復(fù)數(shù)的高路遷移

摘要：數(shù)學(xué)是中職學(xué)生學(xué)習(xí)專業(yè)課的必不可少的重要課程，然而如何能讓學(xué)生實(shí)現(xiàn)有效的過渡和銜接，促使學(xué)生輕松地學(xué)習(xí)專業(yè)課程是我們需要研究的問題。本文筆者給出了一個(gè)具體課例，詳細(xì)講述了復(fù)數(shù)在專業(yè)中的應(yīng)用，給出了成功“遷移”的方法。

關(guān)鍵詞：遷移；復(fù)數(shù)；三角形式；極坐標(biāo)形式

中圖分類號：G642.41 文獻(xiàn)標(biāo)志碼：A 文章編號：1674-9324（2012）12-0191-03

[案例背景]

復(fù)數(shù)不僅是數(shù)系的擴(kuò)充，更成為了“機(jī)電應(yīng)用專業(yè)”學(xué)生學(xué)習(xí)交流電必不可少的工具。“為了遷移而教”的觀點(diǎn)影響著我們。而復(fù)數(shù)的學(xué)習(xí)更是為了學(xué)生的高路遷移。學(xué)生已經(jīng)掌握了復(fù)數(shù)的基本知識，包括復(fù)數(shù)的定義、代數(shù)形式的四則運(yùn)算、三角形式、指數(shù)形式等。如今面臨的問題是學(xué)生能否做到在學(xué)習(xí)《電工基礎(chǔ)》這門專業(yè)課用到復(fù)數(shù)理論時(shí)實(shí)現(xiàn)高路遷移。根據(jù)過往的經(jīng)驗(yàn)看，畢竟專業(yè)中的復(fù)數(shù)與數(shù)學(xué)的復(fù)數(shù)不完全相同，包括符號的變更、名稱的叫法等，從而大多數(shù)學(xué)生無法有效地實(shí)現(xiàn)遷移。這就造成了專業(yè)課教師費(fèi)時(shí)費(fèi)力地又將復(fù)數(shù)當(dāng)成新知識重新開講。因此，我們的數(shù)學(xué)教師需要搭建一座橋梁，構(gòu)架數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)與專業(yè)復(fù)數(shù)的連接點(diǎn)。本節(jié)課例從復(fù)習(xí)課的角度出發(fā)，讓學(xué)生自己體會(huì)專業(yè)中復(fù)數(shù)符號變更的理由，掌握專業(yè)復(fù)數(shù)四種形式互相轉(zhuǎn)換的方法，使數(shù)學(xué)課成為學(xué)生主演的課堂。本節(jié)課的目的不是增加學(xué)生的負(fù)擔(dān)，而是通過引導(dǎo)、點(diǎn)撥，教會(huì)學(xué)生遷移的辦法，讓學(xué)生能夠通過本節(jié)課發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的高路遷移。本案例利用“遷移”理論，通過“任務(wù)驅(qū)動(dòng)”進(jìn)行鋪墊，幫助學(xué)生在現(xiàn)有知識水平的基礎(chǔ)上成功地實(shí)現(xiàn)學(xué)習(xí)任務(wù)的跨越。

[有效鋪墊1]——概念

復(fù)習(xí)活動(dòng)：為過渡和引入專業(yè)復(fù)數(shù)作鋪墊。

任務(wù)1：學(xué)生說出復(fù)數(shù)的代數(shù)形式、三角形式、指數(shù)形式的寫法。

代數(shù)形式：a+bi 三角形式：r（cos？茲+isin？茲） 指數(shù)形式：rei？茲

任務(wù)2：將復(fù)數(shù)代數(shù)形式轉(zhuǎn)化成三角形式。

說明：任務(wù)2是復(fù)數(shù)部分的難點(diǎn)，在學(xué)生有困難的情況下需要教師點(diǎn)撥、指導(dǎo)。

點(diǎn)撥1：你能將復(fù)數(shù)a+bi在直角坐標(biāo)系中表示出來嗎？

點(diǎn)撥2：你能在圖中找到復(fù)數(shù)三角形式中所對應(yīng)的嗎？

點(diǎn)撥3：？茲是哪個(gè)角？請?jiān)趫D中標(biāo)出。（注意角的旋轉(zhuǎn)方向和范圍）

學(xué)生答角的旋轉(zhuǎn)方向：逆時(shí)針方向。

學(xué)生答角的范圍：[0，2？仔]或[0°，360°]

[有效鋪墊2]——運(yùn)算

復(fù)數(shù)的運(yùn)算有加減乘除四種。復(fù)數(shù)的形式有三種。

提問：求z1±z2，z1和z2選擇何種形式？

[自然過渡]

教學(xué)片斷：

教師：我們已經(jīng)學(xué)習(xí)了數(shù)學(xué)中的復(fù)數(shù)，下面我們將探討專業(yè)課《電工基礎(chǔ)》中的復(fù)數(shù)。數(shù)學(xué)中復(fù)數(shù)的代數(shù)形式是a+bi，其中i是虛數(shù)單位。請問：在你們專業(yè)中，i代表什么？

學(xué)生：電流。

教師：i既是虛數(shù)單位，又是電流，妥當(dāng)嗎？

學(xué)生：不妥當(dāng)。

教師：那怎么辦呢？

學(xué)生：把復(fù)數(shù)中的i換個(gè)字母。

教師：對，我們專業(yè)中用符號j表示虛數(shù)單位（在專業(yè)中也叫90°旋轉(zhuǎn)因子），專業(yè)中的復(fù)數(shù)代數(shù)形式表示為：a+jb。你們能得出專業(yè)中復(fù)數(shù)的三角形式和指數(shù)形式嗎？

學(xué)生：把i通通換成j。三角形式：r（cos？茲+jsin？茲），指數(shù)形式：rej？茲。

[成功遷移]

專業(yè)《電工基礎(chǔ)》銜接閱讀：

正弦交流電的表示方法有四種，其中有一種是復(fù)數(shù)表示法。復(fù)數(shù)形式的應(yīng)用主要用于兩個(gè)以上同頻率正弦量的合成，在交流電路的分析計(jì)算中經(jīng)常用到。在專業(yè)中復(fù)數(shù)也有代數(shù)形式、三角形式、指數(shù)形式，還有其獨(dú)特的復(fù)數(shù)的極坐標(biāo)形式也稱相量形式。

u=a+jb（復(fù)數(shù)的代數(shù)形式）

=r（cos？茲+jsin？茲）（復(fù)數(shù)的三角形式）

=rej？茲（復(fù)數(shù)的指數(shù)形式）

=r∠？茲

我們發(fā)現(xiàn)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式和三角形式的互相轉(zhuǎn)化是實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)的四種形式間互相轉(zhuǎn)化的關(guān)鍵。由于專業(yè)中？茲的規(guī)定與數(shù)學(xué)中略有不同，因此專業(yè)中求？茲只需用計(jì)算器按出arctan■的結(jié)果就可以解決。

點(diǎn)評：上面兩幅圖形象地給出了數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的三角形式和專業(yè)復(fù)數(shù)中的三角形式的區(qū)別，為知識的遷移打好了基礎(chǔ)。

u=a+jb（代數(shù)形式）■

■

u=r（cos？茲+jsin？茲）（三角形式）u=rej？茲（指數(shù)形式）u=r∠？茲（相量形式）

[專業(yè)應(yīng)用]

專業(yè)中正弦量一般表示成函數(shù)式，但這種形式難以進(jìn)行正弦量的加減乘除等運(yùn)算。我們從數(shù)學(xué)中尋求簡便的辦法，這就是復(fù)數(shù)。而正弦交流電的合成（相加）關(guān)鍵是變形和還原。第一步變形，先將正弦量變形成復(fù)數(shù)的相量形式表示；再將相量形式利用數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)知識，變?yōu)榇鷶?shù)形式。第二步相加，利用數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的加法知識，得到代數(shù)形式的結(jié)果。第三步還原，先將代數(shù)形式還原成相量形式；再將相量形式還原成正弦量的表示。

i=Imsin（？棕t+？漬）（正弦量函數(shù)表示）

■=■∠？漬（正弦量復(fù)數(shù)表示）

將i用復(fù)數(shù)的相量形式表示時(shí)，使用符號■；同理，將u用復(fù)數(shù)的相量形式表示時(shí)，使用符號■。

舉例：已知

u1=10■sin314tV，u2=15■sin（314t+90°）V，

u3=5■sin（314t-90°）V，求：u=u1+u2+u3。

解：第一步：變形

u1=10■sin314t■■1=■∠0°=10∠0°■■1=10

u2=15■sin（314t+90°）■■2=15∠90°■■2=j15

u3=5■sin（314t-90°）■■3=5∠-90°■■3=j（-5）

第二步：相加

■=■1+■2+■3=10+j15+j（-5）=10+j10

第三步：還原

■=10+j10■■=10■∠45°■u=20sin（314t+45°）

練習(xí)：已知

u1=4■sin314tV，u2=3■sin（314t+90°）V，求：u=u1+u2。

[案例設(shè)計(jì)的理論和實(shí)踐分析]：

遷移理論認(rèn)為：先前學(xué)過的東西對現(xiàn)在正在進(jìn)行的學(xué)習(xí)產(chǎn)生一定的影響；或原先解決的某個(gè)問題影響新問題的解決，這時(shí)候就產(chǎn)生了遷移（Mayer Wittrock，1996）。研究和經(jīng)驗(yàn)表明學(xué)生可以掌握新的知識，問題解決的方法，學(xué)習(xí)策略，但是在沒有提示或指導(dǎo)的情況下就無從下手。薩洛蒙和珀金斯（Gavriel Salomon David Perkins，1989）描述了兩種遷移，分為低路遷移和高路遷移。在相近情境中的自發(fā)、自動(dòng)遷移是低路遷移。而學(xué)習(xí)復(fù)數(shù)的運(yùn)算、復(fù)數(shù)的三角形式、指數(shù)形式就是為了能在專業(yè)中有所應(yīng)用。高路遷移是一種高層次的遷移，因此本節(jié)課的目的是為了學(xué)生能實(shí)現(xiàn)數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)的高路遷移。而實(shí)踐的教學(xué)發(fā)現(xiàn)，由于學(xué)生年齡和經(jīng)驗(yàn)的限制，以及學(xué)生學(xué)習(xí)能力的薄弱，導(dǎo)致他們無法在學(xué)習(xí)專業(yè)課時(shí)實(shí)現(xiàn)復(fù)數(shù)知識的高路遷移，最后的結(jié)果就是專業(yè)老師得將復(fù)數(shù)的知識當(dāng)作新知識重新再講一遍，更為悲哀的是即使再講一遍，很多的學(xué)生仍然不會(huì)。針對這種情況，數(shù)學(xué)老師專門研究了一下專業(yè)中的復(fù)數(shù)知識，發(fā)現(xiàn)專業(yè)復(fù)數(shù)內(nèi)容與數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)內(nèi)容大同小異，但專業(yè)中講解沒有數(shù)學(xué)中細(xì)致，即使例題也有很多的跳步驟，作為初中數(shù)學(xué)基礎(chǔ)本就薄弱的學(xué)生而言根本無法理解。因此，本節(jié)課從打通數(shù)學(xué)與專業(yè)的角度出發(fā)，設(shè)計(jì)了一堂用數(shù)學(xué)的精細(xì)化思想講解專業(yè)中復(fù)數(shù)知識的數(shù)學(xué)課。首先將學(xué)生所學(xué)的數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)做一個(gè)總結(jié)，接著引入專業(yè)復(fù)數(shù)。讓學(xué)生自我感悟，發(fā)現(xiàn)知識的連貫與承上啟下。另外，設(shè)計(jì)中有些自制圖表，形象地給出了數(shù)學(xué)復(fù)數(shù)與專業(yè)復(fù)數(shù)的異同，方便學(xué)生的高路遷移。最關(guān)鍵的是學(xué)生應(yīng)用知識解決問題的能力。對此，設(shè)計(jì)中給出了程序性步驟，這是專業(yè)課教授中不可能給出的。而程序性知識學(xué)生易于掌握和應(yīng)用，班級絕大多數(shù)學(xué)生都能體會(huì)。

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