三角形三邊關系定理在初中數學中的應用

于開祥

【摘要】 筆者針對三角形三邊關系定理在初中數學中的應用做一一的總結，希望能夠給學習這個定理的人有一定的幫助.

【關鍵詞】 三角形三邊關系定理；數學

一、定理及其推論

定理：三角形任意兩邊之和大于第三邊；推論：三角形任意兩邊之差小于第三邊. 定理分析：無論是定理還是推論都有“任意”二字，所以定理和推論都包含三項內容，用ａ，ｂ，ｃ表示三角形的三邊，則定理可以表示為：ａ ＋ ｂ ＞ ｃ，ａ ＋ ｃ ＞ ｂ，ｂ ＋ ｃ ＞ ａ；推論則表示為：ａ － ｂ ＜ ｃ，ｂ － ｃ ＜ ａ，ｃ － ａ ＜ ｂ．而我們在實際應用時往往不需要考慮那么多，只需將定理和推論簡化為ａ － ｂ ＜ ｃ ＜ ａ ＋ ｂ（假設ａ ＞ ｂ），應用時只需抓住兩條邊來驗證第三邊即可. 具體的應用參考下面的例題.

二、定理的應用

1. 判斷三條線段是否可以構成三角形

例１ 下列幾組線段中，不能構成三角形的是 （ ）.

Ａ． ３，４，５ Ｂ． ２，４，６ Ｃ． ５，６，８ Ｄ． ７，１０，１５

解法分析 下面我們以Ａ選項為例來詳細說明定理的使用，首先我們任意的取出兩條線段，不妨我們取３和４．然后根據定理我們作出４ － ３ ＜ ｃ ＜ ３ ＋ ４，結果為１ ＜ ｃ ＜ ７，最后我們來驗證第三條邊是否在ｃ的范圍內，如果在，則能構成三角形，如果不在，則不能構成三角形，此題顯然１ ＜ ５ ＜ ７，因此可以構成三角形. 答案為Ｂ.

例２ 以４厘米、８厘米、１０厘米、１２厘米四根木條中的三根組成三角形，可以構成的三角形的個數是 （ ）.

Ａ． １ Ｂ． ２Ｃ． ３ Ｄ． ４

解法分析 四根木條選３根有四種情況：４ 厘米，８厘米，１０ 厘米；４厘米，８厘米，１２厘米；４厘米，１０厘米，１２厘米；８厘米，１０厘米，１２厘米．由三角形三邊關系定理知，以１２厘米、８厘米、４厘米不能構成三角形，其他3種情況均符合題意，因此能構成三個三角形，故選擇Ｃ.

說明 實際上判斷能否構成三角形的條件和根據已知兩邊判斷第三邊的取值范圍是一樣的，因此在這里就不一一敘述了.

2. 判斷三點是否共線

三角形三邊關系定理的主要內容是描述構成三角形的條件，那么如果不能構成三角形會是什么情形呢？其中就包括三點共線的情況，當ａ － ｂ ＜ ｃ ＜ ａ ＋ ｂ中等號成立時，恰好就是三點共線的情況，即當ａ － ｂ ＝ ｃ（假設ａ ＞ ｂ）或ｃ ＝ ａ ＋ ｂ時，ａ，ｂ，ｃ三條線段共線.

例３ 已知Ａ，Ｂ，Ｃ三點，且ＡＢ ＝ ３，ＢＣ ＝ ４，ＡＣ ＝ ７． 判斷這三點是否在一條直線上？

解法分析 根據題意，顯然有３ ＋ ４ ＝ ７，所以這三點共線. 需要說明的是，ａ － ｂ ＝ ｃ和ｃ ＝ ａ ＋ ｂ本質上是一樣的，因為３ ＋ ４ ＝ ７可以表示為３ ＝ ７ － ４ ．

3. 與三角形周長相關，尤其是等腰三角形的周長

例４ 等腰三角形ＡＢＣ兩邊的長分別是７和４，則三角形的周長為 （ ）.

Ａ． １8Ｂ． 1５ Ｃ． １１ Ｄ． １8或1５

解法分析 因為是等腰三角形，所以首先要判斷７和４哪個是腰，哪個是底，因此要進行分類討論. 把所有的可能都列舉出來：７，７，４和７，４，４，然后根據三角形的三邊關系定理來驗證，結果兩種情況都符合，故答案為Ｄ.

例５ 等腰三角形ＡＢＣ兩邊的長分別是一元二次方程ｘ２ － ６ｘ ＋ ８ ＝ ０的兩根，則這個等腰三角形的周長是 （ ）.

Ａ． ８ Ｂ．１０Ｃ． ８或１０ Ｄ． ６

解法分析 解法同例題４，不同的是兩種組合分別為４，４，２和４，２，２，符合條件的只有４，４，２，故答案為Ｂ. 需要說明的是，因為關于周長的問題不僅僅限于等腰三角形，但由于等腰三角形具有典型性，因此在這里舉例說明.

4. 證明線段的不等關系

例６ 如圖１，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ邊上的任意一點，求證：ＡＢ ＋ ＢＣ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ.

證明 在△ＡＢＤ和△ＡＣＤ中，∵ ＡＢ ＋ ＢＤ ＞ ＡＤ，ＡＣ ＋ ＣＤ ＞ ＡＤ，∴ ＡＢ ＋ ＢＣ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ．

變式 如圖１，在△ＡＢＣ中，Ｄ是ＢＣ邊上的中點，求證：ＡＢ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ.

證明 延長ＡＤ到Ｅ點，使得ＡＤ ＝ DＥ，連接ＢＥ和ＣＥ，如圖２，因為ＡＤ和ＢＣ互相平分，所以四邊形ＡＢEC是平行四邊形，因此ＡＣ ＝ ＢＥ.

在△ＡＢＥ中，ＡＢ ＋ ＢＥ ＞ ＡＥ，

又∵ ＢＥ ＝ ＡＣ，ＡＥ ＝ ２ＡＤ，∴ ＡＢ ＋ ＡＣ ＞ ２ＡＤ.

５. 判斷兩個圓的位置關系（創新應用）

上述的幾種情況是在初中數學中常見的三角形三邊關系定理的應用. 我們都知道兩圓的位置關系有６種，主要是根據兩圓半徑ｒ１，ｒ２和圓心距ｄ三者之間的關系來判斷的. 如何把它們和三角形的三邊關系聯系起來呢？我是這樣做的，如圖３，以兩圓相交為例. 當兩圓相交時，這三條線段剛好構成一個三角，顯然滿足三角形三邊關系定理，即ｒ２ － ｒ１ ＜ ｄ ＜ ｒ１ ＋ ｒ２（假設ｒ２ ＞ ｒ１），而當兩圓相切時，恰好對應等號成立時，如圖２所示. 為了使應用的更加方便，我們可以用數軸來表示兩圓的位置關系，如圖４.

在判斷兩圓的位置關系時，只需抓住數軸上的兩點即可，然后看圓心距在數軸上的位置就可以一目了然地判斷出兩圓的位置關系，具體的使用參照下面例題.

例7 已知兩圓的半徑分別為３和４，圓心距取下列何值時兩圓相交？（ ）

Ａ. 6Ｂ. 7Ｃ. 8Ｄ. 9

解析 套用三角形三邊關系定理，有４ － ３ ＜ ｄ ＜ ４ ＋ ３，可知圓心距在１～７之間的時候為相交，所以答案為A.