GPS精密鐘差內插方法研究＊

李大章，顧和和，李研巖，齊星星

（1.中國礦業大學 環境與測繪學院，江蘇 徐州221116；2.中國礦業大學江蘇省資源環境信息工程重點實驗室，江蘇 徐州221116；3.上海中房測繪有限公司，上海200434）

0 引 言

在GPS精密單點定位中，精密星歷的內插誤差是影響其定位精度的主要誤差源之一，衛星精密星歷軌道誤差就成為主要的誤差源。將IGS提供的15min或5min間隔的精密衛星軌道加密到用戶所需采樣間隔時，需仔細考慮是否滿足預期的精度要求［1］。若將插值方法用于測量方面，為了得到較高的定位或定軌精度，比較、研究不同的精密衛星軌道內插方法有著十分重要的意義。主要研究了拉格朗日插值和切比雪夫插值擬合法，并對兩種方法進行了精度評定，作了對比分析。

1 GPS精密軌道鐘差內插方法

1.1 拉格朗日多項式插值方法

若存在一個次數為n的多項式lk（x），在n個節點xi（i＝0，1，…，k－1，k＋1，…，n）上lk（x）的值為0，在節點xi上其值為1，lk（x）為節點xi（i＝0，1，…，n）上的拉格朗日插值基函數，通過節點值為0可以設lk（x）＝Ak（x－x0）（xx1）…（x－xk－1）（x－xk＋1）…（x－xn），Ak為待定系數，通過lk（xk）＝1可求出Ak，于是

取k＝0，1，2，…，n，得到n＋1個拉格朗日插值基函數［2］。

以l0（x），l1（x），…，ln（x）的線性組合表示的n次多項式為

設在時間間隔［t0，t0＋Δt］內的n＋1個節點［3］上的衛星鐘差為：Z0，Z1，…，Zn，則在該時段內衛星的鐘差可用拉格朗日插值公式來表示

利用式（4）對衛星鐘差進行插值，得到觀測時刻衛星的鐘差，但是拉格朗日存在龍格現象，當n→∞時，如果插值點選取得不合適的話，函數li（t）在某些點不收斂于觀測值，這種插值多項式次數增大反而不能更好地近似被插值的現象稱為龍格現象；因此以拉格朗日插值為基礎的算法應用受到了其影響［4］。

1.2 切比雪夫多項式插值方法

若x＝cosθ，則Tn＝cosnθ，0≤θ≤π，這是Tn（x）參數表示.利用三角公式可以將cosθ展成cosθ的一個n次多項式，故式（5）是x的n次多項式。其遞推公式

式中：T0（x）＝1；T1（x）＝x.

由x＝cosθ，Tn＋1（x）＝cos（n＋1）θ，利用三角公式

由式（6）可推出T2（x）到T6（x）的表達式

假設需要在時間間隔［t0，t0＋Δt］內計算n階切比雪夫多項式系數。其中t0為起始歷元時刻，Δt為擬合時間區間的長度。將變量t∈ ［t0，t0＋Δt］變換成τ∈［－1，1］

則衛星鐘差Z的切比雪夫多項式為

式中：n為切比雪夫多項式的階數；CZi分別為鐘差分量的切比雪夫多項式系數。

設Zk為觀測值，則誤差方程為：VZk＝，誤差方程的矩陣向量表達式為：VZ＝BM－fZ，這是一個間接平差的誤差方程的形式，為了求唯一解，采用最小二乘法［4］，使M滿足VTV＝min.求得法方程為NM－U＝0式中：N＝BTB，U＝BTfZ.解得M＝N－1U.M各分量便為切比雪夫多項式擬合系數CZi.同理，對Y、Z分量完成上述類似的計算便可以得到關于某一GPS衛星在［t0，t0＋Δt］內各鐘差分量切比雪夫多項式擬合系數CZi，利用這些系數根據以上式子就可以計算［t0，t0＋Δt］時間區間內任意時刻的衛星鐘差［5］。

2 算例及結果分析

為了分析與比較兩種內插方法的精度，選取了IGS數據中心2011年2月11日的二號衛星的15 min精密星歷數據來進行鐘差插值精度分析，因為內插方法可能會在樣本端點處出現較大波動，內插時選定0：30到22：30這個時段，在這個時段內等間隔選取一些樣本點，再根據這些樣本點計算多項式系數，由多項式來每隔5min內插一次，并將采樣間隔為30s中5min數據作為真值 ，將兩者進行比較來分析內插的精度。

2.1 插值方法的最值、均值精度分析

由圖1和表1可看出，在階數從6到15的情況下，拉格朗日插值和切比雪夫擬合鐘差的精度可以達到亞毫秒級，拉格朗日插值的最大誤差為4.204e－10s，切比雪夫的最大誤差為4.058e－10s；從中可以看出隨著切比雪夫插值和拉格朗日插值階數的增加，均值隨之變大，最值跳動浮動變大，穩定性下降，精度變低；而這兩種插值中，拉格朗日插值的精度相對較差，但兩者比較差別并不顯著。如表1所示拉格朗日插值的平均誤差比切比雪夫插值的平均誤差大，所以它的精度低一些。

圖1 各階插值方法的鐘差誤差

表1 各階不同插值方法誤差最值、均值精度比較

2.2 插值方法各階數均方差比較分析

圖2示出了等時間間隔下兩種插值方法各階數得出的鐘差插值均方差精度。

圖2 各階插值方法的鐘差均方差

由表2可看出在確定時間間隔為5min的情況下，拉格朗日多項式不同階數的內插精度可由均方誤差看出，6階多項式內插的鐘差插值的RMS為1.275e－10s，在各階中為最小值，且隨著階數增加，RMS隨之變大；同樣切比雪夫插值在6階時取得最小鐘差插值的RMS為1.260e－10s，RMS隨著階數增加而增大；但是切比雪夫的整體RMS比拉格朗日的RMS低，說明切比雪夫的插值精度相對較高；從圖2也可看出切比雪夫插值的鐘誤差曲線沒有拉格朗日插值的光滑，出現這個結果的原因主要是由于偶數階的插值精度高、奇數階的插值精度低造成的，而其中切比雪夫插值受的影響要比拉格朗日插值受的影響大。

表2 間隔5min插值方法各階數得出的鐘差均方差比較

3 結 論

主要以IGS提供的30s間隔的鐘差數據作為參考，通過拉格朗日多項式和切比雪夫多項式對IGS提供的15min的精密星歷鐘差進行5min間隔插值。從插值結果看，采用這兩種插值方法對衛星鐘進行內插時，當階數比較低時插值精度差別不是很大，同樣也說明在用多項式進行插值時并非階數越高精度就越高。在實際應用中，顯然，選擇切比雪夫插值比拉格朗日插值精度要高一些，但如果選擇適當的階數這兩種插值得到的衛星鐘誤差都能夠達到一般工程精度要求。

［1］ 韓保民，歐吉坤.基于GPS非差觀測值進行精密單點定位研究［J］.武漢大學學報·信息科學版，2003，28（4）：409－412.

［2］ 曹德欣，曹瓔珞.計算方法［M］.2版 .徐州：中國礦業大學出版社，2001.

［3］ 洪 櫻，歐吉坤，彭碧波.GPS精密星歷和鐘差三種內插方法的比較［J］.武漢大學學報，2006，31（6）：516－518.

［4］ 李慶揚，關 治，白峰杉.數值計算原理［M］.北京：清華大學出版社，2001.

［5］ 蔡艷輝，程鵬飛，李夕銀.衛星坐標的內插和擬合［J］.全球定位系統，2003，28（3）：10－13