一元二次方程求根公式的推導及其教育價值

王子霞

在新課程教學中，教師必須改變那種完全依賴教材、照本宣科式的教學方法，變為引導學生創造性地“學”. 教師創造性地“教”應充分體現在精心設計教學過程上，教學過程的精心設計是以對課標和教材的深入研究為前提的，它凝聚著教師的數學理解、數學感知、數學思考和數學加工. 對課標和教材研究得越深，設計出來的教學過程就越能取得良好的教學效果.

就一元二次方程求根公式的內容來說，一些教師往往只停留在對教材表面的理解和是否成為考點上，重視的是公式的運用，忽視公式的推導和公式的教育價值. 《數學課程標準》明確規定，要理解配方法，掌握一元二次方程求根公式的推導. 為什么提出這樣的要求，教師需要研究和思考.

一、推導一元二次方程求根公式的必要性

因為所有的一元二次方程都可以用配方法求解，所以這是一個通法，有規律可循. 如果我們不抽象、概括出一個數學模型，那么每次都要做重復性的工作. 抽象、概括正是數學學習留給學生的數學思維品質和方法.

二、推導求根公式的教育價值是突出的

１． 在思想方法上，求根公式的推導運用了配方法，其基本思想是降次，通過配方法轉化為可直接開平方的形式，推導過程中還涉及分類討論的思想. 數學思想方法凝聚著數學的精髓和靈魂，盡管學生走上社會后，數學知識似乎漸漸淡忘了，但留存的應是那種銘刻在心頭的數學思想、數學思維方式.

２． 在解法上是多樣的． 對于一元二次方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ 0（ａ ≠ ０）的求根公式的推導，人教版教材采用了二次項系數化為１再配方的方法.

因為ａ ≠ ０，所以可以把方程的兩邊都除以二次項系數ａ，

得ｘ２ ＋ ■ｘ ＋ ■ ＝ ０，移項，得ｘ２ ＋ ■ｘ ＝ －■，

配方，得x2 + ■x + （■）2 = -■ + （■）2，

即（x + ■）2 = ■.∵ a ≠0，∴ 4a2 > 0.

當ｂ２ － ４ａｃ ≥ ０時，得

ｘ ＋ ■ ＝ ±■， ①

即x + ■ = ±■， ②

∴ x = -■±■，即x = ■．

首先領會教材的編寫意圖，將二次項系數化為１，學生容易想到，而且易于配方.再深入分析可知，系數化為１后，易于發現a，b，c不是獨立的變量. 再進行難點分析，公式推導過程中有兩個難點：難點１是對b2 - 4ac非負的認識，需要分類；難點２是由①到②，化簡■ = 2|a|出現“±”號問題. 難點１是不可回避的，突破難點的關鍵是對用字母表示數的理解，而對于難點２ ，也是不可回避的嗎？這個問題值得我們深入思考.

思考１ 難點２ 是化簡二次根式產生的，于是我們想到能否使得開方后等號的右邊是最簡二次根式. 事實上，當b2 - 4ac ≥ 0時，b2 - 4ac = （■）2，于是（x + ■）2 = ■ = ■ = （■）2，從而x + ■ = ±■. 這樣就達到了回避難點２的目的. 這個方法很巧妙，但我們在逆用二次根式性質（■）2 ＝ ａ（ａ ≥ ０）的同時，也會給一部分學生帶來困難，因而我們又有了新的思考.

思考２ 難點２是化簡分母■產生的，而字母a是由于配方產生的，那么能否設法在配方時不出現字母呢？這是一個很好的創意，于是想到了要使二次項系數變為ａ２．

因為ａ ≠ ０，方程ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ ｃ ＝ ０（ａ ≠ ０）兩邊同乘以a，得a2x2 + abx + ac = 0，

配方，得ａ２ｘ２ ＋ ａｂｘ ＋ （■）２ ＝ （■）２ － ａｃ，

即（ａｘ ＋ ■）2 = ■.

當b2 - 4ac ≥ 0時，有ax + ■ = ■，

∴ ax =■. ∵ ａ ≠ ０，∴ x =■.

思考３ 欣賞之余，再認真審視一下解題過程，這個解法似乎并不完美，配方時出現了分數，因而再次產生了改進的念頭，于是又有了下面漂亮的解法：

對于ａｘ２ ＋ ｂｘ ＋ｃ ＝ ０（ａ≠０），

∵ ａ ≠ ０，方程兩邊同乘以４ａ，得４ａ２ｘ２ ＋ ４ａｂｘ ＋ ４ａｃ ＝ ０，

配方，得（４ａ２ｘ２ ＋ ４ａｂｘ ＋ ｂ２） － ｂ２ ＋ ４ａｃ ＝ ０，

即（２ａｘ ＋ ｂ）２ ＝ ｂ２ － ４ａｃ，

……

比較上述解法，思考３的解法明顯優于其他方法. 它的優點在于解法簡潔，并且揭示了判別式是一個完全平方式. 上述三種思考解法的獨創性正是數學學科所要培養的學生的創造性思維，只有創造型的教師才能培養出創造型的學生！

三、公式自身的教育價值是多重的

１． 從運算的角度看，公式包容了初中階段所學過的全部六種代數運算：加、減、乘、除、乘方、開方，體現了公式的和諧統一. 各級運算的順序自動決定了一元二次方程的解題順序. 開平方運算不是總能進行的，要根據判別式Δ = b2 - 4ac的符號來判斷方程是否有實數根，如果有實數根，則由其三個系數來確定. 通過運算可以完美地解決根的存在性、根的個數、根的求法三個問題，可以說是“萬能”求根公式. 它向我們展示了抽象性、一般性和簡潔性等數學的美和魅力.

２． 從方程的觀點來看，當公式中的三個量為常數時，則它是關于第四個量的方程. 比如a，b，c為確定的數值時，它便是關于x的方程. 當a，b，c，x中不只有一個變量時，若視其中一個字母為變量，其余的為常數，則它是關于這個變量的一元方程；若視其中兩個字母為變量，其余的為常數，則它是關于這兩個變量的二元方程.

３． 從基本量的觀點來看，公式中有四個基本量，只要知道其中三個，就可以求出另外一個． 公式可變形為ｘ ＝ ■. 可見公式中只有三個獨立的基本量x，■，■，因此知二可求一，這就是為什么利用兩根之和、兩根之積可求方程的根的原因.

總之，深入鉆研課標和教材，充分挖掘教材所蘊含的具有創新教育的內容，對教材內容做進一步地研究和推廣，并提出異于教材中的處理方法，是教師提高自身素質和不斷提高創造性教學能力，合理選擇猜想、討論、變式推廣、多角度思考、批判反思等方法進行創新教育的有效途徑.