Cauchy—Schwarz不等式的幾種證明

王楓

[摘 要]Cauchy—Schwarz不等式是一個形式簡單，使用方便的積分不等式，在證明某些含有乘積及平方項的積分不等式時，頗為有用。為加深對Cauchy—Schwarz不等式的理解，以便更好地應用，介紹了幾種新的有代表性的證明方法。

[關鍵詞]Cauchy—Schwarz不等式 判別式

[中圖分類號] O122.3[文獻標識碼] A[文章編號] 2095—3437（2012）09—0064—02

Cauchy—Schwarz不等式在數學中的應用比較廣泛，是異于均值不等式的另一個重要不等式，無論是代數，幾何都有著廣泛的應用。近年來在數學競賽及研究生入學考試中Cauchy—Schwarz不等式同樣作為測試的重點內容。但大部分高等數學教材中僅僅給出輔助函數法的證明，在教學過程中部分學生對其理解明顯感到困難。本文給出了四種方法對Cauchy—Schwarz不等式加以證明，同時也為大學數學教師的教學提供參考。

定理（Cauchy—Schwarz不等式）：

所以F′（t）≥0，t∈[a，b]，可知F（t）是單調不減函數，當a

此法利用變上限積分作輔助函數，可把要證的積分不等式轉化為判別函數值的符號，這是一種證明積分不等式的重要方法。有興趣的讀者也可以利用輔助函數法，通過拉格朗日中值定理和積分中值定理判別函數值的大小，從而證明結論。

證法二：判別式法

當f（x），g（x）中有一個恒為0時，不等式顯然成立

當f（x），g（x）均不為0時，對？坌t∈R，有 即

上式是關于實數的二次三項式，其判別式應滿足△=B2—4AC≤0，即

故

應用判別式法的關鍵是通過參數的引進，使問題轉化為二次三項有無根的問題，判別式法是初等數學的重要方法，利用它來解決高等數學的問題值得注意。

證法三：利用重積分

由重積分的對稱輪換性有

通常重積分化為定積分求解，此法則將定積分的乘積化為重積分，再利用重積分的對稱輪換性通過均值不等式的放縮給出了證明，在諸多問題中定積分問題可以運用重積分方法來得到解決，而且往往起到事半功倍的效果。

證法四：利用定積分性質

兩端平方得

證法四是一種比較巧妙的方法，通過將結論兩邊同時開方后的形式，聯系定積分的絕對值不等式的性質得到所要構造的形式，這是一種通過結論入手的一種間接的證明方法。

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