在問題解決中教給學生數學思想方法

侯錦揚

數學思想方法是數學知識在更高層次上的抽象與概括. 實踐證明，任何一種數學思想方法都不能很快地被學生所掌握，它與數學中的一些重要概念一樣，需要學生在數學活動中積極實踐，反復體驗，不斷積累，需要學生經歷一個較長的認識過程，才能逐步地理解、掌握和應用. 數學問題的解決，離不開數學思想方法的指導、運用和創新. 數學思想方法蘊含在數學問題的解決中，因此，數學思想方法的教學可以融入問題解決的教學過程中. 教材在呈現顯性的數學內容時，一般是采用逐級遞進、螺旋上升的原則，但數學思想方法是隱性的，教材里看不出對其教學的遞進性與上升性. 因此數學思想方法的教學應與知識教學、學生認識水平相適應，也應遵循螺旋式上升、階梯式層次結構的原則，需要經歷長期的層次化過程.

一、無痕滲透，讓學生在問題解決中感知數學思想方法

“滲透”一詞是比喻一種事物或勢力逐漸進入到其他方面（多用于抽象事物）. 引用到教學上，“滲透”就是把某些抽象的數學思想、方法、原理等逐漸“融進”具體的、實在的數學知識中，使學生對這些數學思想、方法、原理等有一些初步的感知或直覺，但還沒有從理性上開始認識它們. 思維發展心理學研究表明，小學低年級兒童的思維以形象思維為主要形式，雖然他們開始學習數學，已經由學前期的具體形象思維開始向抽象邏輯思維過渡，發展自己的抽象邏輯思維，可仍然離不開具體形象的支持. 在這個階段，學生學習的數學知識相對簡單，他們還很難掌握比較抽象的數學概念，當然也無法輕易理解數學思想方法. 但教師不能因此而放棄或削弱對低年級學生進行數學思想方法的啟蒙教學. 教師應根據這一階段學生的思維特點與認知水平，采用無形滲透的策略，讓學生在解決數學問題的過程中，感知數學思想方法. 在方法上注意有機結合、自然滲透，要有意識地、潛移默化地啟發學生感知蘊含于數學知識之中的種種數學思想方法，切忌生搬硬套、和盤托出、脫離實際等適得其反的做法.

如分類思想的教學. 數學中每一個概念都有其特有的本質特征，小學數學中的分類思想是指根據數學本質屬性的相同點和不同點，按某種標準，將研究的數學對象分成不同種類的若干部分進行分析研究的一種數學思想. 分類以比較為基礎，比較是分類的前提，分類是比較的結果，它能揭示數學對象之間的內在規律，有助于學生總結歸納數學知識，使所學知識條理化、系統化、網絡化. 小學數學中的問題往往比較簡單，有時要解決一個比較復雜或者帶有不確定性的問題時，把這個問題按照一定的原則或標準分為若干類，然后逐類進行分析討論，得出問題的答案，這就是問題解決中的分類討論法. 分類思想貫穿于整個數學的內容中. 教學時，應根據學生的年齡特征，學生在學習的各階段的認識水平和知識特點，逐步滲透，螺旋上升，不斷地豐富其內涵.

例如“整理房間”（北師大版小學數學教科書一年級上冊）的教學，“類”和“分類”對一年級剛入學不久的學生來說是比較抽象的，認識它們不能靠定義、靠說理，應該聯系生活實際，引導學生在活動中體驗. 教學時，首先，從學生熟悉的“房間的場景”入手，師：（如圖1）這是小剛的房間，你想說什么？學生通過觀察，說出自己的感受，從而產生整理房間的需要. 接著，師：你想怎樣幫助小剛整理房間？說說為什么要這樣整理. 初步體會分類的含義和方法，體會分類的標準不同，分類的結果也不同. 比如，根據物品的用途不同進行分類，可以分為：① 學習用品；② 穿的衣物；③ 玩具；④ 體育用品等. 學生在這樣的活動中，其思維過程首先是觀察，其次是比較. 經過比較之后，進行排列. 排列的過程就是按照一定的標準，對事物進行有序劃分和組織的過程. 這樣一種劃分和組織的結果就形成了分類.

分類思想在小學數學教材中有著重要的應用，在“空間與圖形”中有角的分類、三角形的分類、四邊形的分類等. 在“數與代數”中更多，有式的分類、數的分類等. 如自然數，依據“是否是２的倍數”，可分為奇數與偶數；依據“因數的個數”，可分為１、質數和合數等. 通過學習，讓學生初步明白：分類是根據概念的某一屬性進行的，分類的標準不同，分類的結果可能不同，被分的概念不能重復分，即某概念不能既是這一類同時又是另一類，被分的概念還要全部分掉不能遺漏. 分類思想在問題解決中也有廣泛的應用，如“小明和小紅在校門口分手，７分鐘后他們同時到家. 小明平均每分鐘走４５米，小紅平均每分鐘走３５米. 小明家與小紅家相距多少米？”這個問題要引導學生用分類的思想進行解決. 第一，必須考慮小明家、學校、小紅家是否在一條直線上. 如果不在一條直線上，結果就無法確定. 第二，如果在一條直線上，還要分成兩種情況：① 小明家、小紅家在學校的兩側；② 小明家、小紅家在學校的同一側. 這樣，學生在問題解決中加深了對分類思想的領悟.

數學中的分類有現象分類和本質分類兩種，前一種分類是以分類對象的外部特征、外部關系為根據的，后一種分類是按對象的本質特征、內部聯系進行分類的. 在小學數學教材中滲透了分類思想，教學中，應以知識為載體，教給學生分類的方法，發展邏輯思維力.

二、有意點明，讓學生在問題解決中理解數學思想方法

對數學思想方法的理解有一個過程，對數學思想方法的教學，也不期望一次性完成，而應在不同內容、不同年級學生的教學活動中，以不同的形式交替出現，使學生對數學思想方法有初步的理解. 進入小學中、高年級，學生自身數學知識不斷增加，認知水平進一步提高，抽象邏輯思維能力得到發展. 隨著對數學思想方法滲透的不斷深入，隱藏在數學知識背后的思想方法就會逐漸引起學生的注意和思索，以至產生某種程度的領悟. 當經驗和領悟積累到一定程度，這種事實上已被反復感知的思想方法就會凸現出來. 這時，對數學思想方法的教學不再“猶抱琵琶半遮面”了，應充分考慮到學生的年齡特征、心理活動水平，在問題解決的教學中擇機有意識地進行點明，比較明確地引導學生理性認識數學思想方法，最終使得學生對數學思想方法有較為深刻的理解.

如化歸思想的教學. 化歸是解決數學問題常用的思想方法. “化歸”包含“轉化”和“歸結”兩種含義，即為了謀求一個問題的解決，把這個未知解法的問題進行轉化，使之歸結為一個熟知的或者較容易解決的或者已經能夠解決的新問題，通過對新問題的解決，來求得原問題的解決. 值得注意的是，在小學階段，要保證被轉化后得到的結果仍是原問題的結果，就是要求轉化過程中的前后是充分必要的，即等價轉化. 化歸是基本而典型的數學思想，它蘊含在“數與代數”、“空間與圖形”、“統計與概率”以及“綜合實踐活動”四大知識領域中，在問題解決中有廣泛的運用. 任何數學問題的解決過程，都是一個由未知向已知轉化的過程，是一個等價轉化的過程. 因此，在問題解決中教給學生“化歸思想”是非常重要的.

在計算教學中，化歸思想的應用很廣泛. 如兩位數乘兩位數可分解、化歸為兩位數乘一位，小數除法通過“商不變性質”可化歸為除數是整數的除法，異分母分數加減法可化歸為同分母分數加減法，異分母分數比較大小通過“通分”可化歸為同分母分數比較大小，分數除法可化歸為分數乘法等. 下面結合教學實例，談談在問題解決中如何教給學生化歸思想.

例如，“小數除法”（人教版小學數學五年級上冊）的教學. 出示問題（如圖2），讓學生列出橫式７．６５ ÷ ０．８５和豎式０．８５■.

師：你們試著計算，看看會遇到什么困難.

學生嘗試后，對商要不要加小數點，該點在什么位上，產生了不同的看法. 有的認為可以與被除數的小數點對齊，有的認為應該與被除數的末位對齊. 老師不要忙于下結論，可把題目稍作改動，變為８．５■，學生經驗算后馬上否定了上述兩種看法.

師：你們找一找原因，看問題出在什么地方？

引導學生與上節課學過的內容進行比較，學生經過討論思考后，找出了問題癥結所在，即“除數也是小數”. 這可稱得上是學習上的新發現.

師：怎么辦呢？若有困難，再進一步點撥，只要把除數怎樣，就有辦法計算？

生：化小數除數為整數除數.

此時，解決問題的難點已經突破. 怎樣化小數除數為整數除數雖是重點，但并不難，根據商不變性質，只要把除數和被除數同時擴大到原來的１０倍、１００倍……就能把小數除數化成整數除數，問題得到徹底解決. 在問題解決的過程中，教師沒有硬生生地告訴學生要使用什么思想方法去解決問題，讓學生被動地接受，而是引導學生對問題進行分析，查找問題產生的原因，確定問題癥結所在，再引導學生探索解決問題的途徑. 學生自然想到了用轉化的方法解決問題，既圓滿解決了問題，又領悟了運用數學思想方法解決問題的功效.

在“空間與圖形”的教學中，化歸思想的應用更為廣泛. 例如，“平行四邊形的面積”（人教版小學數學五年級上冊）的教學，就是通過割、移、拼使一種圖形轉化為和它等積的另一種圖形，運用這種“轉化”的方法可以達到解決問題的目的. 在隨后學習的三角形、梯形、圓的面積計算中，都是通過剪拼的方法，把要研究的圖形轉化成前面已學過的圖形來推導出它的面積公式. 這樣，學生探索并體會了所學各種多邊圖形的特征、圖形之間的關系、圖形之間的轉化，掌握了平行四邊形、三角形、梯形的面積計算公式及公式之間的關系，還體驗了圖形的平移、旋轉以及轉化的數學思想方法. 教師在引導學生解決問題、掌握基礎知識的同時，關注數學思想方法的教學，學生在嘗試運用轉化思想的過程中，體驗了這種思想的實質，強化了自覺運用數學思想方法的意識.

三、引導應用，讓學生在問題解決中領悟數學思想方法

數學思想方法存在于問題解決之中，數學問題的解決，實質上是問題不斷轉化和數學思想反復應用的過程. 到了高年級，學生運用數學思想方法解決數學問題的實踐機會增多了，這時，教師應積極引導學生運用某種數學思想方法進行探索和思考，以求得問題解決. 同時，要注意引導學生在解決問題之后進行歸納、反思，因為在這個過程中提煉出來的數學思想方法，對學生來說才是易于體會、易于接受的. 也就是說，數學教學在使學生初步領悟了某些數學思想方法的基礎上，還要積極引導學生參與數學問題的解決過程，引導學生在問題解決的過程中運用數學思想方法，這樣才能讓學生真正理解和領悟數學思想方法.

如函數思想的教學.函數思想是客觀世界中事物運動變化、相互聯系、相互制約的普遍規律在數學中的反映，函數思想的本質是變量之間的對應. 應用函數思想能從運動變化的過程中尋找聯系，把握特點與規律，從而選擇恰當的數學方法得以解決問題. 在小學階段，雖然沒有出現“函數”這個概念，但安排了許多與函數有關聯的教學內容.

在低年級，通過填圖（如圖3）等形式，將函數思想滲透在其中. 還可以設計一些能移動的卡片，讓算式中的數“動”起來. 學生解決問題后應引導他們觀察什么沒變，什么變了. 又如，“平均分”（人教版小學數學二年級下冊）的教學，當學生初步理解了“平均分”的含義后，教師讓學生解決一個“分禮物”的問題：１２個小禮物，平均分給一些小朋友，每人可以分到多少個？這是一個開放又具有挑戰性的問題.

師：這些禮物可以平均分給幾個小朋友呢？

生：２個，３個，４個，６個，１２個.

師：每人又可以分到幾個呢？同桌合作，利用你們手中已有的工具分分看，并想辦法來填一填.

把１２個禮物平均分給（２）個人，每人可以分到（６）個.

把１２個禮物平均分給（３）個人，每人可以分到（４）個.

把１２個禮物平均分給（４）個人，每人可以分到（３）個.

把１２個禮物平均分給（６）個人，每人可以分到（２）個.

把１２個禮物平均分給 （１２）個人，每人可以分到（１）個.

如果教學到此為止，老師讓學生計算完畢、答案正確就滿足了，那么學生僅僅是解決了一個問題. 如果以函數思想的高度來設計教學，教師一定不滿足，會繼續進行啟發引導.

師：仔細觀察，什么沒變？什么變了？

師：對，分的禮物的個數沒變，平均分給的人數變了，每人分到的個數也變了. 也就是說，相同的數量平均分的份數越多，每份所得到的數量就越少.

學生借助已有的學具進行平均分禮物，進而完成分禮物的練習題組，觀察什么變了，什么沒變，然后發現：同樣的數量平均分的份數越多，每份得到的就越少. 這無形中滲透了“被除數不變，除數變大，商變小”這一函數思想.

進入小學中、高年級，學生學習和掌握了許多的數量關系，如單價、數量和總價之間的關系，路程、時間和速度的關系，工作量、工作效率和工作時間的關系……其實當這些數量關系中的某一種量固定后，另外兩種量在變化時就構成了函數. 這些數量關系有的還可以用計算公式來表示，如，s ＝ ｖｔ，當s一定時，ｖ越大，ｔ就越小. 這些公式實際上就是一些簡單的函數關系式，教師可以利用數學中的公式進一步進行函數思想的教學. 到了六年級，正比例、反比例知識涉及兩種相關聯量之間的關系，實際上也是一種函數關系.

如把相同體積的水倒入底面積不同的杯子中，高度和底面積的變化有什么規律？通過觀察，得出：底面積越大，水的高度就越低. 因為水的體積是一定的，也就是說水的高度與底面積的乘積是一定的，這時，水的高度與底面積這兩個量實際上就是一種函數關系.

通過一些具體實例，讓學生感受數量的變化過程，以及量變過程中變量之間的對應關系，探索其中的變化規律，嘗試根據變量的對應關系作出預測等，這樣，學生隨著知識的不斷發展，對函數思想的理解得到不斷地加深.

總之，數學思想方法與數學問題的解決是相輔相成的. 數學思想是對數學規律的理性認識，它支配著數學的實踐活動，是數學問題解決的靈魂. 同時，在數學問題解決的過程中往往蘊含著一定的數學思想. 數學思想方法的形成難于知識的理解和一般技能的掌握，它的教學應與學生的認知發展水平相適應，在問題解決的活動中，按照自然滲透、初步理解、應用發展的順序逐步完成.