例說“長方形面積”在數學中的妙用

嚴旭峰

數和形是數學的兩個基本概念，全部數學可以說就是圍繞這兩個概念的提煉、演變、發展而逐步展開的. 數與形之間的關系反映事物兩個方面的屬性，而數形之間的結合，是指數與形之間的對應關系. 數缺形時少直覺，形缺數時難入微，數形結合就是把抽象難懂的數學語言、數量關系與直觀形象的幾何圖形、位置關系結合起來，通過抽象思維與形象思維的結合，使復雜問題簡單化，抽象問題具體化，起到優化解題途徑的目的. 將非面積的問題轉化成平面圖形面積的方法去解決問題，是數形結合的有力體現，是一種新穎別致、行之有效的解題方法.

一、“面積”求解應用題

例１ 體育場內有一塊長２０米、寬１０米的長方形場地，整塊場地被分隔成１米寬的逐漸向場地中心回繞的跑道，如圖１.問：從場地入口沿跑道中心線跑到終點要跑多少米？

解析 如果逐段求長，較為麻煩. 揣摸題意發現：人每走一米，他所走的跑道恰好被一單位正方形所覆蓋，并且在拐角處也是如此. 所以，長方形場地的面積數值就是全程需要跑的距離，即２０ × １０ ＝ ２００（米）.

例２ 一人騎自行車從甲地到乙地，如果每小時行１０千米，則下午１時到達；如果每小時行１５千米，則上午１１時到達. 現在要求中午１２ 時到達，他每小時要行多少千米？

解析 用長方形的邊分別表示速度和時間，那么長方形的面積值表示的就是相應的路程值. 圖２中，長方形ＡＢＣＤ和ＡＥＦＧ的面積都表示甲、乙兩地間的路程，它們的面積相等，兩個陰影部分的面積也相等，則能較容易地列式求解. 如圖２所示，則１０ × ２ ÷ （１５ － １０） ＝ ４（小時），１５ × ４ ÷ （４ ＋ １） ＝ １２（千米），所以，他每小時要行１２千米.

例３ 一個筑路隊原計劃２０天修完一條公路，實際每天比原計劃多修４５米，提前５天完成任務. 原計劃每天修路多少米？

解析 以長方形的一邊表示每天的工作量，另一邊表示工作時間，那么相應長方形的面積表示總工作量. 因為工作總量是一定的，所以在原計劃和實際所表示的兩個長方形中去掉公共部分的長方形后余下的兩個長方形的面積相等，由此可求得原計劃每天修路多少米. 如圖3所示， ４５ × （２０ － ５） ÷ ５ ＝ １３５（米）.

例４ 五年級一班舉行一次數學競賽，共１５道題，每做對一題得１０分，做錯一題倒扣４分. 李麗１５道題全做了，但只得了９４分，她做對了幾道題？

解析 以長方形的一邊表示做對或做錯的題數，另一邊表示每道對題或錯題的分數，那么相應長方形的面積表示做對或做錯的題的總分數，如圖4所示. 這樣，就可知道面積Ａ－面積Ｂ ＝ ９４，且（Ａ ＋ Ｃ） － （Ｂ ＋ Ｃ） ＝ ９４（分）. 而Ｂ ＋ Ｃ ＝ ４ × １５ ＝ ６０（分），從而Ａ ＋ Ｃ ＝ ９４ ＋ ６０ ＝ １５４（分），Ａ ＋ Ｃ所組成的長方形寬是１４，則長為１５４ ÷ １４ ＝ １１，即為做對題數.

二、“面積”求解計算題

例５ 計算：（１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） － （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■）.

解析 把每一個因數都看作長方形的長或寬，那么兩個乘積就對應兩個長方形的面積，算式中所求的差就是兩個長方形的面積之差，如圖5.

長方形ＡＣＤＥ的面積 ＝ （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■），長方形ＦＭＮＥ的面積 ＝ （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■），長方形ＢＣＨＧ的面積 ＝ 長方形ＨＭＮＤ的面積 ＝ ■ × （■ ＋ ■ ＋ ■），則（１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） － （１ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■ ＋ ■） × （■ ＋ ■ ＋ ■）

＝ 長方形ＡＣＤＥ的面積－長方形ＦＭＮＥ的面積

＝ 長方形ＡＣＨＦ的面積－長方形ＨＭＮＤ的面積

＝ （長方形ＡＢＧＦ的面積＋長方形ＢＣＨＧ的面積） － 長方形ＨＭＮＤ的面積

＝ 長方形ＡＢＧＦ的面積（陰影部分）

＝ １ × ■＝ ■.

例６ 計算：■.

解析 算式可變形為■，這樣，分子就可看作兩個長方形面積之差，分母可看作兩個長方形面積之和，根據分子與分母所表示的面積大小，便能算出分數的值，如圖6.

１９９７ × １９９８ － １

＝ １９９７ × １９９８ － １ × １

＝ 長方形ＡＣＤＦ的面積－正方形ＢＣＭＨ的面積

＝ 六邊形ＡＢＨＭＤＦ的面積，

１９９７ ＋ １９９６ × １９９８

＝ １９９７ × １ ＋ １９９６ × １９９８

＝ 長方形ＡＢＨＧ的面積 ＋ 長方形ＧＭＤＦ的面積

＝ 六邊形ＡＢＨＭＤＦ的面積，

所以，■ ＝ １.

三、結論

由此可見，運用長方形面積解題的關鍵在于構造圖形和解讀圖形. 構造結構恰當的圖形，可以使要解決的問題形象化、直觀化，把抽象的數學語言轉化為直觀的圖形，通過求解圖形的面積達到求解的效果. 但是，它不是萬能的，它只是解決部分問題，而不是全部問題，所以我們不能寄希望通過這種方法解決所有數學問題. 作為教師，在平時教學中如何有意識地去滲透數學思想，如何根據學習內容和學生實際嘗試滲透，讓學生在訓練中感悟數學思想，豐富思維活動，提高思維能力，是我們每個教師需要經常思考的問題.