被表征系統的關系，將數學問題解決中的表征分為四種類型：認知性表征；解釋性表征；數學內部表征；外部符號表征。美國心理學家葛登認為，數學問題解決涉及五種表征系統：自然語言系統；表象處理系統；形式語言符號操作系統；執行（啟發式）系統和情感系統。此外，美國數學教育心理學家萊什從交流的角度將數學表征分為以下五種：真實情境；具體操作；圖形與圖表；語言符號和書面符號。美國教育心理學家布魯納提出學習的三種表征方式：動作的、形象的和符號的，并認為這三者之間存在一種嚴格的遞進關系。

基于以上觀點，根據數學學科特點，我們認為學生在問題解決過程中有四種表征方式——動作表征、形象表征、語義表征、數學符號表征。對二年級學生而言，他們雖然有看簡單情境圖捕捉信息的能力，但從相對復雜的情境圖中提取有用信息、把握其數量關系有一定困難。在教學中，利用多種方式幫助學生表達自己對所研究問題的理解，可以幫助學生從較復雜的情境圖中捕捉有用的信息，把握數量關系，形成解決問題的思考方法，用解決問題策略多樣化應對學生實際情況復雜化，使學生獲得適合自己的方法。

二、對二年級學生在問題解決中表征方式的調研

二年級下學期，學生第一次接觸用兩步計算解決問題，教材從學生熟悉的生活情境入手，利用圖像、語義、符號表征，幫助學生經歷解決問題的全過程，感悟解決問題的一般方法，發展其解決問題的能力，培養他們的應用意識。

為了解學生是如何在讀懂圖意基礎上理解其數量關系、探尋解決問題的基本方法、檢驗所選擇方法正誤的，我們對學生進行了前測。分別以靜態和動態兩種不同方式呈現主題圖（將題目中來了13人改為來了8人，其他的不變），讓學生用自己的方式表示這幅圖的意思。調研對象為朝陽區某小學二年級兩個班學生，人數分別為32人和31人。調研結果如下：

雖然兩種情況下學生表征情況大體相同，但解決問題的策略相差很多。其中動態呈現情境圖，由于受動畫過程干擾，解決問題的思路比較單一；靜態呈現情景圖，有利于學生能從不同的視角觀察、理解圖意，解決問題的思路，有2至3種。

基于以上的學情調研，我們將課堂教學中靜態呈現情境圖讓學生用自己喜歡的方式表達對圖意的理解，在借助多元表征進行問題解決的過程中，幫助他們經歷解決問題的全過程，感受解決問題的基本方法，提升解決問題的能力。

三、借助多元表征提高學生解決問題能力

1.借助多元表征提高學生發現和提出簡單數學問題的能力。由于這是學生第一次正式接觸問題解決的題目，文字多、圖畫美、信息雜，給正確、迅速理解要解決的問題增加了難度，特別是中等、偏下學生，清楚知道已知信息是什么，要解決的問題是什么，是問題解決時遇到的第一個難點。在教學時，可借助運用幾種表征形式，幫學生從日常生活中發現條件與要解決問題之間的關系，并提出簡單的數學問題，以提高學生發現和提出問題的能力。

（1） 墊基礎——溝通教材中圖像表征和文字表征間的聯系。

師：“原來有22人在看戲”這句話是什么意思，指的是圖中的哪部分人，請你到前面指一指。（學生指，教師在學生指的基礎上把看戲的22人用紅圈圈起來。）

師：“我們也來看戲”這句話是什么意思，在圖中是哪部分人，請你到前面指一指。（學生指，教師在學生指的基礎上把又來看戲的13人用紅圈圈起來。）

師：“現在看戲的有多少人” 這句話是什么意思，指的是圖中的哪部分人，你是怎么知道的，請你到前面指一指。（幫助學生明白現在看戲的有多少人是我們要解決的問題，懂得現在看戲的有多少人是走了一部分人又來了一些人的時候，教師在學生指的基礎上把現在看戲的人用藍圈圈起來。）

師：這部分人（教師指虛線畫的6人），屬不屬于現在看戲的人？（再確認圖與要解決問題之間的關系。）

在溝通教材圖中文字、圖像之間關系的過程中，學生不僅知道題目中每句話的意思，還知道圖與文字間是有密切關系的，為把生活問題抽象為數學問題奠定基礎。

（2）明結構——將生活問題抽象為數學問題。

在充分理解教材圖中文字、圖像表征間的相互關系后，借助“請你用自己的語言敘述這幅圖的含義”的設問，讓學生經歷把所要解決的問題再內化、再梳理、再理解的過程；借助“請你用自己的語言邊說邊用手勢敘述這幅圖的含義——個人說、小組說、集體說”的設問，通過同伴間的互助，通過動作表征對題目的理解，明白所抽象出的數學問題：原來有22人在看戲，走了6人，又來了13人，現在有多少人在看戲？

2.借助多元表征提高學生分析和解決簡單數學問題的能力。在學生基本理解情境圖的基礎上，教師要讓他們用自己喜歡的方式表達對題目的理解，并讓別人看清楚。在這個過程中，學生用圖像、符號、文字等多種方式表達自己對題目的理解與思考，教師就更應幫其對所研究的問題再思考、再認識，并在寫、畫的基礎上提問：“誰讀懂他的想法了？”“他的圖表達什么意思，誰能給我們說明白？”借助這些研討性問題，引導學生經歷讀懂、傾聽、交流的過程，感受不同問題解決的思維路徑，獲得更多的問題解決的策略、方法，提高分析問題、解決問題的能力。下面以一個教學片段為例，詳細闡述我們的做法以及背后的思考。

師：（出示學生作品）這是我們班某個學生的想法，請你認真讀懂他的想法，用自己的語言把他的想法表達清楚。

生：這個同學畫了一個大圈表示原來有22人在看戲，在大圈上畫了一個小圈和向外走的箭頭，表示這6個人走了，不再看戲了，在大圈的左邊也畫了一個圈，有一個向里的箭頭，表示后來的13個人，問題是走了6人，來了13人的時候有多少人在看戲。

師：說得真好，誰能把這個想法再給我們說說。

師：除了有人用圖表達了自己的想法，還有人用了算式（符號表征），為了敘述方便，我們分別做個標記：

（1）22＋13＝35（人）35－6＝29（人）

（2）22－6＝16（人）16＋13＝29（人）

（3）13－6＝7（人） 22＋7＝29（人）

這3組算式和這個學生的圖、和我們要解決的問題有關系嗎？有什么關系？誰能解釋解釋。

生：其實他們是用算式表達了圖的意思，所表達的也是我們要解決的問題的意思：

第（1）組算式表示的意思是原來有22人在看戲，來了13人，走了6人后，有29人，他是按照先來后走的意思表示要解決的這個問題的。

第（2）組算式表示的意思是原來有22人在看戲，走了6人，來了13人后，有29人，他是按照先走后來的意思表示要解決的這個問題的。

第（3）組算式表示的意思是原來有22人在看戲，假設這部分人不動，把走的6個人看成是從來的13個人中走的，也可以表示要解決的這個問題。

通過這個片段我們發現，學生在讀懂他人的思維并用語言準確表達的過程中，不僅能借助一種表征方式尋求與之對應的另三種表征方式，進一步理解四種表征方式的意義以及四種表征方式之間的關系，感受各種表征方式間的同與不同，獲得適合自己的表征方式，還了解了分析問題和解決問題的一些基本方法，知道同一個問題可以有不同的解決方法。同時也體驗了與他人合作交流解決問題的過程。

總之，借助教材中的圖、文表征溝通它們之間的關系，借助學生的作品（圖像表征）、算式（符號表征）、動作（操作標準）、語言（文字表征）進行的數學學習活動，拉長了學生理解情境圖、感悟數量之間關系的過程，經歷了將一些生活問題抽象為數學問題的過程，突破了問題解決的難點。在這個過程中，學生不僅感受到數學知識的現實性，還初步學會從數學的角度觀察、發現、分析、解決實際問題，獲得問題解決的基本方法，培養了應用意識，提高了發現和提出簡單數學問題的能力，分析和解決問題的能力。（作者單位：北京市朝陽區教育研究中心）■

□責任編輯 孫恭偉

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