基于半正定松弛的MIMO系統下行鏈路預編碼方案

李新民 白寶明

①(西安電子科技大學綜合業務網理論及關鍵技術國家重點實驗室 西安 710071)

②(西安科技大學 西安 710054)

1 引言

近年來基于每個用戶的信漏噪比(SLNR)的MIMO系統廣播信道預編碼技術得到了較多關注[1-4]。在基站完全已知信道狀態信息時，文獻[1]定義了各用戶的信漏噪比，并給出了最大化信漏噪比時的預編碼矩陣的閉式解，發現其比迫零(ZF)預編碼方法具有更好的誤碼率性能和更高的系統和容量。文獻[2]指出在低噪聲方差時，最大化信漏噪比方法存在同道干擾抑制和噪聲干擾抑制不平衡問題，提出將噪聲方差項進行分段修正來設計預編碼器，從而提高了系統的誤碼性能和容量。文獻[3]將其結合Alamouti編碼進行性能研究，并給出了在具有估計誤差的信道狀態信息時預編碼矩陣的修正解。這些方法均利用廣義瑞利商獲得每個用戶的預編碼矢量，以使所有用戶均具有最大的信漏噪比，然后利用矢量的2范數進行功率的歸一化處理，從而控制基站的發射總功率。這類方法被稱作最大化信漏噪比方法。文獻[4]使各個用戶的不同數據通道的SLNR更加均衡，提高了系統在高信噪比情況下的誤碼率性能。

本文分析發現每個用戶功率歸一化的功率控制方式降低了用戶的信漏噪比，使其不能達到最大的可得信漏噪比。尤其在低噪聲方差時，用戶的實際信漏噪比下降得更大，帶來誤碼性能的損失。因此本文提出信漏噪比約束下最小化發射總功率的預編碼器設計，而不是追求用戶的信漏噪比最大化。本文使用凸優化方法求解目標問題。

凸優化方法用于通信和信號處理中可以很方便地對于設計的目標問題進行分析和數值求解，所以得到了廣泛的重視[5]，近年來逐漸被用來進行MIMO 系統廣播信道的預編碼器的設計[6-8]。文獻[6]利用凸優化理論的方法設計了滿足信干噪比(SINR)要求的多播信道發送波束形成矩陣，顯示出凸優化理論能夠有效解決波束形成問題。文獻[7]在基站已知具有一定估計誤差的信道狀態信息時，利用半正定優化的方法給出了 MIMO廣播信道預編碼器的設計，從而使每個用戶滿足一定的信干噪比約束下最小化基站的發射總功率。文獻[8]則利用半正定優化給出了已知部分信道狀態信息時的Tomlinson-Harashima預編碼器的設計。

本文利用半正定松弛方法求解滿足信漏噪比約束下的最小發射總功率的預編碼矩陣，并且要求其滿足一定的功率控制門限，設計所得的預編碼系統能夠有效降低基站發射總功率并獲得較好的系統誤碼率性能。

2 系統模型及問題的表述

考慮由一個基站和K個用戶構成的廣播信道模型，假定基站有nT根發射天線，每個用戶均有1根接收天線，如圖1所示。

本文考慮基站完全已知每個用戶信道狀態信息的情形。用戶k接收到的信號為

其中dk為需發送給用戶k的數據，(要求 E [|dk|2]= 1 ),pk為基站對用戶k的nT維預編碼列向量，hk為基站到用戶k的無線信道響應矩陣，大小為1×nT。nk為落入用戶k接收機的高斯白噪聲，均值為零方差為。這樣可定義用戶k的信漏噪比為[1- 4]文獻[1-3]均是求解使SLNRk最大化的pk，這是一個廣義的瑞利商問題，即最佳的pk對應于矩陣對的最大廣義特征值所對應的特征向量(H表示共軛轉置)。然后進行功率歸一化處理使滿足：這樣預編碼后不增加發送天線的總功率。

圖1 MIMO系統下行鏈路模型

觀察式(1)中SLNR的定義，可以發現功率歸一化有以下不足：(1)在噪聲方差較小時，直接忽略其對SLNR的影響可以看出，功率歸一化并不是有效的功控方法，發射功率有進一步降低的可能。(2)功率歸一化后不能保證每個用戶仍能得到最大的信漏噪比。表1給出了在不同噪聲方差時功率歸一化前后用戶信漏噪比的比值的平均值，這是對1000個隨機生成的瑞利衰落信道仿真所得。從表可見，功率歸一化后用戶的信漏噪比降低了，尤其在高信噪比時下降的幅度更大。

表1 功率歸一化處理前后用戶信漏噪比的比值

因此本文求解在SLNR約束下最小化基站的發射功率問題，以期給定較大SLNR門限時得到較好的系統性能，即求解

3 利用半正定松弛求解最佳預編碼器

使用半正定松弛的理論求解目標問題。將式(2)代入式(3)得

式(4)是二次約束的二次優化問題(QCQP)，是一個NP-hard問題。本文利用半正定松弛(SDR)獲得一個具有較好性能的近似解。首先將所有用戶的預編碼矢量依次組成一個KnT維的列向量。則式(4)可寫為

這樣求解的復雜度大大降低，可以使用內點法進行有效的求解。本文使用 MATLAB中運行的 CVX模塊進行求解[9]。

但由于放松了正定約束條件，求解得到的矩陣X'往往并不能滿足秩為1的要求。在所獲得的X'基礎上可以利用隨機化方法得到一個性能滿意的近似解。本文采用如下高斯隨機化的算法[10]：

(1)對X'進行特征值分解，即X'=UHΣU；

(2)隨機產生L個高斯分布的矢量ξl(l=1,…,L)，要求其服從均值為零，方差為X'，即可使ξl=UΣ1/2vl(其中vl服從均值為零，方差為單位陣的高斯分布)獲得滿足；

4 功率控制的考慮

按照高斯隨機化過程得到的最佳解的范數極大，仍然需要利用預編碼矢量的2范數進行歸一化處理以控制發射總功率。和最大化信漏噪比一樣，功率的歸一化處理后降低了每個用戶的信漏噪比的值。所以按式(3)設計預編碼器時應使SLNR約束門限值γ0較大，以期功率歸一化獲得較大的信漏噪比，從而獲得較好的系統誤碼率性能。

如果在目標問題中加入功率約束條件，即將求解的目標問題變為可以預見，只有在下行信道條件較好時，才能滿足式(8)設計要求，利用良好的信道條件就有可能降低發射的總功率。上面的目標問題仍然可以利用與上節類似的算法進行求解，但功率約束大大降低了算法的可行性。因此可以在進行預編碼設計時，首先求解帶有功率控制的目標問題式(8)，這樣可以利用較好的瞬時信道條件降低發射總功率；如果式(8)不可解，則轉而求解不帶功率控制的問題式(3)。本文這種求解過程稱為混合功控方案。

另外，式(8)的目標問題中，給定的SLNR約束門限值要小，仿真發現SLMR門限值在1-5之間可獲得較好的誤碼性能和算法可行性的折中。而求解式(3)時為了保證系統的誤碼率性能，給定的SLNR約束值要大，這是因為隨后的功率歸一化處理會大大降低實際的 SLNR 值，仿真發現 SLNR 值 在20-100之間為宜。

5 數據仿真

用仿真的方法對文獻[1]和本文提出的預編碼設計方案進行性能比較。在仿真中假定基站有3根發射天線與3個單天線用戶進行下行鏈路的傳輸。下行信道服從瑞利分布。用戶信息均使用BPSK調制，每個調制符號功率為 1。表 2給出了本文提出的方案在不同信噪比 SNR(| |pk||2/σn2k)下仿真所得的平均發射總功率，其中按式(3)，式(8)求解時選取Popt= 3,γ0=5，而在混合功控時，按式(8)求解時選取γ0=5,Popt= 3 ，按式(3)求解時選取γ0=100。表中括號內百分數表明在1000個隨機產生的瑞利型衰落信道中能獲得最佳解的概率。

由表2可見，隨著信噪比的增加，基站的發射總功率不斷降低，算法的可行性也不斷提高。采用本文的混合功率控制方案，使算法更加可行，并且相對于最大化信漏噪比的方法，系統的發射總功率得到了降低，尤其在高信噪比時。

圖2給出了本文提出的方案和最大化信漏噪比方案的誤碼率隨信噪比的變化曲線。由圖可見，按式(3)設計預編碼器，指定的信漏噪比約束的門限值γ0越大，系統的誤碼性能越好，并且在γ0≥30時，系統的誤碼率性能要優于最大化信漏噪比的方案。在混合功控時，按式(8)求解時選取γ0= 1 00,Popt= 3 ，按式(3)求解時選取γ0= 1 00。由圖可見，混合功控方案的誤碼率性能也是優于最大化信漏噪比方案的。

圖3給出了式(8)方案的系統誤碼率隨信噪比的變化曲線。由圖可見，式(8)方案的誤碼率性能相對于式(3)方案更優，但結合表2可知，其能得到最佳預編碼器的概率低，只是在下行鏈路瞬時信道條件良好時可解。因此可知，本文的混合方案正是充分利用良好的傳輸信道有效降低發射功率，從而降低了系統的平均發射總功率。

表2 不同SLNR約束下平均發射總功率及可解的概率

圖2 各種方案的誤碼率性能

圖3 式(8)方案的誤碼率性能

6 結論

本文利用半正定優化方法求解了用戶信漏噪比約束下最小化基站發射總功率的問題，并且在目標問題中加入了功率控制的約束條件，從而有效地降低了基站的平均發射總功率。相比于最大化信漏噪比方法，所設計的方案具有更好的誤碼率性能和更低發射總功率。仿真結果驗證了提出方案的有效性。

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