用“眼睛”做數學題

柏拉圖主義者認為數學的研究對象是一個永恒不變的、觀念的王國，數、幾何對象是恒久存在于客觀世界里的，它是一種“范式”，也就是說，數學相對于我們的現實自成一個世界。因此，數學基于證明之上。反對者則認為數學只是一種心靈活動，布勞威說：“唯有憑借內省的構造推演定理，嚴格以這種觀點對待的數學稱為直覺主義數學……它背離經典數學……因為經典數學相信存在不可知的真理。”他們認為數學只是解釋世界為何是這樣的一種方法，它并不是唯一的方法，而且當數學思維發生了改變，世界的樣貌會以另一種方式建造。因此，數學基于觀察之上，而不是證明。

這兩種觀點的爭論在整個數學發展史上從來都沒有停止，孰是孰非，這是一個幾乎等同于“先有雞還是先有蛋”的問題，但毋庸置疑的是，數學學科也因爭論的深化而不斷壯大發展。“日心說”與“地心說”相較而言，聽從前者所依賴的數學模型要簡單得多，而如果假設地球是靜止不動，太陽圍繞著地球轉動，由此建構起來的數學模型則要復雜得多，人類之所以選擇“日心說”并不是因為它是正確的，而是因它這種模型簡單、有效率。但對思維運動有著興趣的人知道，后者所提供的想象空間顯然更讓人著迷。同理，我們在數學教學中歷來重視的是證明而非觀察，適當讓視覺作為一種思維參與到數學中，對原有教學模式是一種有益的補充。

視覺何以能夠是一種思維？人在認識世界時所感知到只能是個別的事物，由于世界紛蕓蕪雜，因此對其進行分類便勢在必行了，所有“木本植物”都稱之為“樹”，而所有“草本植物”便都稱之為“草”，抽取出普遍性，清除一切感性的、具體的性質，這就是抽象。當我們看到一棵已存活五百年的非洲白橡樹，我們跟孩子說“這是一棵樹”，我們就是把抽象的知識當成具象知識教給了孩子。人類長期的生活經驗不斷累積，對世界的認識逐漸上升到很高的抽象層次，在描述世界時已逐漸遠離形象的感知，而直接以概念或邏輯來界定。我們在看東西的時候注意到這個而未注意那個，說明視覺的選擇本身就是一種思維，它反映了看的人內在的思維樣式。

某種意義上說，我們的教育從來都是抽象教育而非形象教育，我們視覺所見都是作為思維的結果而出現的。而所謂思維過程，就視覺而言是一種視覺形象的“關系”組織，就概念而言，則是概念之間的“關系”組織。比如我們遠遠看到一個熟悉的人，我們還沒看清楚其面容，但還是可以認出他是誰，這正是因為他的行為舉止、形狀輪廓已抽象為一種形式留在我們的頭腦里，頭、手、腳擺動的姿勢相互配合所構建的關系模式與我們平時對他的認知達成一致，像一個模件嵌入一個“范”，我們認出這個人。由于概念本身具有的抽象性，概念的推演、證明必然導致數學的直觀性逐漸被剝離，因此還原觀察傳統，回歸直覺的形象性有助于數學學習達于明晰，從而創造更多創造性成果。

首先，在數學學習中必須確立數是一種形象的觀點。在我們的教學中，我們教給學生“數”的概念的時候，總是把“５”和５個“蘋果”、５根“鉛筆”等具體的事物等同起來，這是一種把數字問題以具體生活情景裝扮起來的數學教學方法。問題在于，把純數量和感性形態的事物放置在一起時，學生必須經過大量的比較辨析才能將“５”所代表的秩序、數量和結構及其它意涵，同許多具體事物分離開來，這就造成了思維上的相互干擾。這種教育方法基于一種認識：認為數量關系一定要同直接的知覺經驗相聯系，只有以周圍的實物把它們再現出來才有可能。心理學的研究表明，“人在六歲到九歲時，他的抽象能力便達到高峰”，因此，這種教學法只能說是思維能力訓練的倒退，它對認識的發展是一種抑制性倒退。每一個數字首先是一個知覺實體（或者說一種視覺對象），“１”是一個實體，“２”是一個實體，“１”與“２”之間體現的是一種“關系”，將“２”分割為各一半則為兩個“１”，減少一半則為一個“１”，當我們理解了這種視覺形象間的關系，也就領悟了一種量的關系模式，這樣我們就把“純粹的量”從生活具象中分離了出來。

（a+b）2同樣可以作為一個視覺形象，不過它是幾個視覺形象的組合。a是一個視覺形象，b是一個視覺形象，＋和2則各是一種關系模式。如圖1，通過視覺形象的組合，我們很容易理解這個代數式其實等于a2加上b2再加上的２倍。

整個數學建基于１１個基本運算法則之上，而這些法則都建立于視覺思維的直覺之上。以乘法交換律為例，人們觀察到這樣一個圖形（圖2）。圖上有兩排點，每排各三個點，也就是：２·３＝３·２。對于更多的點數，即代數式中的更大的整數，乘法交換律同樣成立。在１１個基本運算法則得以確立之后，數的純形式的理念也就應時而生。在萊布尼茲思想影響下，希爾伯特則宣稱，可以用字母符號a，b，c……來進行運算，這些符號實際上代表著任意整數，但心里卻不必記著它有實際的數的意義。也就是a，b，c……是沒有具體意義的東西，它們與具象完全脫離了關系，而成為完全的視覺符號，進而數學與邏輯成為一個系統。

確立數是一種形象的觀點，意味著把學習的主要精力放在形象與形象的關系模式的理解之上，對于數學學習來說，這是一種直抵本質的認識方法。

在數學學習中注重視覺思維，通過直觀解決問題，可以拓展數學思維，從而使證明與觀察達于和諧完善結合。古印度數學家為證明“一個以圓的直徑為底邊的三角形永遠是一個直角三角形”這一定理，采用的方法非常直接。他們從三角形的頂點引出一條通過圓心的弦，然后再把其他點連結起來，便形成一個矩形，如圖3。原來的三角形與此三角形構成對稱，其頂點的角是一個直角，一看便知，根本無須證明。

用幾何處理代數問題，這正是運用視覺進行的思維過程。舉一個例子，未知數為x的實代數方程

f（x，?姿）=0

其中出現一個參數?姿。如果用第二變量y代替?姿，

把f（x，y）=0

當作x，y平面上的一條曲線（圖4），那么就能以最簡單的方式找到一個幾何表示：這條曲線與平行于x軸的直線y=?姿的交點，就是方程f（x，y）＝0的實根。 當我們大致畫出這條曲線（如果它不太復雜就很容易畫），再讓平行線隨?姿的變化而變化位置，我們就能一眼看出實根數目的變化。當f關于?姿是線性關系時，這種方法就特別有效。舉一個高考例子：

設函數f（x）=x3+bx2+cx+d， k是常數。已知當k<0或k>4時，方程f（x）-k=0只有一個實根，當0

①方程f（x）-4=0與方程f ′（x）=0有一個相同實根；

②方程f（x）=0與方程f ′（x）=0有一個相同實根；

③方程f（x）+3=0的任一實根大于方程f（x）-1=0的任一實根；

④方程f（x）+5=0的任一實根小于方程f（x）-2=0的任一實根；

其中正確命題的個數為

A. 3 B. 2 C. 1 D. 0

本題若用代數方法解題就較為困難，但如果用上述方法就顯得輕而易舉：畫出大致圖形（圖5），這條曲線與平行于x軸的直線y=k的交點， 就是方程f（x）=k實根。 由已知條件易得，當k=0或k=4時，方程f（x）=k有兩個實根。由圖形可直接看出方程f ′（x）=0有兩個實根，也就直接觀察出①②④是正確的，故選A。

古希臘哲學家普洛泰戈拉說：“人是萬物的尺度。”世界的面貌很大程度上是由人類“看”的方式建造起來的。上述例子大多還是用“看”來作出證明，如果視覺思維能直接成為數學的思維，為數學確立新的公理，或許數學的世界將更開闊。

(作者單位：福建泉州泉港第六中學)

本欄責任編輯 李淳