數學基本思想的內涵、特征及其教學意蘊

《數學》“2011年版課標”在課程總目標中明確提出，通過義務教育階段的數學學習，學生能“獲得適應社會生活和進一步發展所必需的數學的基礎知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗?！边@樣，“數學基本思想”成為了數學課程總目標的“四基”之一。

數學基本思想的內涵

數學課程標準修訂組組長、東北師范大學史寧中教授認為，數學基本思想主要有三個：一個是抽象，一個是推理，還有一個是模型。

抽象。抽象是數學活動中最基本的思維方法，也是數學化活動的一般思想方法。指人們在對客觀事物的屬性和特點進行分析、比較和綜合的基礎上，舍棄非本質的屬性，而抽取其本質屬性的思維過程，是人們用來接近事物本質和形成概念的思維方法。就小學階段而言，抽象方法主要體現在數學概念、原理的形成過程以及解決實際問題的過程中。對數學抽象方法的初步體會，不僅有助于培養學生的數學意識、數學眼光，而且有助于逐步提高他們的抽象水平以及分析和解決問題的能力。比如，學生認識分數時，就必須經歷一個逐步抽象的過程。從分蛋糕、分蘋果入手，學生在“均分”的活動中明白，過去經驗中最小的“1”還是可以繼續分下去的，只不過分得的結果就要用新的數來表示了。進而組織學生通過折紙、填圖等操作性活動，進一步明白線段、長方形、圓等都是可以像分蘋果那樣均分下去的。在此基礎上，我們還須繼續引導學生實現更高層次的抽象，即幫助學生掙脫對具體事物的束縛，理解作為均分對象的單位“1”具有更為一般化的意義，這樣，分數的概念才算是真正建立起來了。不難看出，越往高層次抽象，生活味會越淡，數學味越濃。當學生真正理解單位“1”時，幾乎就沒有生活味兒了。因為這世界根本就沒有單位“1”，有的只是2個瓶子、1個班的學生等具體的事物。這里的單位“1”已不再依賴于某一特定的物體而存在了，而是具有了無量綱性，能夠把事物許多原本不可比的狀態變成可比的狀態（如一群牛的■與一個足球場的■意義是不同的，但在討論分數時又是等價的）。所以有專家說：“數學在本質上研究的是抽象的東西，數學的發展所依賴的最重要的基本思想也就是抽象的?！?/p>

推理。推理是從一個命題判斷到另一個命題判斷之間的思維過程。如果是從一系列具體事實概括出一般原理的過程，那就稱為歸納推理；如果是從普遍性結論或一般性前提出發，推出個別或特殊結論的過程，那就稱之為演繹推理。例如，有8個男生在跳繩，7個女生在跳繩，還有12個女生在踢毽子，求跳繩和踢毽子共有多少人？我們既可以先求跳繩的人數，列出算式(8+7)+12計算，也可以先求女生的人數，列出算式8+(7+12)計算。這兩道算式的算理是等價的，得數也相同，因此可以寫成等式(8+7)+12=8+(7+12)。這種數學現象是不是具有普遍性的規律呢？這就需要在類似的情況中驗證。于是，學生會舉出更多的實例，如(45+25)+13和45+(25+13)，(36+18)+22和36+(18+22)?？纯疵拷M的兩道算式是不是分別相等，兩道算式中間能不能填上等號，再看看這些相等的算式有什么結構上的特點，進而在實驗中概括出加法結合律，并用字母寫成(a+b)+c=a+(b+c)。這樣，學生就經歷了由具體到一般的抽象、概括過程，不僅可以發現數學規律，而且能夠初步感受歸納的思想方法，使思維水平得到提升。反之，當學生學習了(a+b)+c=a+(b+c)以后，要求學生應用加法結合律進行27+48+52的簡便計算時，學生根據已經獲得的定義、定律、公式等，去解決一個個具體的問題，這便是一個演繹的過程，使得抽象的數學概念、規律和原理具體化，從而促進數學知識的理解和掌握，發展推理能力和思維能力。

模型。模型思想是指用數學模型方法處理和解決實際問題的一種思想。數學模型是溝通數學與現實世界的橋梁。就小學階段而言，主要有兩種模型，一個是：“部分量+部分量=總量”，還有一個是：“每份數×份數=總數”。我們平時所提到的單價、數量、總價，速度、路程、時間，以及工作效率、工作時間、工作總量等，本質上都屬于第二種模型。比如：“西安的大雁塔高64米，比小雁塔高度的2倍少22米。小雁塔高多少米？”學生列方程解決問題的關鍵是：通過適當的分析，找出大雁塔與小雁塔之間的相等關系，這樣就可以把題目中已知量與未知量放在同等的地位，能使思考過程變得更加順暢和靈活。事實上，該題中所列的方程以及這類方程更為一般的形式“ax±b=c”，正是解決一類實際問題的有效的數學模型。這個模型中的未知數或者未知量，通常就是所求實際問題的數值解，而方程的檢驗乃至對不同方程列法的進一步探索，可以理解為是對模型適切性的確定和完善。模型化的數學思想是20世紀下半葉隨著計算機技術的發展和進步而逐步發展起來的，是現代應用數學賴以解決實際問題的基本思想。

數學基本思想的教學意蘊

數學思想蘊含于數學知識和內容之中，又高于具體知識和內容的一種理性認識。它是聯系數學知識的紐帶，也是整個數學知識系統的生命和靈魂。它具有下面的一些特征。一是內隱性。數學思想是一種隱性知識，常常通過相應的數學概念和原理加以反映，起決定整個數學學習方向的作用。這不是靠教師講出來的，而是由學生自己在形式多樣的數學活動中悟出來的。二是概括性。數學思想是數學知識的“質”與“核”，它除了是具體數學成果的本質體現之外，更是這些成果背后深層次共性的概括。三是層次性。人們常采用“數學思想方法”這一說法，表明了思想與方法間的緊密關聯性。解題術→解題通法→數學思想→數學觀念，這一遞進關系，說明數學思想具有清晰的層次性。數學觀念是數學思想的最高境界，是一種認識客觀世界的哲學思想。雖然從形式上看，數學觀念幾乎無跡可尋，但它卻在不知不覺中支配著一個個體的數學活動。我們通常說的“用數學的眼光看待周圍世界”“用數學方法處理周圍事物”，事實上正是著眼于數學觀念而言的。

由這些特征所決定，教學時我們應采用與之相匹配的策略進行滲透，循序漸進。學生發展數學基本思想不可能一蹴而就，更不是通過一兩道題練習就能培養起來的。因此，學生理解和形成數學基本思想需要一個過程，并在這個過程中，逐步豐富認識、積累經驗、加深感悟。當教學呈現相應的數學內容與思想方法時，應根據學生年齡特征與知識積累，在遵循科學性的前提下，采用逐級遞進、螺旋上升的原則。

化隱為顯。以定義、概念、定理、法則、公式等為要素構成數學邏輯體系中所隱含著的數學思想，只是這一邏輯體系由于經過了高度的歸納、概括，掩蓋了數學思維的真實過程，掩蓋了數學思想產生的原始過程，學生所看到的只是數學研究的結果。這些被“掩蓋”的過程如何挖掘出來？“數學對話”不失為一種好方法。亦即通過類比、隱喻、假設、傾聽和深度談話等，把隱性的數學基本思想得以顯性化。

師：右圖中的兩條直線平行嗎？

生：不平行，因為一條線長，而另一條線短短的。

師：如果要把它們變成平行線，有什么辦法嗎？

生：可以把這條短的線畫長些（操作演示）。

師：現在看上去一樣長了，它還是原來的那條線么？

生：是的。

師：那還可以繼續延長么？

生：可以（操作演示）。

師：現在看上去反而比另一條直線長了，它們還平行么？

生：（笑了）不延長這條直線它們也是平行的。

上述簡短的對話中蘊含著極限的思想、變與不變的思想等，學生先行暴露思維，教師再通過歸謬的方式，讓學生感悟出其中的道理。這樣就能寓思想方法的教學于完善學生的知識結構和教學問題的解決之中。

探索發現。在滲透數學基本思想的過程中，教師要創設富有挑戰性的問題情境，讓學生在探索中領悟蘊含于數學之中的種種數學思想，切忌生搬硬套，和盤托出。如教學“三角形”時，教師可提供4根小棒（4 cm、5 cm、6 cm、10 cm），讓學生從中任選三根擺三角形。學生通過操作發現，能擺成三角形的是：5 cm、6 cm、10 cm和4 cm、5 cm、6 cm，不能擺成三角形的是：4 cm、5 cm、10 cm和4 cm、6 cm、10 cm。從而產生“三角形任意兩邊之和大于第三邊”的猜想。對此，還可再通過更多事例進行驗證，并進一步悟出“如果兩根小棒的長度和小于第三根小棒，就無法搭成三角形”的道理，這樣學生經歷了“觀察——操作——猜想——驗證”的過程，滲透了歸納的數學思想。

引導反思。教師要有意識引導學生自覺反思自己的思維過程，使獲得的“數學思想方法”更明晰、更深刻，進而引導學生自覺運用學到的思想方法去解決實際問題。要反思自己是怎樣發現問題、分析解決問題的，在這一思維過程中又是怎樣應用“數學思想方法”的，包括用了哪些基本的思考方法和技巧，積累了哪些有益的成功經驗，又是怎樣去拓展和延伸的等等。這樣就使他們學會不斷從自己顯性的觀點和想法中分析自己所使用的那些緘默的認知模式，從而不斷提高他們元認知水平，提高對自己的學習行為進行自我分析和自我管理的能力。

抽象、推理和模型，是處于核心地位的數學基本思想，但發展這些數學基本思想卻需要培養學生的綜合能力，包括聯想能力、化歸能力、探索能力、分類能力、歸納總結能力等等，只有兼顧標本，才能使數學基本思想的培養在教學中真正落到實處。(作者單位：江蘇省南京市石鼓路小學）■