函數建模在解題中的應用及思考

劉娟

當今社會飛速發展，信息量的突然增加給社會的各個方面都帶來了翻天覆地的變化。在這樣的大背景下，社會的各個方面對基礎科學中十分重要的數學學科的要求也逐步提高。這種需求也促進了數學學科向各個科學領域深層次滲透。這就要求人們能夠根據實際情況合理地建立數學模型，所以，數學建模在二十一世紀被賦予了極其特殊的意義。為了滿足時代的這一需求，我們在數學學科教學中必須注重培養學生用數學的思維模式解決實際問題的能力。而在初中數學教學中，更加要強調以學生的生活經驗為起點。同時結合數學學科自身的特點，讓學生通過研究性學習自主地體驗到具體問題抽象成數學模型的過程；讓學生在學習數學知識的同時，開闊視野，拓展思維；讓學生的各方面能力在建模中得到發展。而函數建模是數學建模中十分重要的組成部分。它通過對生活中的實際問題的分析，掌握實際問題的變化規律和數量關系，進而歸納出函數模型，然后使用初中數學函數相關知識解決問題。筆者分析了幾種典型的利用函數模型解題的應用，并對在初中數學課堂中滲透建模思想的策略進行了思考。

一、函數建模在一些典型中的應用

函數涉及生活和科學的各個層面，解題的方法和技巧相對多樣，是初中數學教學中的難點之一，也是中考著重考查的知識點之一。而對于一些有難度的函數應用，一般可以從函數建模的角度進行考慮，把生活中的問題模型化。

（一）將問題模型化，再結合函數圖像解題。

例如：某學校為迎接校慶30周年，特地定制了很多的煙花，定制的煙花的高度是55厘米，放煙花的時候要把它放置在定制好的70厘米高的架子上，燦爛的煙火從頭部噴射出來，假設從各個方向都是以一樣的拋物線墜地。根據學校要求，如果要煙火的高度從噴射點開始計算要達到2.25米的話，問：如果參觀校慶的學生等在煙花周圍觀看煙花表演，那么僅考慮煙火的距離的話，學生和老師要離開燃放點多遠的距離？

如圖1所示，首先建立一個函數模型：以地面為水平的X軸，而煙花所在直線為Y軸，A點為支架的最高點，以B點為煙花的最高點，用C點來表示煙火最后的落地點。可以得出煙火走出的軌跡的函數式為y=-（x-1）2+2.25。

圖1

這個函數模型確定好了之后從函數圖像可以很清楚地觀察到，所謂離開燃放點的距離就是以OC為半徑在地上畫的一個圈子。在這個函數模型建立起來之后原本復雜的問題已經簡化成求OC的長度了。而在這個函數中OC的長度就是當y=0的時候x的值。學生只要將y=0帶入到函數的解析式當中就能夠得到答案。當y=0時，由-（x-1）2+2.25=0求得兩個結果2.5米和-0.5米，因為-0.5米不符合題意，所以最終的結果就是學生和教師要離開燃放點至少2.5米。

（二）從變量關系入手，建立函數模型解決實際問題。

在實際生活應用中，存在著很多可以用函數模型處理的有大量數量變化的應用案例。在絕大多數問題當中，雖然數量關系表面上變化無常，但其中或多或少是有規律可循的。很多數量變化是有規律的。很多變量、因變量在變化中是相互影響的。所以一些看似復雜的問題在解決的時候可以從變量關系入手，發現并建立其中蘊含的函數模型。

例如：南水北調是我國一項利國利民的大型工程，當出現地域性水資源失衡的時候，國家就可以通過這一工程進行水資源的平衡。這個時候甲城市水資源短缺，急需15萬噸水資源。乙城市也水資源短缺，急需13萬噸水。通過南水北調工程，分別從AB兩個水資源不緊張地區抽調出14萬噸水資源到甲乙兩個城市，從甲城市到A城市50千米，從B城市到甲城市60千米，從B城市到乙城市45千米。請設計一個水資源運輸方案，要求在調運量盡可能小的基礎之上解決兩個城市的水資源短缺問題。

這道題貌似變量很多，難以下手，但是經過分析我們發現，有一些數據是有規律的。如從A城市調往甲乙兩個城市的水的總數一定是14萬噸，從B城市調往甲乙城市的總數一定是15萬噸，而從AB兩城市調往甲城市的總水噸數也一定是15萬噸，AB兩城市調往乙城市的總水噸數也一定是13萬噸。我們再次基礎上假設從A城市調往甲城市的水的總噸數為x，那么可以構建以下的數據關系。

那么假設總調運量為y的話就可以根據圖表得到這樣的式子y=50x+30（14-x）+60（15-x）+45（x-1）=5x+1275（1≤x≤14）。這是一個典型的一次函數。5為正數，所以y的值是根據x的值的變大而變大的。所以要使總運量最小，就得讓x的值取最小值。所以從函數模型可以得出結論，當A地調往甲城市的水為1萬噸的時候總運量是最小的。

在這樣的題目解答的過程中，發現數據之間的規律是十分重要的。在解題的時候要緊抓主要的數據因素。根據數據之間的聯系構建函數模型，成功構建函數模型之后，問題就迎刃而解了。

二、在教學中滲透建模思想的思考

新課程課標準用建模思想對數學教學提出的要求，實際上反映了時代對培養學生應用意識和創新意識要求的提高。初中數學的評價體系對課程標準貫徹的力度是有目共睹的，所以在課堂教學中更應高度重視滲透建模思想。筆者認為在初中數學日常教學中滲透建模思想要從以下幾個方面入手。首先，要在日常教學中著重培養學生的邏輯思維能力及函數運算能力，同時應注重學生數學思想及數學解決生活中實際問題意識的培養。其次，在平時的教學過程中要注重學生創造力的培養，要讓初中生能夠適應函數建模的思想層次。也要在日常教學中不經意地進行數據建模，滲透建模思想。最后，教師跟學生之間要有默契，在進行建模之前，教師要給學生一個扎實的基礎知識平臺。如初中常見的幾種函數，學生就要能夠牢固掌握。在近年的教學工作中，筆者對函數建模問題的處理堅持理念引導為先，層層落實，扎實推進，使學生對函數建模知識的學習從懵懂到清晰、從混亂到有序、從無需到渴望，對函數知識的掌握和應用得心應手，對解決實際問題更加胸有成竹。