如何有效利用中考題

申華娟

近幾年中考的數學壓軸題題型多、題意創新，總體來說，大都呈現“起點低、坡度緩、尾巴略翹”的趨勢，綜合考查了學生分析問題和解決問題的能力．因此，教師平時在綜合題的教學中，須和學生一起分析壓軸題的結構及所考查的知識點．通過教師的解析和點評，引導學生探索各種題型的解題規律，準確把握解題思路、方法和技巧，以減輕學生解壓軸題的心理壓力．下面以２０１０年浙江臺州市中考數學壓軸題為例，談談中考數學壓軸題的教學設計．

（２０１０ 浙江臺州市）如圖1，Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ６，ＡＣ ＝ ８．點Ｐ，Ｑ都是斜邊ＡＢ上的動點，點Ｐ從Ｂ 向Ａ運動（不與點Ｂ重合），點Ｑ從Ａ向Ｂ運動，ＢＰ ＝ ＡＱ．點Ｄ，Ｅ分別是點Ａ，Ｂ以Ｑ，Ｐ為對稱中心的對稱點，ＨＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＡＣ于點Ｈ． 當點Ｅ到達頂點Ａ時，Ｐ，Ｑ同時停止運動．設ＢＰ的長為ｘ，△ＨＤＥ的面積為ｙ．

（１）求證：△ＤＨＱ∽△ＡＢＣ；

（２）求ｙ關于ｘ的函數解析式，并求ｙ的最大值；

（３）當ｘ為何值時，△ＨＤＥ為等腰三角形？

分析 第（１）問是基礎題，求兩個三角形相似，起點低，絕大部分學生能比較輕松地給予解答. 根據Ａ，Ｄ關于點Ｑ成中心對稱，可證∠HDQ = ∠A，即可得出結論．

第（２）問難度不大，自然想到用面積公式表示△ＨＤＥ的面積，利用第（１）小題的結論，列出比例式，尋求ＨＱ與ＤＱ的關系，從而建立ｙ與ｘ的函數解析式. 通過學生操作活動，自剪紙片，按照題意折疊紙片，容易發現：隨著動點Ｐ，Ｑ的運動，ｘ隨之變化，點Ｄ，Ｅ的位置也會變化，因此必須分類討論．

第（３）問有一定的難度，根據第（２）問的分析，很容易想到要根據ｘ的取值范圍進行分類討論. △ＨＤＥ為等腰三角形，沒有說明哪條邊是腰，哪條邊是底邊，因此還要根據等腰三角形的腰和底邊分類討論，須防止漏解．

簡解

（１） ∵ Ａ，Ｄ關于點Ｑ成中心對稱，ＨＱ⊥ＡＢ，

∴ ∠HQD = ∠C ＝ ９０°，ＨＤ ＝ ＨＡ，∴∠HDQ = ∠A，

∴ △ＤＨＱ∽△ＡＢＣ．

（２）①如圖2，當0 < x ≤ 2.5時，

ＥＤ ＝ １０ － ４ｘ，ＱＨ ＝ ＡＱ ｔａｎ Ａ ＝ ■ｘ，

此時ｙ ＝ ■（１０ － ４ｘ） × ■x = -■x2 + ■x ．

當x = ■時，最大值y = ■．

②如圖3，當2.5< x ≤ 5時，

ＥＤ ＝ ４ｘ － １０，ＱＨ ＝ ＡＱ ｔａｎ∠Ａ ＝ ■ｘ，

此時ｙ ＝ ■（４x － １０） × ■x = ■x2 - ■x．

當x = 5時，最大值y = ■．

∴ ｙ與ｘ之間的函數解析式為

ｙ ＝ －■ｘ２ ＋ ■ｘ（０ ＜ ｘ ≤ ２．５），■ｘ２ － ■ｘ（２．５ ＜ ｘ ≤ ５）．

ｙ的最大值是■．

（３）①如圖2，當0 < x ≤ ２．５時，

若ＤＥ ＝ ＤＨ，∵ ＤＨ ＝ ＡＨ ＝ ■ = ■x，ＤＥ ＝ 10 - 4x，

∴ 10 - 4x ＝ ■x，x = ■．

顯然ＥＤ ＝ ＥＨ，ＨＤ ＝ ＨＥ不可能；

②如圖3，當２．５ ＜ ｘ ≤ ５時，

若ＤＥ ＝ ＤＨ，4x - 10 ＝ ■x，x = ■；

若ＨＤ ＝ ＨＥ，此時點Ｄ，Ｅ分別與點Ｂ，Ａ重合，x = 5；

若ＥＤ ＝ ＥＨ，則△ＥＤＨ∽△ＨＤＡ，

∴ ■ = ■，■ = ■，ｘ = ■．

∴當ｘ的值為■，■，５，■時，△ＨＤＥ是等腰三角形．

點評 本題集方程、函數、幾何證明于一身，有計算、有證明，具有較強的綜合性．可見，本例題的重點知識點是：（１）勾股定理；（２）三角形面積公式；（３）等腰三角形性質定理；（４）三角函數概念或相似三角形性質定理；（５）二次函數表達式及用配方法或公式法求二次函數的最值．本題貫徹的數學思想是：（１）運動觀點；（２）方程思想；（３）數形結合思想；（４）分類思想；（５）轉化思想．

另外，分類討論時要做到既不重復又不遺漏，等腰三角形常以腰和底邊為分類標準．動點的討論，常以運動過程中的特殊位置為分界點．

拓展 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ６，ＡＣ ＝ ８． 點Ｑ是斜邊ＡＢ上的動點，點Ｑ從Ａ向Ｂ運動，點Ｄ是點Ａ以Ｑ為對稱中心的對稱點， ＨＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＡＣ于點Ｈ．當△ＨＤＣ是直角三角形時，求ＡＱ的長度．

學生討論后教師點撥：△ＨＤＣ是直角三角形，要抓住直角頂點進行討論：當∠ＤＣＨ ＝ ９０°時，點Ｄ與點Ｂ重合，此時點Ｑ為ＡＢ的中點，ＡＱ＝５；當∠ＣＤＨ ＝ ９０°時，由對稱知識可知，∠Ａ ＝ ∠ＡＤＨ，從而可以證明∠ＣＤＢ ＝ ∠Ｂ，即ＣＢ ＝ ＣＤ．過Ｃ作ＣＧ⊥ＡＢ于Ｇ，由相似三角形的知識可求出ＢＧ ＝ ＤＧ ＝ ３．６，ＡＱ ＝ ＤＱ ＝ １．４；當∠ＣＨＤ ＝ ９０°時，由外角知識可知∠Ａ ＝ ４５°，即這種情況不存在．

課后演練 Ｒｔ△ＡＢＣ中，∠Ｃ ＝ ９０°，ＢＣ ＝ ６，ＡＣ ＝ ８．點Ｑ是斜邊ＡＢ上的動點，點Ｑ從Ａ向Ｂ運動，點Ｄ在射線ＡＢ上，且是點Ａ以Ｑ為對稱中心的對稱點， ＨＱ⊥ＡＢ于Ｑ，交ＡＣ于點Ｈ．設ＡＱ ＝ ｘ，△ＨＤＱ與△ＡＢＣ重疊部分的面積為ｙ，求ｙ與ｘ的函數關系式，并寫出ｘ的取值范圍．