例談中考數學中創新性填空題的解法

黃文光

以能力為立意，重視知識的發生發展過程，突出理性思維，是中考數學命題的指導思想，而重視知識形成過程的思想和方法，在知識網絡的交匯點設計問題，則是中考命題的創新主體．在最近幾年的中考數學試卷中，填空題成了創新改革題型的“實驗田”，其中出現了不少以能力立意為目標，以增大思維容量為特色，具有一定深度和明確指導導向的創新題型，使中考試題充滿了活力．本文精選了幾道中考試題，并予以歸類整理，供大家參考.

一、開放型

開放型填空題雖然考查的都是基礎知識，但是留給學生較大的思考空間，不是被動地套用解題模式，而是在問題情境中創造性地解決問題．主要有三類開放題：條件開放題，結論開放題及條件和結論都開放的試題，而這類題的答案往往不唯一. 解題時應合理運用分類討論以及特殊化等數學思想方法．

例１ 已知點Ｐ（ｘ，ｙ）位于第二象限，并且ｙ ≤ ｘ ＋ ４，ｘ，ｙ為整數，寫出一個符合上述條件的點Ｐ的坐標＿＿＿＿＿＿＿．

解析 因為點Ｐ位于第二象限，所以有ｘ ＜ ０，ｙ ＞ ０．因為ｙ ≤ ｘ ＋ ４，所以ｘ ＋ ４ ＞ ０，解得ｘ ＞ －４. 又因為ｘ ＜ ０，所以－４ ＜ ｘ ＜ ０，因為ｘ是整數，所以ｘ只能取－３，－２，－１．當ｘ ＝ －１時，０ ＜ ｙ ≤ ｘ ＋ ４ ＝ ３，所以ｙ為１或２或３，此時符合要求的點Ｐ為（－１，１），（－１，２），（－１，３）．當ｘ ＝ －２時，０ ＜ ｙ ≤ ｘ ＋ ４ ＝ ２，所以ｙ為１或２，此時符合要求的點Ｐ為（－２，１），（－２，２）．當ｘ ＝ －３時，０ ＜ ｙ ≤ ｘ ＋ ４ ＝ １，所以ｙ為１，此時符合要求的點Ｐ為（－３，１）．綜上所述，符合條件的點有６個：（－１，１），（－１，２），（－１，３），（－２，１），（－２，２），（－３，１）．寫出其中一個就行．

評注 這道開放題留給學生很大的想象空間，充分顯示出思維的多樣性．同時也體現了不同學生對數學學習的個性化．教學中要引導學生多角度、多層次、多渠道地解答開放性的問題，培養學生的個性，從而全方位地培養學生的創造能力．

二、概括型

這類開放題主要考查學生從一段材料中總結提煉其中心或主題的能力．這類問題在中考中有逐年增多的趨勢．

例２ 先閱讀，再填空解答：方程ｘ２ － ３ｘ － ４ ＝ ０的根是ｘ１ ＝ －１，ｘ２ ＝ ４，則ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ３，ｘ１ｘ２ ＝ －４；方程3ｘ２ ＋ １０ｘ ＋ ８ ＝ ０的根是ｘ１ ＝ －２，ｘ２ ＝ －■，則ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ －■，ｘ１ｘ２ ＝ ■．

（１）方程２ｘ２ ＋ ｘ － ３ ＝ ０的根是ｘ１ ＝ ＿＿＿＿＿，ｘ２ ＝ ＿＿＿＿＿，則ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ＿＿＿＿，ｘ１ｘ２ ＝ ＿＿＿＿＿；

（２）若ｘ１，ｘ２是關于ｘ的一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０，且ａ，ｂ，ｃ是常數）的兩個實數根，那么ｘ１ ＋ ｘ２，ｘ１ｘ２與系數ａ，ｂ，ｃ的關系是：ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ ＿＿＿＿＿，ｘ１ｘ２ ＝ ＿＿＿＿＿；

（３）若ｘ１，ｘ２是關于ｘ的一元二次方程ｘ２ ＋ ｘ － ３ ＝ ０的兩個根，根據（２）所得結論，那么ｘ１２ ＋ ｘ２２ ＝ ＿＿＿＿＿．

解析 （１）-■，１，-■，-■ （２）-■，■

（３）根據（２）可知，ｘ１ ＋ ｘ２ ＝ －１，ｘ１ｘ２ ＝ －３，所以ｘ１２ ＋ ｘ２２ ＝ （ｘ１ ＋ ｘ２）２ － ２ｘ１ｘ２ ＝ （－１）２ － ２ × （－３） ＝ ７．

評注 此題要求學生在充分讀懂材料的基礎上，概括出數學思想方法．課程標準指出學生是數學學習的主人，自主學習是數學學習的主要方式. 應讓學生學會自主學習，通過分析、比較和概括等數學方式對知識進行歸納、總結，從而使問題得到解決．

三、圖表型

圖表型填空題要求學生能夠根據圖表中提供的信息發現規律，抓住主要數學特點進行研究，然后再定量分析．

例３ 為了估計某市空氣質量情況，某同學在３０天里作了如下記錄.

解 由題意知，該城市在一年中空氣質量達到良以上（含良）天數的百分率為■ × 100% ＝ ８０%，據此得該城市在一年中空氣質量達到良以上（含良）天數為３６５ × 80% ＝ ２９２（天）．

評注 生活中每個人都會面對各種各樣的圖表信息，并對其做思考、抉擇，或舍棄，或采用．本例就是密切聯系社會問題，將題目信息設計在圖表中，綜合考查分析、聯想、加工處理信息的能力，突出“學習有用的數學”這一要求．

四、新定義型

“新定義型”填空題主要指即時定義新概念、新公式、新運算、新法則等，學生解題時要能夠用所學過的知識和方法理解“新定義”，做到“化生為熟”．

例４ 如圖1，在平面內，兩直線ｍｌ，ｍ２相交于Ｏ，對于平面內任意一點Ｍ，若Ｐ，Ｑ分別是Ｍ到直線ｍ１，ｍ２的距離，則稱（Ｐ，Ｑ）為點Ｍ的“距離坐標”．根據上述規定，“距離坐標”是（２，１）的點共有 個．

解析 如圖1，同一平面內到直線ｍ１，ｍ２的距離為２的直線有兩條ａ１，ａ２，到直線ｍ１，ｍ２的距離是１的直線也有兩條ｂ１，ｂ２，這四條直線有四個交點Ｍ１，Ｍ２，Ｍ３，Ｍ４，所以符合條件的點有四個．

評注 “新定義”填空題考查了學生的閱讀能力、數學遷移能力以及運用數學方法解決實際問題的能力，是一種較高層次的要求．解答此類試題的關鍵是掌握新規則，然后運用歸納和類比的方法使問題得到解決．此類設計題體現了新課程“知識立意向能力立意過渡”的要求，旨在培養學生綜合運用知識解決實際問題的能力，是“學生可持續發展”理念的體現．

這幾種新題型清雅、新穎，新課程標準已經化為新的數學理念和教學方式，警示數學教學必須改變過去單一的教學方式和學習方法，要重視學生發現問題和解決問題的能力，重視知識過程的學習，在培養學生創新意識和應用能力上有進一步突破，使學生學習具有開放性、探索性和挑戰性，促進學生全面、持續、和諧的發展.